V242.XGP[TEX,DEK] - www.SailDart.org

perm filename V242.XGP[TEX,DEK] blob sn#521453 filedate 1980-07-10 generic text, type T, neo UTF8
/NOWRAPAROUND/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=1700/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=000000463*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	[␈↓ α4␈ε"SECTION␈α4.2␈αof␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β
ε␈↓ β'␈ε6⎇␈ε"␈α1980␈αAddison↑W␈α⎇esley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃H␈↓ ε2␈ε$0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"198␈↓ 
}␈ε"4.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.2.␈α∩FL␈α}O␈α␈A␈α⎇T␈α␈I␈α↓NG␈α
P␈α␈OINT␈α
ARITHME␈α␈TIC
␈βαg␈↓ ↓H␈ε"I␈↓ βr␈ε",␈α∂w␈α␈e␈α∂shall␈α∂study␈α∂the␈α∂basic␈α∂principles␈↓ λC␈ε"of␈α∂doing␈α∂arithmetic␈α∂on
␈βαl␈↓ ↓T␈ε.N␈α∂THIS␈α∂SECTION
␈ββ∩␈↓ ↓H␈ε"\⎇oating␈α
poin␈α␈t"␈α
n␈α␈um␈α␈bers,␈α
by␈αanalyzing␈α
the␈α
in␈α␈ternal␈α
mechanisms␈α
underlying␈α
such
␈ββ=␈↓ ↓H␈ε"calculations.␈α∂Perhaps␈αman␈α␈y␈αreaders␈αwill␈αha␈α␈v␈α␈e␈αlittle␈αin␈α␈terest␈αin␈αthis␈αsubject,␈αsince
␈ββh␈↓ ↓H␈ε"their␈α
computers␈α
either␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈αbuilt-in␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αinstructions␈α
or␈α
their␈α
computer
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈ufacturer␈α∂has␈α⊂supplied␈α⊂suitable␈α∂subroutines.␈α≠But,␈α⊃in␈α⊂fact,␈α⊂the␈α⊂material␈α∂of
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε"this␈α
section␈αsh␈α↓ould␈α
n␈α↓ot␈αmerely␈α
be␈αthe␈α
concern␈αof␈α
computer-design␈α
engineers␈αor␈α
of
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε"a␈α
small␈α
clique␈α
of␈α∞people␈α
wh␈α↓o␈α
write␈α
library␈α∞subroutines␈α
for␈α
new␈α∞machines;␈ε/␈α
ev␈α␈ery
␈β¬∃␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ell-rounded␈α
programmer␈α
ough␈α␈t␈α
to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈αkn␈α↓o␈α␈wledge␈α
of␈α
what␈α
goes␈α
on␈α
during␈α
the
␈β¬@␈↓ ↓H␈ε"elemen␈α␈tary␈α
steps␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic.␈α⊂This␈α
subject␈αis␈αn␈α↓ot␈αat␈αall␈αas␈α
trivial
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε"as␈αm␈α↓ost␈αpeople␈αthink;␈αit␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈es␈αa␈αsurprising␈αam␈α↓oun␈α␈t␈αof␈αin␈α␈teresting␈αinformation.
␈βεr␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.2.1.␈α∩Single-P␈α␈r␈α↓ec␈α␈is␈α↓ion␈α
Calculat␈α↓ions
␈βπ5␈↓ ↓H␈ε2A.␈αλFloating␈αλpoin␈α␈t␈α	n␈α↓otation.␈ε"␈αW␈α⎇e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈αλdiscussed␈αλ\|xed␈α	poin␈α␈t"␈αλn␈α↓otation␈αλfor␈αλn␈α␈um␈α␈bers
␈βπ`␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃Section␈α⊃4.1;␈α∀in␈α⊃such␈α⊃a␈α⊃case␈α⊃the␈α∩programmer␈α⊃kn␈α↓o␈α␈ws␈α⊃where␈α⊃the␈α⊃radix␈α⊃poin␈α␈t
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"is␈α∩assumed␈α∪to␈α∩lie␈α∪in␈α∩the␈α∪n␈α␈um␈α␈bers␈α∩he␈α∪manipulates.␈α#F␈α⎇or␈α∪man␈α␈y␈α∩purposes␈α∪it␈α∩is
␈βλ6␈↓ ↓H␈ε"considerably␈αλm␈α↓ore␈αλcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αλto␈αλlet␈αλthe␈α	position␈αλof␈αλthe␈αλradix␈αλpoin␈α␈t␈αλbe␈αλdynamically
␈βλb␈↓ ↓H␈ε"v␈α}ariable␈α
or␈α	\⎇oating"␈α
as␈α
a␈α
program␈α
is␈α
running,␈α
and␈α
to␈α
carry␈α
with␈α
each␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α	an
␈β	
␈↓ ↓H␈ε"indication␈αof␈αits␈αcurren␈α␈t␈αradix␈αpoin␈α␈t␈αposition.␈α⊂This␈αidea␈αhas␈αbeen␈αused␈αfor␈αman␈α␈y
␈β	8␈↓ ↓H␈ε"y␈α␈ears␈α
in␈αscien␈α␈ti|c␈α
calculations,␈α
especially␈α
for␈α
expressing␈α
v␈α␈ery␈α
large␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈αlik␈α␈e
␈β	]␈↓ ε:␈ε%23
␈β	c␈↓ ↓H␈ε"Av␈α␈ogadro's␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧λ␈ε(N␈↓ ∧8␈ε"=␈α
6.02252␈ε6␈α
α␈ε"␈α	1␈↓ ε(␈ε"0␈↓ εZ␈ε",␈α∞or␈α∞v␈α␈ery␈α∞small␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞lik␈α␈e␈↓ 
(␈ε"Planck's
␈β
↓␈↓ αZ␈ε/→
␈β
λ␈↓ ∧b␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈α↓7
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈t␈↓ αY␈ε(h␈ε"␈α
=␈α
1.0545␈ε6␈αλα␈ε"␈αλ1␈↓ ∧P␈ε"0␈↓ ¬+␈ε"erg␈αsec.
␈β
:␈↓ α␈ε"In␈α∞this␈α
section␈α∞w␈α␈e␈α
shall␈α∞w␈α␈ork␈α
with␈ε/␈α∞base␈ε(␈α∞b␈ε/,␈α∞excess␈↓ λ≠␈ε(q␈↓ λ.␈ε/,␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈↓ 
(␈ε/n␈α␈um␈α␈bers
␈β
e␈↓ ↓H␈ε/with␈ε(␈α	p␈ε/␈α
digits␈↓ β
␈ε":␈αSuch␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α
will␈α	be␈α
represen␈α␈ted␈α	by␈α
pairs␈α	of␈α	v␈α}alues␈α
(␈ε(e␈ε",␈↓ 	n␈ε(f␈↓ 
β␈ε"),␈α
den␈α↓oting
␈β5␈↓ π¬␈ε+e␈ε9␈α↓␈␈↓ π0␈ε+q
␈β=␈↓ ¬(␈ε"(␈ε(e␈ε",␈↓ ¬S␈ε(f␈↓ ¬i␈ε")␈α
=␈↓ ε-␈ε(f␈↓ εJ␈ε6α␈↓ εv␈ε(b␈↓ πB␈ε".␈↓ α␈ε"(1)
␈β∃␈↓ ↓H␈ε"Here␈ε(␈αe␈ε"␈αis␈αan␈αin␈α␈teger␈αha␈α␈ving␈αa␈αspeci|ed␈αrange,␈αand␈↓ πT␈ε(f␈↓ πu␈ε"is␈αa␈αsigned␈αfraction.␈α⊂W␈α⎇e␈αwill
␈β@␈↓ ↓H␈ε"adopt␈αthe␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tion␈αthat
␈βl␈↓ ¬{␈ε6j␈↓ ε¬␈ε(f␈↓ ε≠␈ε6j␈ε"␈α
<␈α
1;
␈β
2␈↓ ↓H␈ε"in␈α	other␈α	w␈α␈ords,␈α	the␈α	radix␈α	poin␈α␈t␈α	appears␈α	at␈α	the␈α	le$␈α	of␈α	the␈α	positional␈α	represen␈α␈tation
␈β
]␈↓ ↓H␈ε"of␈↓ ↓s␈ε(f␈↓ α	␈ε".␈α∃More␈α∞precisely,␈α∞the␈α
stipulation␈α∞that␈α∞w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α
p␈ε"-digit␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞means␈α
that
␈β∞α␈↓ ↓W␈ε+p
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε(b␈↓ ↓h␈ε(f␈↓ α	␈ε"is␈αan␈αin␈α␈teger,␈αand␈αthat
␈β∞-␈↓ ¬d␈ε+p␈↓ ε<␈ε+p␈↓ π)␈ε+p
␈β∞5␈↓ ¬0␈ε6␈␈↓ ¬T␈ε(b␈↓ ¬}␈ε"<␈↓ ε,␈ε(b␈↓ εL␈ε(f␈↓ εl␈ε"<␈↓ π~␈ε(b␈↓ π:␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈β∞{␈↓ ↓H␈ε"The␈α
term␈α
\␈↓ α|␈ε"⎇oating␈α∞binary"␈α
implies␈α∞that␈ε(␈α
b␈ε"␈α
=␈α2,␈α∞\␈↓ πW␈ε"⎇oating␈α
decimal"␈α
implies␈ε(␈α∞b␈ε"␈α=
␈β∂&␈↓ ↓H␈ε"10,␈α∞etc.␈α↔Using␈α∞excess-50␈α∞⎇oating␈α∂decimal␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞with␈α∞8␈α∞digits,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α∞write,
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ε"for␈αexample,
␈β∂x␈↓ βY␈ε"Av␈α␈ogadro's␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ε-␈ε(N␈↓ εZ␈ε"=␈α
(74,␈αε+.60225200);
␈β⊂⊃␈↓ α␈ε"(3)
␈β⊂≥␈↓ ε<␈ε/→
␈β⊂*␈↓ βY␈ε"Planck's␈αconstan␈α␈t␈↓ ε;␈ε(h␈↓ εZ␈ε"=␈α
(24,␈αε+.10545000).
␈β⊂k␈↓ α␈ε"The␈α∩t␈α␈w␈α␈o␈α∩componen␈α␈ts␈ε(␈α∩e␈ε"␈α∩and␈↓ ¬↑␈ε(f␈↓ εε␈ε"of␈α∩a␈α∩⎇oating␈α∩poin␈α␈t␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈α∩are␈α∩called␈α∩the
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε/exponen␈α␈t␈ε"␈α∂and␈α⊂the␈ε/␈α⊂fraction␈↓ ∧|␈ε"parts,␈α⊃respectiv␈α␈ely.␈α (Other␈α⊂names␈α⊂are␈α∂occasionally
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"199
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"used␈α	for␈α	this␈α
purpose,␈α
n␈α↓otably␈α	\␈↓ ¬1␈ε"characteristic"␈α	and␈α
\␈↓ πt␈ε"man␈α␈tissa";␈α
but␈α	it␈α
is␈α	an␈α	abuse
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"of␈α
termin␈α↓ology␈α
to␈α
call␈αthe␈α
fraction␈α
part␈α
a␈αman␈α␈tissa,␈α
since␈α
this␈αconcept␈α
has␈α
quite␈α
a
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈αmeaning␈αin␈αconnection␈αwith␈αlogarithms.␈α∂F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈αthe␈αEnglish␈αw␈α␈ord
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"man␈α␈tissa␈αmeans␈α\a␈αw␈α␈orthless␈αaddition.")
␈ββQ␈↓ α␈ε"The␈↓ β≠␈ε"computer␈αassumes␈αthat␈αits␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ 	4␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αform
␈ββS␈↓ αV␈ε5MIX
␈β∧#␈↓ ∧\␈∧∧#∧\αβ2
␈β∧%␈↓ ∧\␈∧∧%∧\Hα␈↓ ¬$␈∧∧%¬$Hα␈↓ ¬l␈∧∧%¬lHα␈↓ ε4␈∧∧%ε4Hα␈↓ ε|␈∧∧%ε|Hα␈↓ πD␈∧∧%πDHα␈↓ λ␈∧∧%λHα
␈β∧3␈↓ ∧o␈ε6ε␈↓ ¬A␈ε(e␈↓ εε␈ε(f␈↓ εN␈ε(f␈↓ π⊗␈ε(f␈↓ π↑␈ε(f␈↓ λ∀␈ε".␈↓ α␈ε"(4)
␈β∧k␈↓ ∧\␈∧∧k∧\αβ2
␈β¬∃␈↓ ↓H␈ε"Here␈αλw␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	base␈ε(␈α	b␈ε",␈α	excess␈↓ ∧r␈ε(q␈↓ ¬¬␈ε",␈α	⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α	n␈α↓otation␈α	with␈αλfour␈α	bytes␈α	of␈αλprecision,
␈β¬;␈↓ 
 ␈ε%1
␈β¬@␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈α
b␈ε"␈α∞is␈α
the␈α
byte␈α∞size␈α
(e.g.,␈ε(␈α∞b␈ε"␈α=␈α
64␈α
or␈ε(␈α
b␈ε"␈α
=␈α100),␈α∞and␈↓ λ;␈ε(q␈↓ λ\␈ε"is␈α
equal␈α∞to␈ε6␈α
b␈↓ 
3␈ε(b␈ε6c␈ε".␈α∀The
␈β¬Q␈↓ 
 ␈ε%2
␈β¬T␈↓ 
 ␈∧¬T
 α⊂
␈β¬k␈↓ ↓H␈ε"fraction␈α∞part␈α∂is␈ε6␈α∂ε␈↓ βr␈ε(f␈↓ ∧
␈ε(f␈↓ ∧)␈ε(f␈↓ ∧D␈ε(f␈↓ ∧Z␈ε",␈α∂and␈ε(␈α∂e␈ε"␈α∂is␈α∂the␈α∞exponen␈α␈t,␈α⊂which␈α∂lies␈α∞in␈α∂the␈α∂range␈α∂0␈ε6␈α∞∀
␈βε⊗␈↓ ↓H␈ε(e␈ε"␈α
<␈ε(␈α
b␈ε".␈α⊂This␈α
in␈α␈ternal␈αrepresen␈α␈tation␈α
is␈αt␈α␈ypical␈αof␈α
the␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α
in␈αm␈α↓ost␈α
existing
␈βεB␈↓ ↓H␈ε"computers,␈αalth␈α↓ough␈ε(␈αb␈ε"␈αis␈αa␈αm␈α␈uch␈αlarger␈αbase␈αthan␈αusual.
␈βπα␈↓ ↓H␈ε2B.␈α
Normalized␈α
calculations.␈ε"␈α~A␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
(␈ε(e␈ε",␈↓ λJ␈ε(f␈↓ λ`␈ε")␈α
is␈↓ 	≡␈ε/n␈α↓ormalized␈ε"␈α
if␈αthe
␈βπ-␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ost␈αsigni|can␈α␈t␈αdigit␈αof␈αthe␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ π≥␈ε(f␈↓ π>␈ε"is␈αn␈α↓onzero,␈αso␈αthat
␈βλ↓␈↓ ¬F␈ε"1/␈ε(b␈ε6␈α
∀␈α
j␈↓ ε;␈ε(f␈↓ εP␈ε6j␈ε"␈α
<␈α
1;␈↓ α␈ε"(5)
␈βλV␈↓ ↓H␈ε"or␈α
if␈↓ α_␈ε(f␈↓ α:␈ε"=␈α0␈α∞and␈ε(␈α
e␈ε"␈α∞has␈α
its␈α
smallest␈α∞possible␈α
v␈α}alue.␈α∀It␈α∞is␈α
possible␈α
to␈α∞tell␈α
which␈α
of
␈β	↓␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α∞n␈α↓ormalized␈α∞⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∂has␈α∞a␈α∞greater␈α∂magnitude␈α∞by␈α∞comparing
␈β	,␈↓ ↓H␈ε"the␈α	exponen␈α␈t␈α
parts␈α
|rst,␈α
and␈α	then␈α
testing␈α
the␈α	fraction␈α
parts␈α
only␈α	if␈α
the␈α	exponen␈α␈ts
␈β	W␈↓ ↓H␈ε"are␈αequal.
␈β
β␈↓ α␈ε"Most␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	routines␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α
in␈α
use␈α	deal␈α
alm␈α↓ost␈α
en␈α␈tirely␈α
with␈α	n␈α↓ormalized
␈β
.␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers:␈αinputs␈αto␈αthe␈αroutines␈αare␈α
assumed␈αto␈αbe␈αn␈α↓ormalized,␈αand␈αthe␈αoutputs
␈β
Y␈↓ ↓H␈ε"are␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αn␈α↓ormalized.␈α⊂Under␈αthese␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αw␈α␈e␈αlose␈αthe␈αabilit␈α␈y␈αto␈αrepresen␈α␈t
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"a␈α∞few␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈α∞of␈α∞v␈α␈ery␈α∞small␈α∞magnitude←for␈α∞example,␈α∞the␈α∞v␈α}alue␈α∞(0,␈αε.00000001)
␈β/␈↓ ↓H␈ε"can't␈α⊃be␈α⊂n␈α↓ormalized␈α⊃with␈α↓out␈α⊃producing␈α⊃a␈α⊃negativ␈α␈e␈α⊃exponen␈α␈t←but␈α⊃w␈α␈e␈α⊃gain␈α⊂in
␈β[␈↓ ↓H␈ε"speed,␈α
uniformit␈α␈y,␈α
and␈α
the␈α
abilit␈α␈y␈α	to␈α
giv␈α␈e␈α
relativ␈α␈ely␈α	simple␈α
bounds␈α
on␈α
the␈α	relativ␈α␈e
␈βε␈↓ ↓H␈ε"error␈αin␈αour␈αcomputations.␈α↔(Unn␈α↓ormalized␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic␈αis␈αdiscussed
␈β1␈↓ ↓H␈ε"in␈αSection␈α4.2.2.)
␈β\␈↓ α␈ε"Let␈αus␈αn␈α↓o␈α␈w␈αstudy␈αthe␈αn␈α↓ormalized␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αoperations␈αin␈αdetail.␈α⊂A␈α␈t␈αthe
␈β
π␈↓ ↓H␈ε"same␈αtime␈αw␈α␈e␈αcan␈αconsider␈αthe␈αconstruction␈αof␈αsubroutines␈αfor␈αthese␈αoperations,
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"assuming␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αcomputer␈αwith␈α↓out␈αbuilt-in␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αhardw␈α␈are.
␈β
↑␈↓ α␈ε"Machine-language␈α
subroutines␈αfor␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αarithmetic␈α
are␈α
usually␈α
writ-
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε"ten␈α⊂in␈α∂a␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂machine-dependen␈α␈t␈α⊂manner,␈α⊃using␈α⊂man␈α␈y␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂wildest␈α∂idiosyn-
␈β∞4␈↓ ↓H␈ε"crasies␈α
of␈α
the␈α∞computer␈α
at␈α∞hand;␈α∞so␈α
⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
addition␈α∞subroutines␈α
for␈α
t␈α␈w␈α␈o
␈β∞←␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t␈αmachines␈α
usually␈α
bear␈α
little␈αsuper|cial␈α
resem␈α␈blance␈α
to␈α
each␈αother.␈α∩Y␈α⎇et
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"a␈αcareful␈αstudy␈αof␈αn␈α␈umerous␈αsubroutines␈αfor␈αboth␈αbinary␈αand␈αdecimal␈αcomputers
␈β∂6␈↓ ↓H␈ε"rev␈α␈eals␈αλthat␈α	these␈αλprograms␈α	actually␈αλha␈α␈v␈α␈e␈α	quite␈αλa␈α	lot␈αλin␈α	comm␈α↓on,␈α	and␈αλit␈α	is␈αλpossible
␈β∂a␈↓ ↓H␈ε"to␈αdiscuss␈αthe␈αtopics␈αin␈αa␈αmachine-independen␈α␈t␈αw␈α␈a␈α␈y.
␈β⊂↔␈↓ α␈ε"The␈α
|rst␈α
(and␈α∞by␈α
far␈α
the␈α
m␈α↓ost␈α
di}cult!)␈α∀algorithm␈α
w␈α␈e␈α
shall␈α
discuss␈α
in␈α
this
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"section␈αis␈αa␈αprocedure␈αfor␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddition,
␈β⊃⊗␈↓ ∧U␈ε"(␈↓ ∧a␈ε(e␈↓ ¬β␈ε",␈↓ ¬∪␈ε(f␈↓ ¬8␈ε")␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈↓ ε∧␈ε(e␈↓ ε%␈ε",␈↓ ε5␈ε(f␈↓ εY␈ε")␈α
=␈α
(␈↓ π)␈ε(e␈↓ πP␈ε",␈↓ π`␈ε(f␈↓ λ	␈ε").␈↓ α␈ε"(6)
␈β⊃#␈↓ ∧p␈ε+u␈↓ ¬%␈ε+u␈↓ ε∀␈ε+v␈↓ εG␈ε+v␈↓ π8␈ε+w␈↓ πr␈ε+w
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"200␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βε␈␈↓ ∧P␈ε3Fig.␈α2.␈ε#␈α→F␈α↓loa␈α␈ting␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n.
␈βπy␈↓ ↓H␈ε/Note:␈α⊂Since␈α∂⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞arithmetic␈α∂is␈α∞inheren␈α␈tly␈α∞appro␈α␈ximate,␈α∂n␈α↓ot␈α∂exact,␈α∞w␈α␈e
␈βλ$␈↓ ↓H␈ε/will␈αuse␈α\round"␈αsym␈α␈bols
␈βλO␈↓ ¬$␈ε6λ␈ε",␈ε6␈α*␈	␈ε",␈ε6␈α*␈
␈ε",␈ε6␈α*
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε/to␈α⊂stand␈α∂for␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂addition,␈α⊃subtraction,␈α⊃m␈α␈ultiplication,␈α⊃and␈α∂division,
␈β	=␈↓ ↓H␈ε/respectiv␈α␈ely,␈αin␈αorder␈αto␈αdistinguish␈αappro␈α␈ximate␈αoperations␈αfrom␈αthe␈αtrue␈αones.
␈β	r␈↓ α␈ε"The␈αbasic␈αidea␈αin␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈αin␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddition␈αis␈αfairly␈αsimple:␈αAssuming
␈β
↔␈↓ π+␈ε+e␈↓ πI␈ε9␈␈↓ πf␈ε+e
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α∪␈ε(e␈↓ α@␈ε6∃␈↓ αn␈ε(e␈↓ β∞␈ε",␈α
w␈α␈e␈α	tak␈α␈e␈↓ ∧!␈ε(e␈↓ ∧R␈ε"=␈↓ ¬␈ε(e␈↓ ¬#␈ε",␈↓ ¬6␈ε(f␈↓ ¬j␈ε"=␈↓ ε_␈ε(f␈↓ ε@␈ε"+␈↓ εf␈ε(f␈↓ π
␈ε"/␈↓ π≤␈ε(b␈↓ λ∞␈ε"(thereby␈α	aligning␈α	the␈α	radix
␈β
 ␈↓ π8␈ε-u␈↓ πt␈ε-v
␈β
)␈↓ α"␈ε+u␈↓ α⎇␈ε+v␈↓ ∧0␈ε+w␈↓ ¬∂␈ε+u␈↓ ¬H␈ε+w␈↓ ε*␈ε+u␈↓ εx␈ε+v
␈β
H␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈ts␈α∞for␈α
a␈α∞meaningful␈α∞addition),␈α∞and␈α∞n␈α↓ormalize␈α∞the␈α∞result.␈α⊗Sev␈α␈eral␈α
situations
␈β
s␈↓ ↓H␈ε"can␈α
arise␈αthat␈α
mak␈α␈e␈αthis␈α
process␈αn␈α↓on␈α␈trivial,␈α
and␈αthe␈α
follo␈α␈wing␈αalgorithm␈α
explains
␈β∨␈↓ ↓H␈ε"the␈αmeth␈α↓od␈αm␈α↓ore␈αprecisely.
␈β]␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αλA␈ε"␈αλ(␈↓ β≡␈ε/Floating␈αλpoin␈α␈t␈αλaddition␈ε")␈ε2.␈ε"␈αGiv␈α␈en␈αλbase␈ε(␈αλb␈ε"␈α↓,␈αλexcess␈↓ λa␈ε(q␈↓ λt␈ε",␈ε(␈α	p␈ε"-digit,␈αλn␈α↓ormalized
␈β	␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α∞n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈α∞u␈ε"␈α=␈α
(␈↓ ¬~␈ε(e␈↓ ¬<␈ε",␈↓ ¬L␈ε(f␈↓ ¬r␈ε")␈α
and␈↓ εS␈ε(v␈↓ εs␈ε"=␈α(␈↓ π/␈ε(e␈↓ πP␈ε",␈↓ π`␈ε(f␈↓ λβ␈ε"),␈α∞this␈α∞algorithm␈α∞forms␈α
the
␈β∃␈↓ ¬)␈ε+u␈↓ ¬↑␈ε+u␈↓ π?␈ε+v␈↓ πr␈ε+v
␈β4␈↓ ↓H␈ε"sum␈↓ α∩␈ε(w␈↓ α7␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αβλ␈↓ β%␈ε(v␈↓ β8␈ε".␈α∂The␈α
same␈α
procedure␈α
ma␈α␈y␈α
be␈α
used␈α
for␈↓ λ∃␈ε"⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
subtraction,
␈β←␈↓ ↓H␈ε"if␈ε6␈α␈␈↓ α∞␈ε(v␈↓ α-␈ε"is␈αsubstituted␈αfor␈↓ ∧E␈ε(v␈↓ ∧W␈ε".
␈β
∀␈↓ ↓J␈ε2A1.␈↓ α	␈ε"[Unpack.]␈α≠Separate␈α
the␈α
exponen␈α␈t␈α
and␈α
fraction␈α
parts␈α
of␈α
the␈α
represen␈α␈tations
␈β
?␈↓ α␈ε"of␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ β≥␈ε(v␈↓ β0␈ε".
␈β
t␈↓ ↓J␈ε2A2.␈↓ α	␈ε"[Assume␈↓ β→␈ε(e␈↓ βH␈ε6∃␈↓ βx␈ε(e␈↓ ∧→␈ε".]␈α≤If␈↓ ∧o␈ε(e␈↓ ¬≡␈ε"<␈↓ ¬N␈ε(e␈↓ ¬o␈ε",␈α∞in␈α␈terchange␈ε(␈α
u␈ε"␈α∞and␈↓ λ3␈ε(v␈↓ λF␈ε".␈α≤(In␈α∞man␈α␈y␈α
cases,␈α∞it␈α
is
␈β∞␈↓ β(␈ε+u␈↓ ∧λ␈ε+v␈↓ ∧}␈ε+u␈↓ ¬↑␈ε+v
␈β∞∨␈↓ α␈ε"best␈αto␈αcom␈α␈bine␈αstep␈αA2␈αwith␈αstep␈αA1␈αor␈αwith␈αsome␈αof␈αthe␈αlater␈αsteps.)
␈β∞T␈↓ ↓J␈ε2A3.␈↓ α	␈ε"[Set␈↓ αQ␈ε(e␈↓ αx␈ε".]␈α~Set␈↓ βd␈ε(e␈↓ ∧∃␈ε6␈ ␈↓ ∧C␈ε(e␈↓ ∧f␈ε".
␈β∞a␈↓ α`␈ε+w␈↓ βs␈ε+w␈↓ ∧R␈ε+u
␈β∂	␈↓ ↓J␈ε2A4.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈↓ α`␈ε(e␈↓ β¬␈ε6␈␈↓ β,␈ε(e␈↓ βL␈ε".]␈α⊂If␈↓ ∧∩␈ε(e␈↓ ∧7␈ε6␈␈↓ ∧↑␈ε(e␈↓ ¬λ␈ε6∃␈ε(␈α
p␈ε"␈αβ+␈αβ2␈α	(large␈α
di{erence␈α	in␈α	exponen␈α␈ts),␈α
set␈↓ 
&␈ε(f␈↓ 
Y␈ε6␈ ␈↓ π␈ε(f
␈β∂⊗␈↓ αo␈ε+u␈↓ β;␈ε+v␈↓ ∧!␈ε+u␈↓ ∧m␈ε+v␈↓ 
7␈ε+w␈↓ →␈ε+u
␈β∂4␈↓ α␈ε"and␈α
go␈α
to␈α
step␈α
A7.␈α≠(Actually,␈α
since␈α
w␈α␈e␈α
are␈α
assuming␈α
that␈ε(␈α
u␈ε"␈αis␈α
n␈α↓ormalized,
␈β∂`␈↓ α␈ε"w␈α␈e␈αcould␈αterminate␈αthe␈αalgorithm;␈αbut␈αit␈αis␈αoccasionally␈αuseful␈αto␈αbe␈αable␈αto
␈β⊂␈↓ α␈ε"n␈α↓ormalize␈αa␈αpossibly␈αunn␈α↓ormalized␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αby␈αadding␈αzero␈αto␈αit.)
␈β⊂:␈↓ 
I␈ε+e␈↓ 
g␈ε9␈␈↓ ¬␈ε+e
␈β⊂@␈↓ ↓J␈ε2A5.␈↓ α	␈ε"[Scale␈α
righ␈α␈t.]␈α≠Shi$␈↓ ∧B␈ε(f␈↓ ∧s␈ε"to␈αthe␈α
righ␈α␈t␈↓ ε6␈ε(e␈↓ εa␈ε6␈␈↓ π∞␈ε(e␈↓ π;␈ε"places;␈α
i.e.,␈α
divide␈α
it␈α
by␈↓ 
:␈ε(b␈↓ "␈ε".
␈β⊂C␈↓ 
V␈ε-u␈↓ ∩␈ε-v
␈β⊂L␈↓ ∧T␈ε+v␈↓ εE␈ε+u␈↓ π≥␈ε+v
␈β⊂k␈↓ α␈ε"[␈ε/Note:␈ε"␈α∞This␈α
will␈α
be␈α
a␈α
shi$␈α
of␈α
up␈α
to␈ε(␈α∞p␈ε"␈αλ+␈α	1␈α
places,␈α
and␈α
the␈α
next␈α
step␈α
(which
␈β⊃⊗␈↓ α␈ε"adds␈↓ αb␈ε(f␈↓ β∃␈ε"to␈↓ βB␈ε(f␈↓ βf␈ε")␈α
thereby␈α∞requires␈α∞an␈α
accum␈α␈ulator␈α∞capable␈α∞of␈α
h␈α↓olding␈α∞2␈ε(p␈ε"␈α	+␈α	1
␈β⊃#␈↓ αs␈ε+u␈↓ βT␈ε+v
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"201
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βεX␈↓ ∧V␈ε3Fig.␈α3.␈ε#␈α→Norm␈α␈alization␈α
of␈α(␈ε)e␈ε#␈α↓,␈↓ πv␈ε)f␈↓ λ
␈ε#).
␈βπS␈↓ α␈ε"base-␈ε(b␈↓ αx␈ε"digits␈α
to␈α
the␈α
righ␈α␈t␈α
of␈α
the␈α
radix␈α
poin␈α␈t.␈α∪If␈α
such␈α
a␈α
large␈α
accum␈α␈ulator␈α
is
␈βπ}␈↓ α␈ε"n␈α↓ot␈α∂a␈α␈v␈α}ailable,␈α⊂it␈α∂is␈α∂possible␈α∂to␈α∂sh␈α↓orten␈α∂the␈α∂requiremen␈α␈t␈α∂to␈ε(␈α∂p␈ε"␈α
+␈α
2␈α∂or␈ε(␈α∂p␈ε"␈α
+␈α
3
␈βλ)␈↓ α␈ε"places␈αif␈αproper␈αprecautions␈αare␈αtak␈α␈en;␈αthe␈αdetails␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αexercise␈α5.]
␈βλ↑␈↓ ↓J␈ε2A6.␈↓ α	␈ε"[Add.]␈α→Set␈↓ β@␈ε(f␈↓ βt␈ε6␈ ␈↓ ∧"␈ε(f␈↓ ∧O␈ε"+␈↓ ∧{␈ε(f␈↓ ¬∨␈ε".
␈βλj␈↓ βR␈ε+w␈↓ ∧4␈ε+u␈↓ ¬
␈ε+v
␈β	∪␈↓ ↓J␈ε2A7.␈↓ α	␈ε"[Normalize.]␈α_(A␈α␈t␈αthis␈αpoin␈α␈t␈α(␈↓ ¬K␈ε(e␈↓ ¬r␈ε",␈↓ εα␈ε(f␈↓ ε,␈ε")␈αrepresen␈α␈ts␈αthe␈αsum␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 
¬␈ε(v␈↓ 
_␈ε",␈αbut␈ε6␈αj␈↓ 
y␈ε(f␈↓ "␈ε6j
␈β	∨␈↓ ¬[␈ε+w␈↓ ε∀␈ε+w␈↓ 
␈ε+w
␈β	>␈↓ α␈ε"ma␈α␈y␈αha␈α␈v␈α␈e␈αm␈α↓ore␈αthan␈ε(␈αp␈ε"␈αdigits,␈αand␈αit␈αma␈α␈y␈αbe␈αgreater␈αthan␈αunit␈α␈y␈αor␈αless␈αthan
␈β	i␈↓ α␈ε"1/␈ε(b␈ε".)␈α∃Perform␈αAlgorithm␈αN␈αbelo␈α␈w,␈αto␈α
n␈α↓ormalize␈αand␈αround␈α(␈↓ 	;␈ε(e␈↓ 	b␈ε",␈↓ 	r␈ε(f␈↓ 
≤␈ε")␈αin␈α␈to␈α
the
␈β	v␈↓ 	J␈ε+w␈↓ 
∧␈ε+w
␈β
∀␈↓ α␈ε"|nal␈αansw␈α␈er.
␈β
≥␈↓ βy␈∧
≥βy≠∂
␈β
S␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈α
N␈ε"␈α
(␈ε/Normalization␈ε")␈ε2.␈ε"␈α~A␈α
\ra␈α␈w␈α
exponen␈α␈t"␈ε(␈α
e␈ε"␈α
and␈α
a␈α
\ra␈α␈w␈α
fraction"␈↓ 
Z␈ε(f␈↓ 
|␈ε"are
␈β
}␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈erted␈αto␈αn␈α↓ormalized␈αform,␈αrounding␈αif␈αnecessary␈αto␈ε(␈αp␈ε"␈αdigits.␈α⊂This␈αalgorithm
␈β)␈↓ ↓H␈ε"assumes␈αthat␈ε6␈αj␈↓ β*␈ε(f␈↓ β?␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
b␈ε".
␈β↑␈↓ ↓H␈ε2N1.␈↓ α	␈ε"[T␈α⎇est␈↓ αc␈ε(f␈↓ αx␈ε".]␈α≠If␈ε6␈αj␈↓ βU␈ε(f␈↓ βk␈ε6j␈α∃␈ε"␈α1␈α(\␈↓ ∧k␈ε"fraction␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w"),␈α
go␈α
to␈αstep␈α
N4.␈α∩If␈↓ 	@␈ε(f␈↓ 	`␈ε"=␈α0,␈α
set␈ε(␈α
e␈ε"␈αto
␈β	␈↓ α␈ε"its␈αlo␈α␈w␈α␈est␈αpossible␈αv␈α}alue␈αand␈αgo␈αto␈αstep␈αN7.
␈β>␈↓ ↓H␈ε2N2.␈↓ α	␈ε"[Is␈↓ α9␈ε(f␈↓ α[␈ε"n␈α↓ormalized?]␈α→If␈ε6␈αj␈↓ ∧g␈ε(f␈↓ ∧|␈ε6j␈α
∃␈ε"␈α
1/␈ε(b␈ε",␈αgo␈αto␈αstep␈αN5.
␈βs␈↓ ↓H␈ε2N3.␈↓ α	␈ε"[Scale␈α
le$.]␈α~Shi$␈↓ ∧+␈ε(f␈↓ ∧M␈ε"to␈α
the␈α
le$␈αby␈α
one␈α
digit␈αposition␈α
(i.e.,␈α
m␈α␈ultiply␈α
it␈αby␈ε(␈α
b␈ε"),
␈β
≡␈↓ α␈ε"and␈αdecrease␈ε(␈αe␈ε"␈αby␈α1.␈α⊂Return␈αto␈αstep␈αN2.
␈β
S␈↓ ↓H␈ε2N4.␈↓ α	␈ε"[Scale␈αrigh␈α␈t.]␈α~Shi$␈↓ ∧@␈ε(f␈↓ ∧a␈ε"to␈α
the␈αrigh␈α␈t␈αby␈αone␈αdigit␈αposition␈α
(i.e.,␈αdivide␈αit␈αby␈ε(␈αb␈ε"),
␈β
}␈↓ α␈ε"and␈αincrease␈ε(␈αe␈ε"␈αby␈α1.
␈β∞3␈↓ ↓H␈ε2N5.␈↓ α	␈ε"[Round.]␈α≥Round␈↓ ∧&␈ε(f␈↓ ∧J␈ε"to␈ε(␈α∞p␈ε"␈α∞places.␈α≡(W␈α⎇e␈α∞tak␈α␈e␈α∞this␈α∞to␈α∞mean␈α∂that␈↓ 	c␈ε(f␈↓ 
ε␈ε"is␈α∞changed
␈β∞X␈↓ ¬>␈ε9␈␈ε+p␈↓ λI␈ε+p
␈β∞Z␈↓ 
≥␈ε%1
␈β∞↑␈↓ α␈ε"to␈α
the␈α
nearest␈α∞m␈α␈ultiple␈α
of␈↓ ¬/␈ε(b␈↓ ¬m␈ε".␈α∪It␈α∞is␈α
possible␈α
that␈α
(␈↓ λ9␈ε(b␈↓ λY␈ε(f␈↓ λo␈ε")␈↓ 	↓␈ε"mod␈↓ 	K␈ε"1␈α=␈↓ 
=␈ε"so␈α
that
␈β∞o␈↓ 
≥␈ε%2
␈β∞r␈↓ 
≥␈∧∞r
≥α⊂
␈β∂	␈↓ α␈ε"there␈α
are␈ε/␈α
t␈α␈w␈α␈o␈ε"␈α
nearest␈α
m␈α␈ultiples;␈α
if␈ε(␈α
b␈ε"␈α
is␈α
ev␈α␈en,␈α∞w␈α␈e␈α
ch␈α↓o␈α↓ose␈α
the␈α
one␈αthat␈α
mak␈α␈es
␈β∂/␈↓ α≠␈ε+p
␈β∂0␈↓ αr␈ε%1
␈β∂5␈↓ α␈ε(b␈↓ α,␈ε(f␈↓ αF␈ε"+␈↓ β¬␈ε(b␈ε"␈αodd.␈α∂F␈α⎇urther␈α
discussion␈α
of␈↓ εA␈ε"rounding␈α
appears␈αin␈α
Section␈α
4.2.2.)␈α∩It␈α
is
␈β∂E␈↓ αr␈ε%2
␈β∂I␈↓ αr␈∧∂Iαrα⊂
␈β∂`␈↓ α␈ε"importan␈α␈t␈α	to␈α	n␈α↓ote␈α
that␈α	this␈α	rounding␈α	operation␈α	can␈α
mak␈α␈e␈ε6␈α	j␈↓ 	⊂␈ε(f␈↓ 	%␈ε6j␈ε"␈α
=␈α
1␈α	(\␈↓ 
 ␈ε"rounding
␈β⊂␈↓ α␈ε"o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w");␈αin␈αsuch␈αa␈αcase,␈αreturn␈αto␈αstep␈αN4.
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε2N6.␈↓ α	␈ε"[Check␈ε(␈α
e␈ε".]␈α≠If␈ε(␈α
e␈ε"␈α
is␈α
to␈α↓o␈α
large,␈α
i.e.,␈α
larger␈α
than␈α
its␈α
allo␈α␈w␈α␈ed␈αrange,␈α∞an␈↓ 
≥␈ε/exponen␈α␈t
␈β⊂k␈↓ α␈ε/o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈ε"␈α∀condition␈α∪is␈α∀sensed.␈α&If␈ε(␈α∀e␈ε"␈α∀is␈α∪to␈α↓o␈α∀small,␈α∃an␈↓ λq␈ε/exponen␈α␈t␈α∪under⎇o␈α␈w
␈β⊃⊗␈↓ α␈ε"condition␈α∪is␈α∪sensed.␈α'(See␈α∪the␈α∪discussion␈α∪belo␈α␈w;␈α↔since␈α∪the␈α∪result␈α∪cann␈α↓ot
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"202␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"be␈α∞expressed␈α∞as␈α∞a␈α∞n␈α↓ormalized␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞in␈α∞the␈α∞required␈α∞range,
␈βαO␈↓ α␈ε"special␈αaction␈αis␈αnecessary.)
␈ββ	␈↓ ↓H␈ε2N7.␈↓ α	␈ε"[Pack.]␈α→Put␈ε(␈αe␈ε"␈α
and␈↓ ∧6␈ε(f␈↓ ∧W␈ε"together␈αin␈α␈to␈αthe␈αdesired␈αoutput␈αrepresen␈α␈tation.
␈ββ∩␈↓ 
m␈∧β∩
m≠∂
␈ββQ␈↓ α␈ε"Some␈αsimple␈αexamples␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddition␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αexercise␈α4.
␈β∧→␈↓ α␈ε"The␈α∩follo␈α␈wing␈↓ ∧E␈ε"subroutines,␈α∀for␈α∩addition␈α∩and␈α∩subtraction␈α∩of␈α⊃n␈α␈um␈α␈bers
␈β∧≠␈↓ β{␈ε5MIX
␈β∧D␈↓ ↓H␈ε"ha␈α␈ving␈α	the␈αλform␈α	(4),␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α	h␈α↓o␈α␈w␈αλAlgorithms␈α	A␈α	and␈α	N␈α	can␈α	be␈α	expressed␈α	as␈αλcomputer
␈β∧o␈↓ ↓H␈ε"programs.␈α∂The␈α	subroutines␈α	belo␈α␈w␈α	are␈α	designed␈α
to␈α	tak␈α␈e␈α	one␈α	input␈ε(␈α	u␈ε"␈α	from␈α	sym␈α␈bolic
␈β¬≠␈↓ ↓H␈ε"location␈↓ βλ␈ε",␈↓ β≡␈ε"and␈αthe␈αother␈αinput␈↓ ¬`␈ε(v␈↓ ¬}␈ε"comes␈αfrom␈αregister␈αA␈αupon␈αen␈α␈trance␈αto␈αthe
␈β¬≥␈↓ αP␈ε5A␈α␈CC
␈β¬F␈↓ ↓H␈ε"subroutine.␈α⊂The␈αoutput␈↓ ∧G␈ε(w␈↓ ∧n␈ε"appears␈αboth␈αin␈αregister␈αA␈αand␈αlocation␈↓ 
≤␈ε".␈α⊂Th␈α␈us,␈αa
␈β¬H␈↓ 	c␈ε5ACC
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε"|xed␈αpoin␈α␈t␈αcoding␈αsequence
␈βεJ␈↓ α␈ε"(7)
␈βεL␈↓ ∧D␈ε5LDA␈α∪A;␈α∪AD␈α␈D␈α∪B;␈α∪SUB␈α∪C␈α␈;␈α∪STA␈α∪D
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αcorrespond␈αto␈αthe␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αcoding␈αsequence
␈βπ⎇␈↓ 
=␈ε".␈↓ α␈ε"(8)
␈βπ␈␈↓ α-␈ε5LDA␈α∪A,␈α∪S␈α␈TA␈α∪ACC;␈α∪LD␈α␈A␈α∪B,␈α∪JMP␈α∪F␈α␈ADD;␈α∪LDA␈α∪C␈α␈,␈α∪JMP␈α∪FSUB␈α␈;␈α∪STA␈α∪D
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε2Program␈αA␈ε"␈α(␈ε/Addition,␈αsubtraction,␈αand␈α
n␈α↓ormalization␈ε")␈ε2.␈ε"␈α→The␈αfollo␈α␈wing␈αprogram
␈β		␈↓ ↓H␈ε"is␈α
a␈α
subroutine␈α
for␈α	Algorithm␈α
A␈↓ ¬/␈ε",␈αand␈α
it␈α
is␈α
also␈α
designed␈α
so␈α
that␈α	the␈α
n␈α↓ormalization
␈β	4␈↓ ↓H␈ε"portion␈α∞can␈α∞be␈α∂used␈α∞by␈α∂other␈α∞subroutines␈α∞that␈α∂appear␈α∞later␈α∂in␈α∞this␈α∞section.␈α↔In
␈β	←␈↓ ↓H␈ε"this␈α⊂program␈α⊂and␈α∂in␈α⊂man␈α␈y␈α⊂others␈α⊂through␈α↓out␈α⊂this␈α⊂chapter,␈↓ 	k␈ε"stands␈α⊂for␈α∂a
␈β	a␈↓ 	∂␈ε5OFLO
␈β

␈↓ ↓H␈ε"subroutine␈αthat␈αprin␈α␈ts␈αout␈αa␈αmessage␈αto␈αthe␈αe{ect␈αthat␈↓ λ\␈ε"'s␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αtoggle␈αw␈α␈as
␈β
␈↓ λ#␈ε5MIX
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"unexpectedly␈α∂found␈α⊂to␈α⊂be␈α∂\on."␈α≠The␈α⊂byte␈α⊂size␈ε(␈α∂b␈ε"␈α⊂is␈α⊂assumed␈α∂to␈α⊂be␈α⊂a␈α∂m␈α␈ultiple
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"of␈α
4.␈α∂The␈α
n␈α↓ormalization␈αroutine␈↓ ε↔␈ε"assumes␈α
that␈↓ πk␈ε"rI␈↓ λ¬␈ε"2␈α
=␈ε(␈α
e␈ε"␈α
and␈↓ 	-␈ε"rAX␈↓ 	y␈ε"=␈↓ 
'␈ε(f␈↓ 
<␈ε",␈α
where
␈β
c␈↓ ¬A␈ε5NOR␈α␈M
␈β␈↓ ↓H␈ε"rA␈↓ ↓z␈ε"=␈α
0␈αimplies␈↓ β@␈ε"rX␈↓ βr␈ε"=␈α
0␈αand␈↓ ¬∧␈ε"rI␈↓ ¬≡␈ε"2␈α
<␈ε(␈α
b␈ε".
␈βQ␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈0␈↓ α
␈ε5BYTE␈↓ α|␈ε5EQ␈α␈U␈↓ βZ␈ε51(4:4)␈↓ ¬v␈ε#By␈α␈te␈αsize␈ε)␈αb
␈βy␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈1␈↓ α
␈ε5EXP␈↓ α|␈ε5EQ␈α␈U␈↓ βZ␈ε51:1␈↓ ¬v␈ε#De␈α␈|n␈α␈i␈α↓tion␈α
of␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈α|eld
␈β ␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈2␈↓ α
␈ε5FSUB␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬v␈ε#Floa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αsu␈α␈btra␈α␈ction␈αsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e:
␈βH␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈3␈↓ α|␈ε5LD␈α␈AN␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬v␈ε#Ch␈α␈an␈α␈ge␈αsign␈α
of␈αop␈α␈eran␈α␈d.
␈βp␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈4␈↓ α
␈ε5FADD␈↓ α|␈ε5ST␈α␈J␈↓ βZ␈ε5EXITF␈↓ ¬v␈ε#Floa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αad␈α␈dition␈α
sub␈α␈rou␈α␈tine:
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈5␈↓ α|␈ε5JO␈α␈V␈↓ βZ␈ε5OFLO␈↓ ¬v␈ε#En␈α␈sure␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β
?␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈6␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ εC␈ε7␈ ␈↓ εm␈ε)v␈↓ ε␈␈ε#.
␈β
A␈↓ ¬v␈ε∃TEMP
␈β
f␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈7␈↓ α|␈ε5LD␈α␈X␈↓ βZ␈ε5ACC␈↓ ¬v␈ε#rX␈↓ ε$␈ε7␈ ␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈8␈↓ α|␈ε5CM␈α␈PA␈↓ βZ␈ε5ACC(EXP␈α␈)␈↓ ¬v␈ε#S␈α␈te␈↓ ε$␈ε#p␈↓ ε6␈ε#s␈αA1␈↓ εw␈ε#,␈↓ π␈ε#A␈α↓2␈↓ π4␈ε#,␈↓ πI␈ε#A3␈α
are␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈αh␈α␈ere:
␈β∞-␈↓ ¬v␈∧∞-¬vα/␈↓ ε,␈∧∞-ε,αL␈↓ ε⎇␈∧∞-ε⎇α8␈↓ π:␈∧∞-π:ααV
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈9␈↓ α|␈ε5JG␈α␈E␈↓ βZ␈ε51F␈↓ ¬v␈ε#J␈α␈ump␈α
if␈↓ εr␈ε)e␈↓ π→␈ε7∃␈↓ πD␈ε)e␈↓ πc␈ε#.
␈β∞A␈↓ π␈ε,v␈↓ πR␈ε,u
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈0␈↓ α|␈ε5ST␈α␈X␈↓ βZ␈ε5FU(0:4)␈↓ ε!␈ε7␈ ␈α	ε␈↓ εr␈ε)f␈↓ π␈ε)f␈↓ π%␈ε)f␈↓ π>␈ε)f␈↓ πW␈ε#0.
␈β∞←␈↓ ¬v␈ε∃FU
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈1␈↓ α|␈ε5LD␈α␈2␈↓ βZ␈ε5ACC(EXP␈α␈)␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ εR␈ε)e␈↓ εv␈ε#.
␈β∂⊂␈↓ ε`␈ε,w
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈2␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5FV(0:4)
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈3␈↓ α|␈ε5LD␈α␈1N␈↓ βZ␈ε5TEMP(EX␈α␈P)␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈α	␈␈↓ εs␈ε)e␈↓ π∩␈ε#.
␈β∂`␈↓ πα␈ε,v
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈4␈↓ α|␈ε5JM␈α␈P␈↓ βZ␈ε54F
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈5␈↓ α
␈ε51H␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5FU(0:4)␈↓ ε!␈ε7␈ ␈α	ε␈↓ εr␈ε)f␈↓ π␈ε)f␈↓ π%␈ε)f␈↓ π>␈ε)f␈↓ πW␈ε#0␈α(␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ λ ␈ε)v␈↓ λ=␈ε#in␈α␈terch␈α␈an␈α␈ged␈α␈).
␈β⊂%␈↓ ¬v␈ε∃FU
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈6␈↓ α|␈ε5LD␈α␈2␈↓ βZ␈ε5TEMP(EX␈α␈P)␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ εR␈ε)e␈↓ εv␈ε#.
␈β⊂V␈↓ ε`␈ε,w
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈7␈↓ α|␈ε5ST␈α␈X␈↓ βZ␈ε5FV(0:4)
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈8␈↓ α|␈ε5LD␈α␈1N␈↓ βZ␈ε5ACC(EXP␈α␈)␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈α	␈␈↓ εs␈ε)e␈↓ π∩␈ε#.
␈β⊃&␈↓ πα␈ε,v
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"203
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα%␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈9␈↓ α
␈ε54H␈↓ α|␈ε5IN␈α␈C1␈↓ βZ␈ε50,2␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ εR␈ε)e␈↓ εy␈ε7␈␈↓ π"␈ε)e␈↓ π@␈ε#.␈α~(S␈α␈tep␈αA4␈α
un␈α␈nece␈α␈ssary␈α␈.␈α↓)
␈βα1␈↓ ε`␈ε,u␈↓ π0␈ε,v
␈βαM␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈0␈↓ α
␈ε55H␈↓ α|␈ε5LD␈α␈A␈↓ βZ␈ε5FV␈↓ ¬v␈ε0A5␈α␈.␈α∂Sca␈α␈l␈α↓e␈α
ri␈↓ π"␈ε0g␈↓ π2␈ε0h␈α␈t.
␈βαl␈↓ ¬v␈∧αl¬vα↓-␈↓ π2␈∧αlπ2α(
␈βαt␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈1␈↓ α|␈ε5EN␈α␈TX␈↓ βZ␈ε50␈↓ ¬v␈ε#Clea␈α␈r␈αrX.
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈2␈↓ α|␈ε5SR␈α␈AX␈↓ βZ␈ε50,1␈↓ ¬v␈ε#S␈α␈hi$␈αrigh␈α}t␈↓ π_␈ε)e␈↓ π?␈ε7␈␈↓ πg␈ε)e␈↓ λ⊃␈ε#p␈α␈l␈α↓a␈α␈ces.
␈ββ(␈↓ π&␈ε,u␈↓ πv␈ε,v
␈ββD␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈3␈↓ α
␈ε56H␈↓ α|␈ε5AD␈α␈D␈↓ βZ␈ε5FU␈↓ ¬v␈ε0A6␈α␈.␈α∂Add␈α␈.
␈ββc␈↓ ¬v␈∧βc¬vα↓λ
␈ββk␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈4␈↓ α|␈ε5JO␈α␈V␈↓ βZ␈ε5N4␈↓ ¬v␈ε0A7␈α␈.␈α∂Norma␈α␈l␈α↓ize␈α␈.␈↓ π←␈ε#J␈α␈ump␈α
if␈αfra␈α␈ction␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w.
␈β∧␈↓ ¬v␈∧∧¬vα↓←
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈5␈↓ α|␈ε5JX␈α␈Z␈↓ βZ␈ε5NORM␈↓ ¬v␈ε#Ea␈α␈sy␈αcase␈α␈?
␈β∧:␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈6␈↓ α|␈ε5CM␈α␈PA␈↓ βZ␈ε5=0=(1:1␈α␈)␈↓ ¬v␈ε#Is␈↓ ε→␈ε)f␈↓ ε8␈ε#norm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ed?
␈β∧b␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈7␈↓ α|␈ε5JN␈α␈E␈↓ βZ␈ε5N5␈↓ ¬v␈ε#If␈αso,␈αro␈α␈un␈α␈d␈αit.
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈8␈↓ α|␈ε5SR␈α␈C␈↓ βZ␈ε55␈↓ ¬v␈ε7j␈↓ ¬␈␈ε#rX␈↓ ε$␈ε7j␈α	$␈α
j␈↓ εj␈ε#rA␈↓ π∂␈ε7j␈ε#.
␈β¬1␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈9␈↓ α|␈ε5DE␈α␈CX␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε#(rX␈αis␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e.)
␈β¬Y␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈0␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬v␈ε#(Op␈α␈eran␈α␈ds␈αh␈α␈ad␈α
op␈α␈posite␈αsign␈α␈s,
␈βε␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈1␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5HALF(0:␈α␈0)␈↓ ε↔␈ε#reg␈α␈i␈α↓st␈α␈ers␈αm␈α␈ust␈αb␈α␈e␈αad␈α␈juste␈α␈d
␈βε(␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈2␈↓ α|␈ε5LD␈α␈AN␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ε↔␈ε#b␈α␈efore␈αro␈α␈un␈α␈ding␈α
and␈α
n␈α↓o␈α␈rmalizatio␈α␈n.)
␈βεP␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈3␈↓ α|␈ε5AD␈α␈D␈↓ βZ␈ε5HALF
␈βεw␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈4␈↓ α|␈ε5AD␈α␈D␈↓ βZ␈ε5HALF␈↓ ¬v␈ε#Co␈α␈mplem␈α␈en␈α␈t␈αleas␈α␈t␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈αp␈α␈ortion␈α␈.
␈βπ∨␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈5␈↓ α|␈ε5SR␈α␈C␈↓ βZ␈ε54␈↓ ¬v␈ε#J␈α␈ump␈α
in␈α␈to␈αnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈α
routin␈α␈e.
␈βπF␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈6␈↓ α|␈ε5JM␈α␈P␈↓ βZ␈ε5N3A
␈βπn␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈7␈↓ α
␈ε5HALF␈↓ α|␈ε5CO␈α␈N␈↓ βZ␈ε51//2␈↓ ¬v␈ε#On␈α␈e␈αh␈α␈alf␈αt␈α␈he␈αw␈α␈ord␈α
size␈α(Sign␈α
v␈α}aries)
␈βλ⊗␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈8␈↓ α
␈ε5FU␈↓ α|␈ε5CO␈α␈N␈↓ βZ␈ε50␈↓ ¬v␈ε#F␈α⎇rac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈art␈↓ πB␈ε)f
␈βλ!␈↓ πR␈ε,u
␈βλ=␈↓ ↓H␈ε)3␈α␈9␈↓ α
␈ε5FV␈↓ α|␈ε5CO␈α␈N␈↓ βZ␈ε50␈↓ ¬v␈ε#F␈α⎇rac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈art␈↓ πB␈ε)f
␈βλI␈↓ πR␈ε,v
␈βλm␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈0␈↓ α
␈ε5NORM␈↓ α|␈ε5JA␈α␈Z␈↓ βZ␈ε5ZRO␈↓ ¬v␈ε0N1␈α␈.␈α∂T␈α}e␈α␈st␈↓ π↓␈ε)f␈↓ π∃␈ε0.
␈β	␈↓ ¬v␈∧	¬vα↓␈↓ π∞␈∧	π∞α⊃
␈β	∀␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈1␈↓ α
␈ε5N2␈↓ α|␈ε5CM␈α␈PA␈↓ βZ␈ε5=0=(1:1␈α␈)␈↓ ¬v␈ε0N2␈α␈.␈α∂Is␈↓ ε[␈ε)f␈↓ εz␈ε0n␈α↓o␈α␈rmalized␈α␈?
␈β	4␈↓ ¬v␈∧	4¬vαf␈↓ εh␈∧	4εhα↓@
␈β	<␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈2␈↓ α|␈ε5JN␈α␈E␈↓ βZ␈ε5N5␈↓ ¬v␈ε#T␈α⎇o␈αN5␈α
i␈α↓f␈αlea␈α␈ding␈α
byt␈α␈e␈αn␈α↓o␈α␈nzero␈α␈.
␈β	d␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈3␈↓ α
␈ε5N3␈↓ α|␈ε5SL␈α␈AX␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε0N3␈α␈.␈α∂Sca␈α␈le␈αl␈α↓e␈α␈$.
␈β
β␈↓ ¬v␈∧
β¬vα↓R
␈β
␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈4␈↓ α
␈ε5N3A␈↓ α|␈ε5DE␈α␈C2␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε#De␈α␈crease␈ε)␈αe␈ε#␈αb␈α␈y␈α1.
␈β
3␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈5␈↓ α|␈ε5JM␈α␈P␈↓ βZ␈ε5N2␈↓ ¬v␈ε#Re␈α␈turn␈α
to␈αN2.
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈6␈↓ α
␈ε5N4␈↓ α|␈ε5EN␈α␈TX␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε0N4␈α␈.␈α∂Sca␈α␈le␈αri␈↓ π$␈ε0g␈↓ π4␈ε0h␈α␈t.
␈β
z␈↓ ¬v␈∧
z¬vα↓.␈↓ π4␈∧
zπ4α(
␈βα␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈7␈↓ α|␈ε5SR␈α␈C␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε#S␈α␈hi$␈αrigh␈α}t,␈αins␈α␈ert␈α\1"␈α
wi␈α↓th␈α
pro␈α␈per␈αsig␈α␈n.
␈β*␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈8␈↓ α|␈ε5IN␈α␈C2␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε#In␈α␈crea␈α␈se␈ε)␈αe␈ε#␈αb␈α␈y␈α1.
␈βQ␈↓ ↓H␈ε)4␈α␈9␈↓ α
␈ε5N5␈↓ α|␈ε5CM␈α␈PA␈↓ βZ␈ε5=BYTE/2␈α␈=(5:5)␈↓ ¬v␈ε0N5␈α␈.␈α∂Rou␈α␈nd␈α␈.
␈βq␈↓ ¬v␈∧q¬vα↓.
␈βv␈↓ π∪␈ε&1
␈βy␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈0␈↓ α|␈ε5JL␈↓ βZ␈ε5N6␈↓ ¬v␈ε#Is␈ε7␈αj␈ε#tail␈ε7j␈ε#␈α
<␈↓ π$␈ε)b␈ε#␈α↓?
␈β	␈↓ π∪␈ε&2
␈β␈↓ π∪␈∧π∪α∞
␈β ␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈1␈↓ α|␈ε5JG␈↓ βZ␈ε55F
␈βE␈↓ π∪␈ε&1
␈βH␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈2␈↓ α|␈ε5JX␈α␈NZ␈↓ βZ␈ε55F␈↓ ¬v␈ε#Is␈ε7␈αj␈ε#tail␈ε7j␈ε#␈α
>␈↓ π$␈ε)b␈ε#␈α↓?
␈βX␈↓ π∪␈ε&2
␈β[␈↓ π∪␈∧[π∪α∞
␈βm␈↓ εp␈ε&1
␈βp␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈3␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬v␈ε7j␈ε#ta␈α␈i␈α↓l␈ε7j␈ε#␈α	=␈↓ π↓␈ε)b␈ε#␈α↓;␈αrou␈α␈nd␈α
to␈αo␈α␈dd␈α␈.
␈β
␈↓ εp␈ε&2
␈β
β␈↓ εp␈∧
βεpα∞
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈4␈↓ α|␈ε5LD␈α␈X␈↓ βZ␈ε5TEMP(4:␈α␈4)
␈β
?␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈5␈↓ α|␈ε5JX␈α␈O␈↓ βZ␈ε5N6␈↓ ¬v␈ε#T␈α⎇o␈αN6␈α
i␈α↓f␈αrX␈αis␈αod␈α␈d.
␈β
f␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈6␈↓ α
␈ε55H␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5*+1(0:0␈α␈)␈↓ ¬v␈ε#S␈α␈tore␈αsig␈α␈n␈αof␈αrA.
␈β∞λ␈↓ εL␈ε:␈␈ε&␈α↓4
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈7␈↓ α|␈ε5IN␈α␈CA␈↓ βZ␈ε5BYTE␈↓ ¬v␈ε#Ad␈α␈d␈↓ ε>␈ε)b␈↓ π↓␈ε#to␈ε7␈αj␈↓ π3␈ε)f␈↓ πF␈ε7j␈ε#␈α↓.␈α→(Sign␈α
v␈α}aries)
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈8␈↓ α|␈ε5JO␈α␈V␈↓ βZ␈ε5N4␈↓ ¬v␈ε#Ch␈α␈eck␈α
for␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w.
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈9␈↓ α
␈ε5N6␈↓ α|␈ε5J2␈α␈N␈↓ βZ␈ε5EXPUN␈↓ ¬v␈ε0N6␈α␈.␈α∂Chec␈α␈k␈ε)␈αe␈ε0.␈↓ πA␈ε#Un␈α␈der␈α␈⎇o␈α␈w␈αif␈ε)␈αe␈ε#␈α
<␈α	0.
␈β∞⎇␈↓ ¬v␈∧∞⎇¬vα↓@
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈0␈↓ α
␈ε5N7␈↓ α|␈ε5EN␈α␈TX␈↓ βZ␈ε50,2␈↓ ¬v␈ε0N7␈α␈.␈α∂Pack␈α␈.␈↓ π∃␈ε#rX␈↓ πC␈ε7␈ ␈ε)␈α
e␈ε#.
␈β∂$␈↓ ¬v␈∧∂$¬vα↓∀
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈1␈↓ α|␈ε5SR␈α␈C␈↓ βZ␈ε51
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈2␈↓ α
␈ε5ZRO␈↓ α|␈ε5DE␈α␈C2␈↓ βZ␈ε5BYTE␈↓ ¬v␈ε#rI␈↓ ε∞␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈ε)␈α	e␈ε7␈αλ␈␈ε)␈αλb␈ε#.
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈3␈↓ α
␈ε58H␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5ACC
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈4␈↓ α
␈ε5EXITF␈↓ α|␈ε5J2␈α␈N␈↓ βZ␈ε5*␈↓ ¬v␈ε#Ex␈α␈i␈α↓t,␈αu␈α␈nless␈ε)␈αe␈ε7␈α
∃␈ε)␈α	b␈ε#.
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈5␈↓ α
␈ε5EXPOV␈↓ α|␈ε5HL␈α␈T␈↓ βZ␈ε52␈↓ ¬v␈ε#Ex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αo␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αd␈α␈etected
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈6␈↓ α
␈ε5EXPUN␈↓ α|␈ε5HL␈α␈T␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬v␈ε#Ex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αun␈α␈der⎇␈α␈o␈α␈w␈αde␈α␈tected
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε)6␈α␈7␈↓ α
␈ε5ACC␈↓ α|␈ε5CO␈α␈N␈↓ βZ␈ε50␈↓ ¬v␈ε#Floa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αac␈α␈cum␈α}ulato␈α␈r
␈β⊃!␈↓ 	(␈∧⊃!	(≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"204␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α
rather␈α	long␈α
section␈α	of␈α
code␈α
from␈α	lines␈α
25␈α	to␈α
37␈α	is␈α
needed␈α
because␈↓ 
x␈ε"has
␈βα&␈↓ 
6␈ε5MIX
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"only␈α	a␈α	5-byte␈α
accum␈α␈ulator␈α	for␈α	adding␈α
signed␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	while␈α
in␈α	general␈α	2␈ε(p␈ε"␈αβ+␈αα1␈α
=␈α
9
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"places␈α	of␈α	accuracy␈α	are␈α	required␈α	by␈α	Algorithm␈α	A␈↓ π≥␈ε".␈α∂The␈αλprogram␈α	could␈α	be␈α	sh␈α↓ortened
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞about␈α∞half␈α∞its␈α∞presen␈α␈t␈α∞length␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞w␈α␈ere␈α∞willing␈α∞to␈α∞sacri|ce␈α
a␈α∞little␈α∞bit␈α∞of␈α∞its
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"accuracy,␈α∂but␈α∞w␈α␈e␈α∂shall␈α∞see␈α∂in␈α∞the␈α∂next␈α∞section␈α∂that␈α∞full␈α∞accuracy␈α∂is␈α∞importan␈α␈t.
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"Line␈α	55␈α	uses␈α	a␈α
n␈α↓onstandard␈↓ ¬9␈ε"instruction␈α	de|ned␈α
in␈α	Section␈α	4.5.2.␈α∂The␈α	running
␈ββ}␈↓ ∧w␈ε5MIX
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"time␈αfor␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddition␈αand␈αsubtraction␈αdepends␈αon␈αsev␈α␈eral␈αfactors␈αthat
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"are␈αanalyzed␈αin␈αSection␈α4.2.4.
␈β∧}␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∩let␈α⊃us␈α∩consider␈α⊃m␈α␈ultiplication␈↓ εP␈ε"and␈α∩division,␈α∪which␈α⊃are␈α∩simpler␈α⊃than
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"addition,␈αand␈αwhich␈αare␈αsomewhat␈αsimilar␈αto␈αeach␈αother.
␈β¬c␈↓ ↓H␈ε2Algorithm␈αM␈ε"␈α(␈ε/Floating␈αpoin␈α␈t␈αm␈α␈ultiplication␈αor␈α
division␈ε")␈ε2.␈ε"␈α⊗Giv␈α␈en␈αbase␈ε(␈αb␈ε",␈αexcess␈↓ ∂␈ε(q␈↓ "␈ε",
␈βε∞␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"-digit␈↓ α.␈ε",␈α∂n␈α↓ormalized␈α∂⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞=␈α∂(␈↓ π]␈ε(e␈↓ λ␈ε",␈↓ λ⊂␈ε(f␈↓ λ5␈ε")␈α∂and␈↓ 	_␈ε(v␈↓ 	:␈ε"=␈α∂(␈↓ 	y␈ε(e␈↓ 
~␈ε",␈↓ 
*␈ε(f␈↓ 
M␈ε"),␈α∂this
␈βε~␈↓ πl␈ε+u␈↓ λ!␈ε+u␈↓ 
λ␈ε+v␈↓ 
;␈ε+v
␈βε9␈↓ ↓H␈ε"algorithm␈αforms␈αthe␈αproduct␈↓ ¬∀␈ε(w␈↓ ¬9␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈απ␈
␈↓ ε/␈ε(v␈↓ εN␈ε"or␈αthe␈αquotien␈α␈t␈↓ λE␈ε(w␈↓ λj␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αλ␈↓ 	a␈ε(v␈↓ 	t␈ε".
␈βεl␈↓ ↓D␈ε2M1.␈↓ α	␈ε"[Unpack.]␈α⊂Separate␈α
the␈α	exponen␈α␈t␈α
and␈α	fraction␈α
parts␈α	of␈α
the␈α	represen␈α␈tations␈α	of
␈βπ↔␈↓ α␈ε(u␈ε"␈α	and␈↓ αm␈ε(v␈↓ β␈ε".␈α⊂(Sometimes␈α	it␈α
is␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t,␈α
but␈α	n␈α↓ot␈α
necessary,␈α	to␈α
test␈α	the␈α	operands
␈βπB␈↓ α␈ε"for␈αzero␈αduring␈αthis␈αstep.)
␈βπt␈↓ ↓D␈ε2M2.␈↓ α	␈ε"[Operate.]␈α→Set
␈βλ5␈↓ αj␈ε(e␈↓ β≠␈ε6␈ ␈↓ βI␈ε(e␈↓ βt␈ε"+␈↓ ∧ ␈ε(e␈↓ ∧I␈ε6␈␈↓ ∧u␈ε(q␈↓ ¬λ␈ε",␈↓ ¬|␈ε(f␈↓ ε/␈ε6␈ ␈↓ ε]␈ε(f␈↓ π	␈ε(f␈↓ λ2␈ε"for␈αm␈α␈ultiplication;
␈βλB␈↓ αy␈ε+w␈↓ βX␈ε+u␈↓ ∧/␈ε+v␈↓ ε
␈ε+w␈↓ εo␈ε+u␈↓ π~␈ε+v
␈βλQ␈↓ α␈ε"(9)
␈βλe␈↓ εy␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βλk␈↓ αj␈ε(e␈↓ β≠␈ε6␈ ␈↓ βI␈ε(e␈↓ βt␈ε6␈␈↓ ∧ ␈ε(e␈↓ ∧I␈ε"+␈↓ ∧u␈ε(q␈↓ ¬⊂␈ε"+␈αλ1,␈↓ ¬|␈ε(f␈↓ ε/␈ε6␈ ␈ε"␈α
(␈↓ εi␈ε(b␈↓ π'␈ε(f␈↓ πL␈ε")/␈↓ πj␈ε(f␈↓ λ2␈ε"for␈αdivision.
␈βλx␈↓ αy␈ε+w␈↓ βX␈ε+u␈↓ ∧/␈ε+v␈↓ ε
␈ε+w␈↓ π9␈ε+u␈↓ π|␈ε+v
␈β	/␈↓ α␈ε"(Since␈α	the␈α	input␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈α	are␈α	assumed␈α	to␈α	be␈α	n␈α↓ormalized,␈α	it␈α	follo␈α␈ws␈α	that␈αλeither
␈β	T␈↓ β⎇␈ε%2
␈β	Z␈↓ α␈ε(f␈↓ αB␈ε"=␈α
0,␈α
or␈α∞1/␈↓ βn␈ε(b␈↓ ∧~␈ε6∀␈α
j␈↓ ∧U␈ε(f␈↓ ∧␈␈ε6j␈ε"␈α<␈α1,␈α∞or␈α∞a␈α
division-by-zero␈α∞error␈α
has␈α∞occurred.)␈α≠If
␈β	f␈↓ α≡␈ε+w␈↓ ∧g␈ε+w
␈β
¬␈↓ α␈ε"necessary,␈αthe␈αrepresen␈α␈tation␈αof␈↓ εε␈ε(f␈↓ ε;␈ε"ma␈α␈y␈αbe␈αreduced␈αto␈ε(␈αp␈ε"␈απ+␈αε2␈αor␈ε(␈αp␈ε"␈απ+␈απ3␈αdigits
␈β
⊃␈↓ ε_␈ε+w
␈β
0␈↓ α␈ε"at␈αthis␈αpoin␈α␈t,␈αas␈αin␈αexercise␈α5.
␈β
c␈↓ ↓D␈ε2M3.␈↓ α	␈ε"[Normalize.]␈α!Perform␈α⊃Algorithm␈α⊂N␈α⊃on␈α⊂(␈↓ π_␈ε(e␈↓ π@␈ε",␈↓ πP␈ε(f␈↓ πy␈ε")␈α⊃to␈α⊂n␈α↓ormalize,␈α∩round,␈α⊃and
␈β
o␈↓ π(␈ε+w␈↓ πa␈ε+w
␈β∞␈↓ α␈ε"pack␈α
the␈α
result.␈α≠(␈ε/Note:␈ε"␈α∞Normalization␈α
is␈α
simpler␈α
in␈α
this␈α
case,␈α
since␈α
scaling
␈β9␈↓ α␈ε"le$␈α⊂occurs␈α⊂at␈α⊂m␈α↓ost␈α⊃once,␈α⊃and␈α⊂since␈↓ εW␈ε"rounding␈α⊂o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α⊂cann␈α↓ot␈α⊂occur␈α⊂a$er
␈βd␈↓ α␈ε"division.)
␈βm␈↓ βC␈∧mβC≠∂
␈β≡␈↓ α␈ε"The␈αfollo␈α␈wing␈↓ ∧1␈ε"subroutines,␈αwhich␈αare␈αin␈α␈tended␈αto␈αbe␈αused␈αin␈αconnection
␈β ␈↓ βn␈ε5M␈α␈IX
␈βI␈↓ ↓H␈ε"with␈α
Program␈α∞A␈↓ βK␈ε",␈α∞illustrate␈α∞the␈α∞machine␈α
considerations␈α∞necessary␈α∞in␈α
connection
␈βt␈↓ ↓H␈ε"with␈αAlgorithm␈αM.
␈β
.␈↓ ↓H␈ε2Program␈αM␈ε"␈α(␈ε/Floating␈αpoin␈α␈t␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision␈ε")␈ε2.
␈β
f␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈1␈↓ α
␈ε5Q␈↓ α|␈ε5EQ␈α␈U␈↓ βZ␈ε5BYTE/2␈↓ ¬*␈ε)q␈↓ ¬G␈ε#is␈αha␈α␈l␈α↓f␈αth␈α␈e␈αby␈α␈te␈αsize
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈2␈↓ α
␈ε5FMUL␈↓ α|␈ε5ST␈α␈J␈↓ βZ␈ε5EXITF␈↓ ¬*␈ε#Floatin␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αm␈α␈ultiplica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈:
␈β∞6␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈3␈↓ α|␈ε5JO␈α␈V␈↓ βZ␈ε5OFLO␈↓ ¬*␈ε#Ensu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αis␈αo␈α␈{.
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈4␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬w␈ε7␈ ␈↓ ε"␈ε)v␈↓ ε4␈ε#.
␈β∞←␈↓ ¬*␈ε∃TEMP
␈β∂¬␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈5␈↓ α|␈ε5LD␈α␈X␈↓ βZ␈ε5ACC␈↓ ¬*␈ε#rX␈↓ ¬X␈ε7␈ ␈ε)␈α
u␈ε#.
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈6␈↓ α|␈ε5ST␈α␈X␈↓ βZ␈ε5FU(0:4)␈↓ ¬U␈ε7␈ ␈α
ε␈↓ ε'␈ε)f␈↓ ε@␈ε)f␈↓ εY␈ε)f␈↓ εs␈ε)f␈↓ π␈ε#0␈α␈.
␈β∂.␈↓ ¬*␈ε∃FU
␈β∂T␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈7␈↓ α|␈ε5LD␈α␈1␈↓ βZ␈ε5TEMP(EX␈α␈P)
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈8␈↓ α|␈ε5LD␈α␈2␈↓ βZ␈ε5ACC(EXP␈α␈)
␈β⊂#␈↓ ↓H␈ε)0␈α␈9␈↓ α|␈ε5IN␈α␈C2␈↓ βZ␈ε5-Q,1␈↓ ¬*␈ε#rI␈↓ ¬B␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ επ␈ε)e␈↓ ε.␈ε#+␈↓ εV␈ε)e␈↓ ε|␈ε7␈␈↓ π%␈ε)q␈↓ π7␈ε#.
␈β⊂/␈↓ ε∃␈ε,u␈↓ εe␈ε,v
␈β⊂K␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈0␈↓ α|␈ε5SL␈α␈A␈↓ βZ␈ε51
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈1␈↓ α|␈ε5MU␈α␈L␈↓ βZ␈ε5FU␈↓ ¬*␈ε#Mu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈↓ ε2␈ε)f␈↓ ε←␈ε#times␈↓ π8␈ε)f␈↓ πX␈ε#.
␈β⊂}␈↓ εB␈ε,u␈↓ πH␈ε,v
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈2␈↓ α|␈ε5JM␈α␈P␈↓ βZ␈ε5NORM␈↓ ¬*␈ε#Norm␈α␈alize,␈αrou␈α␈nd␈α␈,␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈xit.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"205
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα&␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈3␈↓ α
␈ε5FDIV␈↓ α|␈ε5ST␈α␈J␈↓ βZ␈ε5EXITF␈↓ ¬*␈ε#Floatin␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αdivision␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e:
␈βαN␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈4␈↓ α|␈ε5JO␈α␈V␈↓ βZ␈ε5OFLO␈↓ ¬*␈ε#Ensu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αis␈αo␈α␈{.
␈βαu␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈5␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5TEMP␈↓ ¬w␈ε7␈ ␈↓ ε"␈ε)v␈↓ ε4␈ε#.
␈βαw␈↓ ¬*␈ε∃TEMP
␈ββ≥␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈6␈↓ α|␈ε5ST␈α␈A␈↓ βZ␈ε5FV(0:4)␈↓ ¬U␈ε7␈ ␈α
ε␈↓ ε'␈ε)f␈↓ ε@␈ε)f␈↓ εY␈ε)f␈↓ εs␈ε)f␈↓ π␈ε#0␈α␈.
␈ββ∨␈↓ ¬*␈ε∃FV
␈ββD␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈7␈↓ α|␈ε5LD␈α␈1␈↓ βZ␈ε5TEMP(EX␈α␈P)
␈ββl␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈8␈↓ α|␈ε5LD␈α␈2␈↓ βZ␈ε5ACC(EXP␈α␈)
␈β∧∀␈↓ ↓H␈ε)1␈α␈9␈↓ α|␈ε5DE␈α␈C2␈↓ βZ␈ε5-Q,1␈↓ ¬*␈ε#rI␈↓ ¬B␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ επ␈ε)e␈↓ ε.␈ε7␈␈↓ εV␈ε)e␈↓ ε|␈ε#+␈↓ π%␈ε)q␈↓ π7␈ε#.
␈β∧∨␈↓ ε∃␈ε,u␈↓ εe␈ε,v
␈β∧;␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈0␈↓ α|␈ε5EN␈α␈TX␈↓ βZ␈ε50
␈β∧c␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈1␈↓ α|␈ε5LD␈α␈A␈↓ βZ␈ε5ACC
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈2␈↓ α|␈ε5SL␈α␈A␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬*␈ε#rA␈↓ ¬X␈ε7␈ ␈↓ εβ␈ε)f␈↓ ε%␈ε#.
␈β¬⊗␈↓ ε∪␈ε,u
␈β¬2␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈3␈↓ α|␈ε5CM␈α␈PA␈↓ βZ␈ε5FV(1:5)
␈β¬Z␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈4␈↓ α|␈ε5JL␈↓ βZ␈ε5*+3␈↓ ¬*␈ε#Ju␈α␈mp␈αif␈ε7␈αj␈↓ ε/␈ε)f␈↓ εQ␈ε7j␈ε#␈α
<␈ε7␈α	j␈↓ π↔␈ε)f␈↓ π8␈ε7j␈ε#.
␈β¬e␈↓ ε@␈ε,u␈↓ π(␈ε,v
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈5␈↓ α|␈ε5SR␈α␈A␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬*␈ε#Oth␈α␈erwise,␈αs␈α␈cale␈↓ π ␈ε)f␈↓ πM␈ε#righ␈α␈t
␈βε
␈↓ π1␈ε,u
␈βε)␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈6␈↓ α|␈ε5IN␈α␈C2␈↓ βZ␈ε51␈↓ ¬m␈ε#a␈α␈nd␈α
i␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈αrI2␈αb␈α␈y␈α1.
␈βεP␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈7␈↓ α|␈ε5DI␈α␈V␈↓ βZ␈ε5FV␈↓ ¬*␈ε#Divide␈α␈.
␈βεx␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈8␈↓ α|␈ε5JN␈α␈OV␈↓ βZ␈ε5NORM␈↓ ¬*␈ε#Norm␈α␈alize,␈αrou␈α␈nd␈α␈,␈αa␈α␈nd␈αe␈α␈xit.
␈βπ ␈↓ ↓H␈ε)2␈α␈9␈↓ α
␈ε5DVZRO␈↓ α|␈ε5HL␈α␈T␈↓ βZ␈ε53␈↓ ¬*␈ε#Unnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ed␈αo␈α␈r␈αzero␈αd␈α␈ivisor
␈βπ'␈↓ λu␈∧π'λu≠∂
␈βπj␈↓ α␈ε"The␈α∞m␈α↓ost␈α∞n␈α↓otew␈α␈orth␈α␈y␈α∂feature␈α∞of␈α∞this␈α∞program␈α∂is␈α∞the␈α∞pro␈α␈vision␈α∞for␈α∞division
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε"in␈α
lines␈α
23↑26,␈α
which␈α∞is␈α
made␈α
in␈α
order␈α
to␈α∞ensure␈α
en␈α↓ough␈α
accuracy␈α
to␈α
round␈α
the
␈βλA␈↓ ↓H␈ε"answ␈α␈er.␈α∩If␈ε6␈α
j␈↓ α}␈ε(f␈↓ β#␈ε6j␈ε"␈α<␈ε6␈αj␈↓ βr␈ε(f␈↓ ∧⊗␈ε6j␈ε",␈α
straigh␈α␈tforw␈α␈ard␈α
application␈α
of␈α
Algorithm␈α
M␈α
w␈α␈ould␈αlea␈α␈v␈α␈e
␈βλM␈↓ β⊂␈ε+u␈↓ ∧∧␈ε+v
␈βλl␈↓ ↓H␈ε"a␈α⊃result␈α∩of␈α⊃the␈α⊃form␈α∩\␈ε6ε␈ε"␈αε0␈↓ ∧w␈ε(f␈↓ ¬∩␈ε(f␈↓ ¬.␈ε(f␈↓ ¬I␈ε(f␈↓ ¬↑␈ε""␈α∩in␈α⊃register␈α∩A,␈α⊃and␈α∩this␈α⊃w␈α␈ould␈α∩n␈α↓ot␈α⊃allo␈α␈w␈α⊃a
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"proper␈α
rounding␈α∞with␈α↓out␈α
a␈α∞careful␈α
analysis␈α∞of␈α
the␈α∞remainder␈α
(which␈α∞appears␈α
in
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"register␈α
X).␈α⊂So␈α
the␈αprogram␈α
computes␈↓ ε∨␈ε(f␈↓ εS␈ε6␈ ␈↓ π↓␈ε(f␈↓ π&␈ε"/␈↓ π8␈ε(f␈↓ πf␈ε"in␈αthis␈α
case,␈αensuring␈α
that␈↓ β␈ε(f
␈β	O␈↓ ε1␈ε+w␈↓ π∪␈ε+u␈↓ πJ␈ε+v␈↓ ∀␈ε+w
␈β	m␈↓ ↓H␈ε"is␈α	either␈αλzero␈α	or␈α	n␈α↓ormalized␈α	in␈α	all␈α	cases;␈α
rounding␈α	can␈α	proceed␈α	with␈α	|v␈α␈e␈αλsigni|can␈α␈t
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"bytes,␈αpossibly␈αtesting␈αwhether␈αthe␈αremainder␈αis␈αzero.
␈β
U␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α∩occasionally␈α⊃need␈α∩to␈α⊃con␈α␈v␈α␈ert␈α∩v␈α}alues␈α⊃bet␈α␈w␈α␈een␈α∩|xed␈α⊃and␈α∩⎇oating␈α⊃poin␈α␈t
␈β␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈tations.␈α∀A␈α
\␈↓ ∧␈ε"|x-to-⎇oat"␈α
routine␈↓ εN␈ε"is␈α∞easily␈α
obtained␈α
with␈α∞the␈α
help␈α
of␈α
the
␈β,␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalization␈α⊂algorithm␈α⊂abo␈α␈v␈α␈e;␈α∩for␈α⊂example,␈α⊃in␈↓ λ
␈ε",␈α⊂the␈α⊂follo␈α␈wing␈α⊂subroutine
␈β.␈↓ πU␈ε5MIX
␈βW␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈v␈α␈erts␈αan␈αin␈α␈teger␈αto␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αform:
␈β*␈↓ β	␈ε)01␈↓ βL␈ε5FLOT␈↓ ∧+␈ε5S␈α␈TJ␈↓ ¬	␈ε5EXITF␈↓ ε
␈ε#Assume␈α
that␈↓ πP␈ε#rA␈↓ π}␈ε#=␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓,␈αan␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r.
␈βR␈↓ β	␈ε)02␈↓ ∧+␈ε5J␈α␈OV␈↓ ¬	␈ε5OFLO␈↓ ε
␈ε#E␈α↓n␈α␈su␈α␈re␈αo␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈αis␈αo{␈α␈.
␈βx␈↓ 
p␈ε"(10)
␈βy␈↓ β	␈ε)03␈↓ ∧+␈ε5E␈α␈NT2␈↓ ¬	␈ε5Q+5␈↓ ε
␈ε#Set␈αra␈α}w␈αe␈α␈xp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.
␈β
!␈↓ β	␈ε)04␈↓ ∧+␈ε5E␈α␈NTX␈↓ ¬	␈ε50
␈β
I␈↓ β	␈ε)05␈↓ ∧+␈ε5J␈α␈MP␈↓ ¬	␈ε5NORM␈↓ ε
␈ε#Norma␈α␈li␈α↓ze␈α␈,␈αro␈α␈un␈α␈d,␈αan␈α␈d␈αex␈α␈it.
␈β
P␈↓ 	F␈∧
P	F≠∂
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"A␈α\⎇oat-to-|x"␈αsubroutine␈αis␈αthe␈αsubject␈αof␈αexercise␈α14.
␈β∞V␈↓ α␈ε"The␈↓ αW␈ε"debugging␈α
of␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α∞subroutines␈α
is␈α
usually␈α
a␈α
di}cult␈α
job,␈α
since
␈β∂α␈↓ ↓H␈ε"there␈αare␈αso␈αman␈α␈y␈αcases␈αto␈αconsider.␈α⊂Here␈αis␈αa␈αlist␈αof␈αcomm␈α↓on␈αpitfalls␈αthat␈αo$en
␈β∂-␈↓ ↓H␈ε"trap␈α
a␈α
programmer␈α
or␈αmachine␈α
designer␈α
wh␈α↓o␈α
is␈αpreparing␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
routines:
␈β∂i␈↓ ↓b␈ε"1)␈↓ α␈ε/Losing␈α∞the␈α∞sign.␈ε"␈α≥On␈α∞man␈α␈y␈α∂machines␈α∞(n␈α↓ot␈↓ πp␈ε"),␈α∞shi$␈α∞instructions␈α∞bet␈α␈w␈α␈een
␈β∂k␈↓ π7␈ε5MIX
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"registers␈α
will␈αa{ect␈αthe␈αsign,␈αand␈αthe␈α
shi$ing␈αoperations␈αused␈αin␈αn␈α↓ormalizing␈α
and
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"scaling␈α	n␈α␈um␈α␈bers␈α	m␈α␈ust␈α	be␈α	carefully␈α	analyzed.␈α∂The␈α
sign␈α	is␈α	also␈α	lost␈α	frequen␈α␈tly␈α	when
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"min␈α␈us␈αzero␈αis␈α
presen␈α␈t.␈α→(F␈α⎇or␈α
example,␈αProgram␈αA␈α
is␈αcareful␈αto␈α
retain␈αthe␈αsign␈αof
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"register␈αA␈αin␈αlines␈α30↑34.␈α⊂See␈αalso␈αexercise␈α6.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"206␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓b␈ε"2)␈↓ α␈ε/F␈α⎇ailure␈α∂to␈α∂treat␈↓ ∧∪␈ε/exponen␈α␈t␈α∂under⎇o␈α␈w␈α∂or␈↓ πλ␈ε/o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α⊂properly.␈ε"␈α∨The␈α∂size␈α∂of␈↓ ¬␈ε(e
␈βα/␈↓ ∀␈ε+w
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈α∪n␈α↓ot␈α∪be␈α∀check␈α␈ed␈α∪un␈α␈til␈ε/␈α∀a$er␈ε"␈α∪the␈α∪rounding␈α∀and␈α∪n␈α↓ormalization,␈α∃because
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"preliminary␈α⊂tests␈α⊂ma␈α␈y␈α⊂giv␈α␈e␈α⊂an␈α⊂erroneous␈α⊂indication.␈α≠Exponen␈α␈t␈α⊂under⎇o␈α␈w␈α⊂and
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
can␈α∞occur␈α∞on␈α∞⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α∞addition␈α∞and␈α∞subtraction,␈α∞n␈α↓ot␈α∞only␈α
during
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision;␈α
and␈αev␈α␈en␈αth␈α↓ough␈α
this␈αis␈αa␈αrather␈α
rare␈αoccurrence,␈αit
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈α
be␈α
tested␈αeach␈α
time.␈α⊂En␈α↓ough␈α
information␈α
sh␈α↓ould␈αbe␈α
retained␈αso␈α
that␈α
mean-
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"ingful␈αcorrectiv␈α␈e␈αactions␈αare␈αpossible␈αa$er␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αor␈αunder⎇o␈α␈w␈αhas␈αoccurred.
␈β∧T␈↓ α␈ε"It␈αλhas␈α	unfortunately␈αλbecome␈αλcustomary␈αλin␈αλman␈α␈y␈α	instances␈αλto␈αλign␈α↓ore␈αλexponen␈α␈t
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε"under⎇o␈α␈w␈α∂and␈α∂simply␈α∂to␈α∂set␈α∂under⎇o␈α␈w␈α␈ed␈α⊂results␈α∂to␈α∂zero␈α∂with␈α∂n␈α↓o␈α∂indication␈α∂of
␈β¬*␈↓ ↓H␈ε"error.␈α≥This␈α⊃causes␈α⊂a␈α⊃serious␈α⊂loss␈α⊂of␈α⊃accuracy␈α⊂in␈α⊃m␈α↓ost␈α⊂cases␈α⊃(indeed,␈α⊃it␈α⊃is␈α⊂the
␈β¬U␈↓ ↓H␈ε"loss␈α
of␈ε/␈α
all␈ε"␈α
the␈α∞signi|can␈α␈t␈α
digits),␈α
and␈α∞the␈α
assumptions␈α
underlying␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t
␈βε␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈α∩brok␈α␈en␈α∩do␈α␈wn,␈α∀so␈α∩the␈α∩programmer␈α∪really␈α∩m␈α␈ust␈α∩be␈α∩told␈α∩when
␈βε,␈↓ ↓H␈ε"under⎇o␈α␈w␈αhas␈αoccurred.␈α⊂Setting␈αthe␈αresult␈αto␈αzero␈αis␈αappropriate␈αonly␈αin␈αcertain
␈βεW␈↓ ↓H␈ε"cases␈α⊃when␈α∩the␈α⊃result␈α∩is␈α⊃later␈α∩to␈α⊃be␈α∩added␈α⊃to␈α∩a␈α⊃signi|can␈α␈tly␈α∩larger␈α⊃quan␈α␈tit␈α␈y.
␈βπα␈↓ ↓H␈ε"When␈α	exponen␈α␈t␈α	under⎇o␈α␈w␈α
is␈α	n␈α↓ot␈α	detected,␈α
w␈α␈e␈α	|nd␈α
m␈α␈ysterious␈α	situations␈α	in␈α	which
␈βπ-␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α	␈
␈↓ α ␈ε(v␈↓ α3␈ε")␈ε6␈α
␈
␈↓ αw␈ε(w␈↓ β ␈ε"is␈α∂zero,␈α∂but␈ε(␈α∂u␈ε6␈α
␈
␈ε"␈α
(␈↓ ¬>␈ε(v␈↓ ¬Z␈ε6␈
␈↓ ελ␈ε(w␈↓ ε#␈ε")␈α∂is␈α∂n␈α↓ot,␈α∂since␈ε(␈α∂u␈ε6␈α	␈
␈↓ λZ␈ε(v␈↓ λ|␈ε"results␈α∂in␈α∞exponen␈α␈t
␈βπX␈↓ ↓H␈ε"under⎇o␈α␈w␈αbut␈ε(␈αu␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈απ(␈↓ ∧α␈ε(v␈↓ ∧≥␈ε6␈
␈↓ ∧I␈ε(w␈↓ ∧d␈ε")␈αcan␈αbe␈αcalculated␈αwith␈α↓out␈αan␈α␈y␈αexponen␈α␈ts␈αfalling␈αout
␈βλ∧␈↓ ↓H␈ε"of␈αrange.␈α⊂Similarly,␈αw␈α␈e␈αcan␈α|nd␈αpositiv␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αa␈ε",␈ε(␈αb␈ε",␈ε(␈αc␈ε",␈ε(␈αd␈ε",␈αand␈↓ 	9␈ε(y␈↓ 	X␈ε"such␈αthat
␈βλY␈↓ λ6␈ε%2
␈βλ↑␈↓ ∧!␈ε"(␈ε(a␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧t␈ε(y␈↓ ¬→␈ε6λ␈ε(␈α∩b␈ε")␈ε6␈αλ␈ε"␈αλ(␈ε(c␈ε6␈αλ␈
␈↓ εm␈ε(y␈↓ π∩␈ε6λ␈ε(␈α∩d␈ε")␈↓ πz␈ε6→␈↓ λI␈ε",
␈βλo␈↓ λ6␈ε%3
␈βλr␈↓ λ6␈∧λrλ6α⊂
␈βλ}␈↓ 
p␈ε"(11)
␈β	∨␈↓ ∧!␈ε"(␈ε(a␈ε6␈α∩λ␈ε(␈α∩b␈ε6␈αλ␈↓ ¬K␈ε(y␈↓ ¬↑␈ε")␈ε6␈αλ␈ε"␈αλ(␈ε(c␈ε6␈α∩λ␈ε(␈α∩d␈ε6␈αλ␈↓ πG␈ε(y␈↓ πZ␈ε")␈↓ πz␈ε"=␈α∀1
␈β	z␈↓ ↓H␈ε"if␈α∞exponen␈α␈t␈α∞under⎇o␈α␈w␈α
is␈α∞n␈α↓ot␈α∞detected.␈α≥(See␈α∞exercise␈α∞9.)␈α≥Ev␈α␈en␈α∞th␈α↓ough␈α
⎇oating
␈β
&␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α∂routines␈α⊂are␈α⊂n␈α↓ot␈α∂precisely␈α⊂accurate,␈α⊂such␈α⊂a␈α⊂disparit␈α␈y␈α∂as␈α⊂(11)␈α⊂is␈α∂certainly
␈β
Q␈↓ ↓H␈ε"unexpected␈α
when␈ε(␈α
a␈ε",␈ε(␈α
b␈ε"␈α↓,␈ε(␈α
c␈ε",␈ε(␈αd␈ε",␈α
and␈↓ ¬:␈ε(y␈↓ ¬W␈ε"are␈α
all␈ε/␈α
positiv␈α␈e␈↓ π>␈ε"!␈α∂Exponen␈α␈t␈α
under⎇o␈α␈w␈α
is␈α
usually
␈β
|␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈αan␈α␈ticipated␈αby␈αa␈αprogrammer,␈αso␈αhe␈αneeds␈αto␈αbe␈αtold␈αabout␈αit.*
␈β>␈↓ ↓b␈ε"3)␈↓ α␈ε/Inserted␈α⊂garbage.␈ε"␈α!When␈α⊃scaling␈α⊂to␈α⊂the␈α⊃le$␈α⊂it␈α⊂is␈α⊃importan␈α␈t␈α⊂to␈α⊂k␈α␈eep␈α⊂from
␈βi␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈troducing␈α∂an␈α␈ything␈α∂but␈α∂zeros␈α∂at␈α∂the␈α∞righ␈α␈t.␈α→F␈α⎇or␈α∂example,␈α⊂n␈α↓ote␈α∂the␈α∂\␈↓ ~␈ε""
␈βk␈↓ 
)␈ε5ENTX␈α∪0
␈β∀␈↓ ↓H␈ε"instruction␈α∞in␈α∂line␈α∞21␈α∂of␈α∞Program␈α∂A␈↓ εβ␈ε",␈α∂and␈α∞the␈α∂all-to␈α↓o-easily-forgotten␈α∞\␈↓ ~␈ε""
␈β⊗␈↓ 
)␈ε5ENTX␈α∪0
␈β@␈↓ ↓H␈ε"instruction␈αin␈αline␈α04␈αof␈αthe␈↓ ¬T␈ε"subroutine␈α(10).␈α⊗(But␈αit␈αw␈α␈ould␈αbe␈α
a␈αmistak␈α␈e␈αto
␈βB␈↓ ∧}␈ε5F␈α␈LOT
␈βk␈↓ ↓H␈ε"clear␈αregister␈αX␈αa$er␈αline␈α27␈αin␈αthe␈αdivision␈αsubroutine.)
␈β
.␈↓ ↓H␈∧
.↓Hα↓X
␈β
7␈↓ ↓H␈ε$*On␈α
the␈α
other␈α
hand,␈α
i␈α␈t␈α
must␈α
be␈α
adm␈α↓i␈α␈tted␈α
that␈α
to␈α↓da␈α␈y's␈α
hi␈α␈g␈α↓h-l␈α␈ev␈α␈el␈↓ λ0␈ε$pr␈α␈o␈α↓gram␈α↓ming␈α
langua␈α↓ges␈α
giv␈α␈e
␈β
W␈↓ ↓H␈ε$the␈αprog␈α↓ramm␈α↓er␈αl␈α␈it␈α␈tle␈αor␈αn␈α↓o␈αsatisfactory␈αw␈α␈ay␈αto␈αm␈α↓ak␈α␈e␈αuse␈αof␈αthe␈αi␈α␈nf␈α↓orma␈α↓ti␈α␈on␈α
t␈α␈ha␈α↓t␈αa␈α⎇oa␈α↓ti␈α␈ng
␈β
x␈↓ ↓H␈ε$poi␈α␈nt␈α∞routi␈α␈ne␈α∞wan␈α␈ts␈α∞to␈α∂te␈α␈ll␈α∞hi␈α␈m␈α↓;␈α⊂and␈α∞the␈↓ εF␈ε$progra␈α↓ms␈α∞in␈α∞this␈α∞se␈α␈cti␈α␈o␈α↓n,␈α∂whi␈α␈ch␈α∞simply␈α∞`␈↓ $␈ε$'
␈β
y␈↓ ε
␈ε⊗MIX␈↓ 
w␈ε⊗HLT
␈β∞_␈↓ ↓H␈ε$whe␈α␈n␈α	err␈α␈o␈α↓rs␈αλa␈α↓r␈α␈e␈α	de␈α␈tect␈α␈ed,␈α	are␈αλev␈α␈en␈αλworse␈α␈.␈α
Ther␈α␈e␈α	are␈αλn␈α␈um␈α↓er␈α␈o␈α↓us␈αλimpo␈α↓rt␈α␈a␈α↓n␈α␈t␈α	appl␈α␈ic␈α␈a␈α↓ti␈α␈ons␈α	in␈αλwhic␈α␈h
␈β∞9␈↓ ↓H␈ε$e␈α␈xpo␈α↓ne␈α␈n␈α␈t␈αunder⎇o␈α␈w␈αis␈αr␈α␈elati␈α␈ve␈α␈ly␈αharm␈α↓l␈α␈ess␈α␈,␈αa␈α↓nd␈αi␈α␈t␈αis␈αdesi␈α␈ra␈α↓bl␈α␈e␈αto␈α|nd␈αa␈αw␈α␈ay␈αfor␈αpro␈α↓gram␈α↓mers
␈β∞Y␈↓ ↓H␈ε$to␈α	cope␈α	with␈α	such␈α	si␈α␈tua␈α↓ti␈α␈ons␈α
e␈α␈a␈α↓s␈α␈il␈α␈y␈α
and␈α
safel␈α␈y.␈α
The␈α	pra␈α↓c␈α␈tic␈α␈e␈α	o␈α↓f␈α	sil␈α␈en␈α␈tl␈α␈y␈α
re␈α␈placi␈α␈ng␈α
under␈α␈⎇ows␈α	by
␈β∞y␈↓ ↓H␈ε$z␈α␈ero␈αha␈α↓s␈αbe␈α␈en␈αth␈α↓oro␈α↓ughl␈α␈y␈αdi␈α␈scre␈α␈dite␈α␈d,␈αbut␈αt␈α␈here␈αi␈α␈s␈αa␈α↓n␈α↓othe␈α␈r␈αal␈α␈ternativ␈α␈e␈αthat␈αhas␈αr␈α␈ece␈α␈n␈α␈tly␈αbee␈α␈n
␈β∂~␈↓ ↓H␈ε$gaini␈α␈ng␈α
muc␈α␈h␈α	f␈α↓a␈α␈v␈α␈o␈α↓r,␈α	namely␈α	to␈α
m␈α↓odify␈α	the␈α	de|ni␈α␈tion␈α	we␈αλhav␈α␈e␈α	giv␈α␈en␈α	fo␈α↓r␈α	⎇oa␈α↓t␈α␈ing␈α
poi␈α␈nt␈α	n␈α␈umbe␈α␈rs,
␈β∂:␈↓ ↓H␈ε$al␈α␈lo␈α␈wing␈α	an␈αλunn␈α↓orm␈α↓al␈α␈ize␈α␈d␈αλf␈α↓rac␈α␈tion␈αλpa␈α↓rt␈αλwhe␈α␈n␈α	the␈απexponen␈α␈t␈αλha␈α↓s␈αλi␈α␈ts␈αλsm␈α↓all␈α␈est␈αλpossi␈α␈ble␈αλv␈α}alue␈α␈.␈α
This
␈β∂[␈↓ ↓H␈ε$i␈α␈dea␈α	o␈α↓f␈α	\␈↓ α9␈ε$g␈α↓r␈α␈a␈α↓dual␈α	unde␈α␈r⎇ow,␈α␈"␈α
whic␈α␈h␈α	was␈α	|rst␈α	em␈α␈bo␈α↓di␈α␈ed␈α	i␈α␈n␈α
t␈α␈he␈α	ha␈α↓r␈α␈dware␈α	of␈α	the␈↓ 	R␈ε$E␈α↓l␈α␈ec␈α␈trologica␈α	X8
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε$c␈α␈o␈α↓mputer␈α␈,␈αadds␈α
o␈α↓nl␈α␈y␈αa␈αsma␈α↓l␈α␈l␈α
a␈α↓m␈α↓oun␈α␈t␈αof␈αcomple␈α␈xit␈α␈y␈αto␈αt␈α␈he␈αal␈α␈g␈α↓ori␈α␈thm␈α↓s,␈α
and␈αi␈α␈t␈αma␈α↓k␈α␈e␈α␈s␈αe␈α␈xpo␈α↓ne␈α␈nt
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈ε$unde␈α␈r⎇ow␈αimpo␈α↓ss␈α␈ibl␈α␈e␈α
duri␈α␈ng␈α
additi␈α␈o␈α↓n␈αo␈α↓r␈αsubtracti␈α␈on.␈α∃The␈αsimple␈αfo␈α↓r␈α␈mulas␈αf␈α↓or␈↓ 	⎇␈ε$r␈α␈elati␈α␈ve␈αe␈α␈rro␈α↓r
␈β⊂<␈↓ ↓H␈ε$i␈α␈n␈αSecti␈α␈on␈α
4.2.␈α␈2␈α
n␈α↓o␈αlong␈α↓e␈α␈r␈αh␈α↓o␈α↓l␈α␈d␈αin␈αthe␈αpres␈α␈ence␈αof␈αg␈α↓radual␈αunder⎇o␈α␈w,␈αso␈α
the␈αtopic␈αi␈α␈s␈αbey␈α␈ond
␈β⊂\␈↓ ↓H␈ε$the␈α	sc␈α␈o␈α↓pe␈α	of␈α
thi␈α␈s␈α
bo␈α↓ok.␈α
How␈α␈e␈α␈ve␈α␈r,␈α	by␈α
using␈α
formul␈α␈as␈α
l␈α␈ik␈α␈e␈↓ π3␈ε$round␈↓ λ↓␈ε$(␈ε*␈α↓x␈ε$)␈αλ=␈ε*␈αλx␈ε$(␈α↓1␈ε8␈αε␈␈↓ 	+␈ε*∞␈↓ 	:␈ε$)␈αε+␈ε*␈α¬∂␈ε$,␈α	where␈ε8␈α	j␈↓ 
m␈ε*∞␈↓ 
⎇␈ε8j␈ε$␈αλ<
␈β⊂w␈↓ ↓i␈ε&1␈ε:␈␈ε,p␈↓ βV␈ε:␈␈ε,p␈ε:␈␈↓ ∧_␈ε,q
␈β⊂x␈↓ ↓K␈ε&1␈↓ β7␈ε&1
␈β⊂⎇␈↓ ↓\␈ε*b␈↓ α+␈ε$and␈ε8␈αj␈ε*␈α␈∂␈ε8j␈ε$␈αλ<␈↓ βI␈ε*b␈↓ ∧(␈ε$,␈α
one␈α
can␈α
sh␈α↓ow␈α
that␈α
g␈α↓radual␈α
under⎇o␈α␈w␈↓ λ5␈ε$succ␈α␈eeds␈α
i␈α␈n␈αmany␈α
i␈α␈m␈α↓portant
␈β⊃␈↓ ↓K␈ε&2␈↓ β7␈ε&2
␈β⊃∞␈↓ ↓K␈∧⊃∞↓Kα∞␈↓ β7␈∧⊃∞β7α∞
␈β⊃≥␈↓ ↓H␈ε$c␈α␈a␈α↓s␈α␈es.␈α
See␈α	W.␈α
M.␈↓ β6␈ε$K␈α␈a␈α↓han␈α
a␈α↓nd␈α
J.␈↓ ∧v␈ε$Palmer,␈ε1␈α
A␈α␈CM␈α
SI␈α↓G␈α␈NUM␈αNe␈α␈wsle␈α␈tter␈ε$␈α
(Oc␈α␈t.␈α
19␈α↓79),␈α
13␈α↓↑21␈α↓.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"207
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα"␈↓ ↓b␈ε"4)␈↓ α␈ε/Unforeseen␈↓ βE␈ε/rounding␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w.␈ε"␈α≠When␈αa␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
lik␈α␈e␈α.999999997␈α
is␈αrounded
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"to␈α
8␈α
digits,␈α
a␈α
carry␈α
will␈α
occur␈α
to␈α
the␈α
le$␈α	of␈α
the␈α
decimal␈α
poin␈α␈t,␈αand␈α
the␈α
result␈α	m␈α␈ust
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"be␈α∞scaled␈α∞to␈α∞the␈α∂righ␈α␈t.␈α⊗Man␈α␈y␈α∞people␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∞mistak␈α␈enly␈α∞concluded␈α∞that␈α∞rounding
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∂is␈α⊂impossible␈α∂during␈α⊂m␈α␈ultiplication,␈α⊂since␈α⊂they␈α⊂lo␈α↓ok␈α∂at␈α⊂the␈α∂maxim␈α␈um
␈ββI␈↓ ¬3␈ε9␈␈ε+p␈↓ ε%␈ε9␈␈ε%␈α␈2␈ε+p
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alue␈αof␈ε6␈αj␈↓ αX␈ε(f␈↓ α}␈ε(f␈↓ β!␈ε6j␈ε",␈αwhich␈αis␈α1␈ε6␈απ␈␈ε"␈αλ2␈↓ ¬$␈ε(b␈↓ ¬j␈ε"+␈↓ ε∃␈ε(b␈↓ εb␈ε";␈αand␈αthis␈αcann␈α↓ot␈αround␈αup␈αto␈α1.␈α⊂The
␈ββ[␈↓ αj␈ε+u␈↓ β∂␈ε+v
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"fallacy␈αin␈αthis␈αreasoning␈αis␈αexhibited␈αin␈αexercise␈α11.␈α⊂Curiously,␈αit␈αturns␈αout␈αthat
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"the␈α	phen␈α↓omen␈α↓on␈α
of␈α	rounding␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈ε/␈α	is␈↓ ε>␈ε"impossible␈α
during␈α	⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	division
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"(see␈αexercise␈α12).
␈β∧|␈↓ α␈ε"There␈αis␈αa␈αsch␈α↓o␈α↓ol␈αof␈αth␈α↓ough␈α␈t␈αthat␈αsa␈α␈ys␈αit␈αis␈αharmless␈αto␈α\round"␈αa␈αv␈α}alue␈αlik␈α␈e
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε".999999997␈α⊂to␈α⊂.99999999␈α⊂instead␈α⊂of␈α⊂to␈α⊂1.0000000,␈α⊃since␈α⊂this␈α⊂does␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂increase
␈β¬S␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞w␈α␈orst-case␈α∂bounds␈α∂on␈α∂relativ␈α␈e␈α∞error.␈α→The␈α∞⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞1.0000000
␈β¬x␈↓ 
t␈ε9␈␈ε%8
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε"ma␈α␈y␈α
be␈α
said␈α
to␈α
represen␈α␈t␈α
all␈α
real␈α
v␈α}alues␈α
in␈α
the␈α
in␈α␈terv␈α}al␈↓ λ/␈ε"[␈↓ λ9␈ε"1.0000000␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	5␈ε6␈αλα␈ε"␈α	1␈↓ 
b␈ε"0␈↓ "␈ε",
␈βε#␈↓ βn␈ε9␈␈ε%8
␈βε)␈↓ ↓H␈ε"1.0000000␈αβ+␈α∧5␈ε6␈α∧α␈ε"␈αβ1␈↓ β\␈ε"0␈↓ ∧≥␈ε"],␈α
while␈α
.99999999␈α
represen␈α␈ts␈α	all␈α
v␈α}alues␈α
in␈α
the␈α
m␈α␈uch␈α	smaller
␈βεN␈↓ ¬"␈ε9␈␈ε%9␈↓ λ5␈ε9␈␈ε%␈α␈9
␈βεT␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terv␈α}al␈α⊃(.99999999␈ε6␈α␈␈ε"␈α5␈ε6␈αα␈ε"␈α1␈↓ ¬⊂␈ε"0␈↓ ¬Q␈ε",␈α∪.99999999␈α+␈α5␈ε6␈αα␈ε"␈α1␈↓ λ#␈ε"0␈↓ λc␈ε").␈α!Ev␈α␈en␈α∩th␈α↓ough␈α⊃the
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"latter␈α∞in␈α␈terv␈α}al␈α∂does␈α∂n␈α↓ot␈α∂con␈α␈tain␈α∂the␈α∂original␈α∞v␈α}alue␈α∂.999999997,␈α⊂each␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞of
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"the␈αsecond␈αin␈α␈terv␈α}al␈αis␈α
con␈α␈tained␈αin␈αthe␈α|rst,␈α
so␈αsubsequen␈α␈t␈αcalculations␈αwith␈αthe
␈βπV␈↓ ↓H␈ε"second␈α
in␈α␈terv␈α}al␈α
are␈αn␈α↓o␈α
less␈α
accurate␈α
than␈αwith␈α
the␈α
|rst.␈α⊂This␈α
ingenious␈α
argumen␈α␈t
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"is,␈α⊃h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α⊃incompatible␈α⊃with␈α⊂the␈α⊂mathematical␈α⊃philosoph␈α␈y␈α⊂of␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈αexpressed␈αin␈αSection␈α4.2.2.
␈βλe␈↓ ↓b␈ε"5)␈↓ α␈ε/Rounding␈α
before␈αn␈α↓ormalizing.␈ε"␈α∪Inaccuracies␈αare␈α
caused␈αby␈α
premature␈α
round-
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ε"ing␈αλin␈α	the␈α	wrong␈α	digit␈α	position.␈α∂This␈α	error␈αλis␈α	obvious␈α	when␈α	rounding␈α	is␈α	being␈αλdone
␈β	;␈↓ ↓H␈ε"to␈α
the␈α
le$␈α	of␈α
the␈α
appropriate␈α
position;␈αbut␈α
it␈α
is␈α
also␈α
dangerous␈α
in␈α
the␈α
less␈α	obvious
␈β	f␈↓ ↓H␈ε"cases␈α	where␈αλrounding␈α	is␈α	|rst␈α	done␈α	to␈α↓o␈α	far␈α	to␈α	the␈αλrigh␈α␈t,␈α
follo␈α␈w␈α␈ed␈α	by␈α	rounding␈α	in␈αλthe
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"true␈αposition.␈α⊂F␈α⎇or␈αthis␈αreason␈αit␈αis␈αa␈αmistak␈α␈e␈αto␈αround␈αduring␈αthe␈α\scaling-righ␈α␈t"
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"operation␈α∂in␈α∂step␈α∂A5,␈α∂except␈α∂as␈α∂prescribed␈α∂in␈α∂exercise␈α∂5.␈α∨(The␈α∂special␈α∞case␈α∂of
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"rounding␈αin␈αstep␈αN5,␈αthen␈αrounding␈αagain␈αa$er␈αrounding␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αhas␈αoccurred,
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"is␈α
harmless,␈α
h␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
because␈α
rounding␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
yields␈ε6␈α
ε␈ε"1.0000000␈α
and
␈β>␈↓ ↓H␈ε"this␈αis␈αuna{ected␈αby␈αthe␈αsubsequen␈α␈t␈αrounding␈αprocess.)
␈βw␈↓ ↓b␈ε"6)␈↓ α␈ε/F␈α⎇ailure␈α⊃to␈α⊂retain␈α⊃en␈α↓ough␈α⊂precision␈α⊃in␈α⊂in␈α␈termediate␈α⊃calculations.␈ε"␈α!Detailed
␈β"␈↓ ↓H␈ε"analyses␈αof␈α
the␈α
accuracy␈α
of␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈α
arithmetic,␈α
made␈α
in␈α
the␈α
next␈αsection,
␈βM␈↓ ↓H␈ε"suggest␈α∞strongly␈α∞that␈α∞n␈α↓ormalizing␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞routines␈α
sh␈α↓ould␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞deliv␈α␈er
␈βx␈↓ ↓H␈ε"a␈α⊃properly␈α⊃rounded␈α⊃result␈α⊃to␈α⊃the␈α⊃maxim␈α␈um␈α⊃possible␈α⊃accuracy.␈α∨There␈α⊃sh␈α↓ould
␈β
#␈↓ ↓H␈ε"be␈α∂n␈α↓o␈α∂exceptions␈α∂to␈α∂this␈α∂dictum,␈α⊂ev␈α␈en␈α⊂in␈α∂cases␈α∂that␈α∂occur␈α∂with␈α∂extremely␈α∂lo␈α␈w
␈β
O␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y;␈α↔the␈α∪appropriate␈α∀n␈α␈um␈α␈ber␈α∪of␈α∀signi|can␈α␈t␈α∪digits␈α∀sh␈α↓ould␈α∪be␈α∪retained
␈β
z␈↓ ↓H␈ε"through␈α↓out␈αthe␈αcomputations,␈αas␈αstated␈αin␈αAlgorithms␈αA␈αand␈αM.
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε2C.␈αFloating␈αpoin␈α␈t␈αhardw␈α␈are.␈ε"␈α⊗Nearly␈αev␈α␈ery␈αlarge␈αcomputer␈αin␈α␈tended␈αfor␈αscien␈α␈ti|c
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"calculations␈α
includes␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈α
arithmetic␈αas␈αpart␈αof␈α
its␈αrepertoire␈αof␈α
built-in
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"operations.␈α_Unfortunately,␈α∂the␈α∂design␈α∞of␈α∂such␈α∞hardw␈α␈are␈α∂usually␈α∂includes␈α∞some
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"an␈α↓omalies␈α
that␈α
result␈α
in␈αdismally␈α
po␈α↓or␈α
beha␈α␈vior␈α
in␈α
certain␈αcircumstances,␈α
and␈α
w␈α␈e
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓ope␈α∞that␈α∂future␈α∂computer␈α∞designers␈α∂will␈α∂pa␈α␈y␈α∂m␈α↓ore␈α∞atten␈α␈tion␈α∂to␈α∂pro␈α␈viding␈α∞the
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"proper␈αλbeha␈α␈vior␈α	than␈α	they␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	in␈αλthe␈α	past.␈α∂It␈α	costs␈α	only␈αλa␈α	little␈α	m␈α↓ore␈α	to␈α	build␈αλthe
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"machine␈αrigh␈α␈t,␈αand␈αconsiderations␈αin␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsection␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈αsubstan␈α␈tial
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"bene|ts␈α
will␈α∞be␈α
gained.␈α∃Y␈α⎇esterda␈α␈y's␈α∞compromises␈α
are␈α∞n␈α↓o␈α
longer␈α∞appropriate␈α
for
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓odern␈αmachines,␈αbased␈αon␈αwhat␈αw␈α␈e␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αn␈α↓o␈α␈w.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"208␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈↓ β∃␈ε"computer,␈α	which␈α	is␈α	being␈α	used␈α	as␈α	an␈α	example␈α	of␈α	a␈α	\t␈α␈ypical"␈α	machine
␈βα&␈↓ αS␈ε5MIX
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"in␈αthis␈αseries␈αof␈αbo␈α↓oks,␈αhas␈αan␈αoptional␈α\␈↓ ε?␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αattachmen␈α␈t"␈α(a␈α␈v␈α}ailable␈αat
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"extra␈αcost)␈αthat␈αincludes␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsev␈α␈en␈αoperations:
␈ββ5␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α.␈ε",␈↓ β∞␈ε",␈↓ βm␈ε",␈↓ ∧L␈ε",␈↓ ¬,␈ε",␈↓ ε∀␈ε"(C␈α
=␈α	1,␈α
2,␈α	3,␈α
4,␈α
5,␈α
56,␈α	respectiv␈α␈ely;␈↓ 
0␈ε"F␈α=␈α6␈↓ ⊗␈ε").
␈ββ7␈↓ ↓c␈ε5FADD␈↓ αB␈ε5FSUB␈↓ β"␈ε5F␈α␈MUL␈↓ ∧↓␈ε5FDIV␈↓ ∧`␈ε5FLOT␈↓ ¬@␈ε5FC␈α␈MP
␈ββ`␈↓ ↓H␈ε"The␈α
con␈α␈ten␈α␈ts␈α∞of␈α
rA␈α∞a$er␈α
the␈α∞operation␈α∞\␈↓ π@␈ε""␈α∞are␈α
precisely␈α∞the␈α
same␈α∞as␈α
the
␈ββb␈↓ εO␈ε5FA␈α␈DD␈α∪V
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"con␈α␈ten␈α␈ts␈αof␈αrA␈αa$er␈αthe␈αoperations
␈β∧L␈↓ ¬\␈ε5S␈α␈TA␈↓ ε'␈ε5ACC
␈β∧s␈↓ ¬\␈ε5L␈α␈DA␈↓ ε'␈ε5V
␈β¬≠␈↓ ¬\␈ε5J␈α␈MP␈↓ ε'␈ε5FADD
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε"where␈↓ β↓␈ε"is␈α	the␈αλsubroutine␈α	that␈α	appears␈α	earlier␈α	in␈α	this␈αλsection,␈α
except␈α	that␈αλboth
␈β¬d␈↓ α,␈ε5FADD
␈βε
␈↓ ↓H␈ε"operands␈α
are␈α
automatically␈α
n␈α↓ormalized␈α
before␈α
en␈α␈try␈αto␈α
the␈α
subroutine␈α
if␈α
they␈α
are
␈βε8␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈αalready␈αin␈αn␈α↓ormalized␈αform.␈α→(If␈αexponen␈α␈t␈αunder⎇o␈α␈w␈αoccurs␈αduring␈αthis␈αpre-
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalization,␈αbut␈α
n␈α↓ot␈αduring␈αthe␈α
n␈α↓ormalization␈αof␈α
the␈αansw␈α␈er,␈α
n␈α↓o␈αunder⎇o␈α␈w␈αis
␈βπ∞␈↓ ↓H␈ε"signalled.)␈α→Similar␈αremarks␈αapply␈αto␈↓ ε←␈ε",␈↓ πA␈ε",␈αand␈↓ λh␈ε".␈α⊂The␈αcon␈α␈ten␈α␈ts␈αof␈αrA
␈βπ⊂␈↓ ε∀␈ε5FSU␈α␈B␈↓ εu␈ε5FMUL␈↓ λ≥␈ε5FDIV
␈βπ:␈↓ ↓H␈ε"a$er␈αthe␈αoperation␈α\␈↓ ∧Z␈ε""␈αare␈αthe␈αcon␈α␈ten␈α␈ts␈α
a$er␈α\␈↓ 	␈ε""␈αin␈αthe␈αsubroutine
␈βπ<␈↓ ∧∞␈ε5FLOT␈↓ πi␈ε5JM␈α␈P␈α∪FLOT
␈βπe␈↓ ↓H␈ε"(10)␈αabo␈α␈v␈α␈e.
␈βλ⊂␈↓ α␈ε"The␈α∪con␈α␈ten␈α␈ts␈α∪of␈α∩rA␈α∪are␈α∪unchanged␈α∪by␈α∪the␈α∩operation␈α∪\␈↓ 
β␈ε"";␈α↔this␈α∩in-
␈βλ∩␈↓ 	∩␈ε5FCMP␈α∪V
␈βλ;␈↓ ↓H␈ε"struction␈α
sets␈α∞the␈α
comparison␈α
indicator␈α∞to␈α
less,␈α∞equal,␈α∞or␈α
greater,␈α∞depending␈α
on
␈βλf␈↓ ↓H␈ε"whether␈αthe␈αcon␈α␈ten␈α␈ts␈αof␈αrA␈αare␈α\de|nitely␈αless␈αthan,"␈α\appro␈α␈ximately␈αequal␈αto,"
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε"or␈α\de|nitely␈α
greater␈α
than"␈↓ ¬_␈ε";␈α
this␈α
subject␈αis␈α
discussed␈α
in␈αthe␈α
next␈α
section,␈αand
␈β	∀␈↓ ¬¬␈ε5V
␈β	=␈↓ ↓H␈ε"the␈α∂precise␈α∂action␈α⊂is␈α∂de|ned␈α∂by␈α⊂the␈α∂subroutine␈↓ λ ␈ε"of␈α⊂exercise␈α∂4.2.2↑17␈α∂with
␈β	?␈↓ πE␈ε5FCMP
␈β	h␈↓ αX␈ε"in␈αlocation␈α0.
␈β	j␈↓ ↓H␈ε5EP␈α␈SILON
␈β
∪␈↓ α␈ε"No␈αregister␈α
other␈αthan␈αrA␈α
is␈αa{ected␈αby␈α
an␈α␈y␈αof␈αthe␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈α
operations.
␈β
>␈↓ ↓H␈ε"If␈α∞exponen␈α␈t␈α∞o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∞or␈α∞under⎇o␈α␈w␈α∞occurs,␈α∞the␈α∞o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∞toggle␈α∞is␈α∞turned␈α∞on␈α∞and
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"the␈α
exponen␈α␈t␈α	of␈α
the␈α
answ␈α␈er␈α
is␈α
giv␈α␈en␈α
m␈α↓odulo␈α
the␈α
byte␈α	size.␈α⊂Division␈α
by␈α
zero␈α	lea␈α␈v␈α␈es
␈β∃␈↓ ↓H␈ε"unde|ned␈αgarbage␈αin␈αrA.␈αExecution␈αtimes:␈α4␈ε(u␈ε",␈α4␈ε(u␈ε",␈α9␈ε(u␈ε"␈α␈,␈α11␈ε(u␈ε",␈α3␈ε(u␈ε",␈α4␈ε(u␈ε"␈α␈,␈αrespectiv␈α␈ely.
␈βH␈↓ ↓H␈ε6∂␈↓ α"␈ε"(C␈αλ=␈αλ5;␈α
F␈αλ=␈αλ7).␈αThe␈αλcon␈α␈ten␈α␈ts␈αλof␈αλrA␈αλare␈αλreplaced␈αλby␈αλthe␈αλin␈α␈teger␈↓ 	e␈ε"\round(rA)"␈α⎇,
␈βJ␈↓ ↓b␈ε5FI␈α␈X
␈βs␈↓ ↓H␈ε"rounding␈α
to␈α
the␈α
nearest␈α
in␈α␈teger␈α
as␈α
in␈α
step␈α
N5␈α∞of␈α
Algorithm␈α
N␈↓ 	↔␈ε".␈α∪Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
if␈α
this
␈β≡␈↓ ↓H␈ε"answ␈α␈er␈α∞is␈α∂to␈α↓o␈α∂large␈α∂to␈α∞|t␈α∂in␈α∂the␈α∂register,␈α∂the␈α∂o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∂toggle␈α∞is␈α∂set␈α∂on␈α∂and␈α∞the
␈βI␈↓ ↓H␈ε"result␈αis␈αunde|ned.␈α⊂Execution␈αtime:␈α3␈ε(u␈ε"␈α␈.
␈β|␈↓ α␈ε"Sometimes␈α
it␈α
is␈α	helpful␈α
to␈α
use␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	operators␈α
in␈α
a␈α
n␈α↓onstandard␈α	w␈α␈a␈α␈y.
␈β
(␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αλexample,␈α
if␈αλthe␈α	operation␈↓ ¬e␈ε"had␈α	n␈α↓ot␈α	been␈αλincluded␈α	as␈α	part␈αλof␈↓ 
⊗␈ε"'s␈αλ⎇oating
␈β
*␈↓ ¬⊃␈ε5FLOT␈↓ 	]␈ε5MIX
␈β
S␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α	attachmen␈α␈t,␈α
w␈α␈e␈α
could␈α
easily␈α
achiev␈α␈e␈α	its␈α
e{ect␈α
on␈α	4-byte␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
by␈α	writing
␈β∞∪␈↓ ¬π␈ε5FLOT␈↓ ¬f␈ε5STJ␈↓ εD␈ε59F
␈β∞;␈↓ ¬f␈ε5SLA␈↓ εD␈ε51
␈β∞b␈↓ ¬f␈ε5ENTX␈↓ εD␈ε5Q+4
␈β∞u␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β∂
␈↓ ¬f␈ε5SRC␈↓ εD␈ε51
␈β∂1␈↓ ¬f␈ε5FADD␈↓ εD␈ε5=0=
␈β∂Y␈↓ ¬π␈ε59H␈↓ ¬f␈ε5JMP␈↓ εD␈ε5*
␈β∂`␈↓ π[␈∧∂`π[≠∂
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"This␈α
routine␈α
is␈α
n␈α↓ot␈αstrictly␈α
equiv␈α}alen␈α␈t␈α
to␈α
the␈↓ πQ␈ε"operator,␈αsince␈α
it␈α
assumes␈α
that
␈β⊂_␈↓ ε{␈ε5FLOT
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂1:1␈α⊂byte␈α⊂of␈α⊂rA␈α⊂is␈α⊂zero,␈α⊃and␈α⊂it␈α⊂destro␈α␈ys␈α⊂rX.␈α∂The␈α⊂handling␈α⊂of␈α⊂m␈α↓ore␈α⊂general
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"situations␈α
is␈α∞a␈α∞little␈α∞tricky,␈α∞because␈↓ εε␈ε"rounding␈α∞o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α
can␈α∞occur␈α∞ev␈α␈en␈α∞during␈α
a
␈β⊃_␈↓ α∨␈ε"operation.
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε5FL␈α␈OT
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"209
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα$␈↓ α␈ε"Similarly,␈α
suppose␈↓ ∧|␈ε"had␈α
a␈↓ ε:␈ε"operation␈α
but␈α
n␈α↓ot␈↓ 	→␈ε".␈α∩If␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈an␈α␈ted␈αto
␈βα&␈↓ ∧7␈ε5MIX␈↓ ¬b␈ε5FADD␈↓ λ`␈ε5FIX
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"round␈α∞a␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∞u␈ε"␈α∂from␈α∞⎇oating␈α∂poin␈α␈t␈α∞form␈α∂to␈α∞the␈α∂nearest␈α∞|xed␈α∂poin␈α␈t␈α∞in␈α␈teger,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"and␈αif␈αw␈α␈e␈αknew␈αthat␈αthe␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αw␈α␈as␈αn␈α↓onnegativ␈α␈e␈αand␈αw␈α␈ould␈α|t␈αin␈αat␈αm␈α↓ost␈αthree
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"bytes,␈αw␈α␈e␈αcould␈αwrite
␈ββS␈↓ ¬\␈ε5F␈α␈ADD␈α∪FUDGE
␈β∧∩␈↓ ↓H␈ε"where␈αlocation␈↓ ∧"␈ε"con␈α␈tains␈αthe␈αconstan␈α␈t
␈β∧∀␈↓ β8␈ε5FU␈α␈DGE
␈β∧W␈↓ ∧&␈∧∧W∧&α∧≡
␈β∧Y␈↓ ∧&␈∧∧Y∧&Hα␈↓ ¬␈∧∧Y¬Hα␈↓ ¬Z␈∧∧Y¬ZHα␈↓ ε4␈∧∧Yε4Hα␈↓ π∞␈∧∧Yπ∞Hα␈↓ πh␈∧∧YπhHα␈↓ λB␈∧∧YλBHα
␈β∧g␈↓ λJ␈ε";
␈β∧i␈↓ ∧K␈ε5+␈↓ ¬∩␈ε5Q+␈α␈4␈↓ ¬␈␈ε51␈↓ εY␈ε50␈↓ π3␈ε50␈↓ λ
␈ε50
␈β¬∨␈↓ ∧&␈∧¬∨∧&α∧≡
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε"the␈αresult␈αin␈αrA␈αw␈α␈ould␈αbe
␈βελ␈↓ ∧&␈∧ελ∧&α∧≡
␈βε
␈↓ ∧&␈∧ε
∧&Hα␈↓ ¬␈∧ε
¬Hα␈↓ ¬Z␈∧ε
¬ZHα␈↓ ε4␈∧ε
ε4Hα␈↓ π∞␈∧ε
π∞α␈↓ πh␈∧ε
πhα␈↓ λB␈∧ε
λBα
␈βε∃␈↓ λB␈∧ε∃λB2α
␈βε_␈↓ εx␈ε"round(␈ε(u␈ε"␈α␈)␈↓ λJ␈ε".␈↓ 
p␈ε"(13)
␈βε~␈↓ ∧K␈ε5+␈↓ ¬∩␈ε5Q+␈α␈4␈↓ ¬␈␈ε51
␈βεG␈↓ π∞␈∧εGπ∞α␈↓ πh␈∧εGπhα␈↓ λB␈∧εGλBα
␈βεQ␈↓ ∧&␈∧εQ∧&α∧≡
␈βπε␈↓ ↓H␈ε2D.␈α	History␈α
and␈α	bibliograph␈α␈y.␈ε"␈α⊃The␈α	origins␈↓ εM␈ε"of␈α
⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α
n␈α↓otation␈α	can␈α
be␈α	traced
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε"back␈α
to␈↓ αK␈ε"Babylonian␈α
mathematicians␈α
(1800␈↓ π<␈ε"or␈α
earlier),␈α
wh␈α↓o␈α
made␈αextensiv␈α␈e
␈βπ6␈↓ εo␈ε.B.␈α↓C.
␈βπ]␈↓ ↓H␈ε"use␈α⊂of␈α⊂radix-60␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂arithmetic␈α⊂but␈α⊂did␈α⊂n␈α↓ot␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂a␈α⊂n␈α↓otation␈α⊂for␈α⊂the
␈βλλ␈↓ ↓H␈ε"exponen␈α␈ts.␈α≡The␈α⊂appropriate␈α⊃exponen␈α␈t␈α⊃w␈α␈as␈α⊂alw␈α␈a␈α␈ys␈α⊃someh␈α↓o␈α␈w␈α⊃\understo␈α↓od"␈α⊂by
␈βλ3␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊃man␈α⊃doing␈α∩the␈α⊃calculations.␈α A␈α␈t␈α⊃least␈α∩one␈α⊃case␈α⊃has␈α⊃been␈α∩found␈α⊃in␈α⊃which
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε"the␈α∩wrong␈α∩answ␈α␈er␈α∩w␈α␈as␈α∩giv␈α␈en␈α∪because␈α∩addition␈α∩w␈α␈as␈α∩performed␈α∩with␈α∩improper
␈β		␈↓ ↓H␈ε"alignmen␈α␈t␈αof␈αthe␈αoperands,␈αbut␈αsuch␈αexamples␈αare␈αv␈α␈ery␈αrare;␈αsee␈αO.␈↓ 	h␈ε"Neugebauer,
␈β	5␈↓ ↓H␈ε/The␈α
Exact␈α∞Sciences␈α
in␈α∞An␈α␈tiquit␈α␈y␈ε"␈α∞(Princeton,␈α∞N.␈α
J.:␈α∂Princeton␈α∞Univ␈α␈ersit␈α␈y␈α
Press,
␈β	`␈↓ ↓H␈ε"1952),␈α⊂26↑27.␈α≠An␈α↓other␈α⊂early␈α∂con␈α␈tribution␈α⊂to␈α∂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂n␈α↓otation␈α∂is␈α⊂due␈α∂to
␈β
␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂Greek␈α⊃mathematician␈↓ ∧t␈ε"Apollonius␈α⊂(3rd␈α⊃cen␈α␈tury␈↓ λA␈ε"),␈α∩wh␈α↓o␈α⊃apparen␈α␈tly␈α⊂w␈α␈as
␈β
⊂␈↓ λα␈ε.B.C.
␈β
6␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊂|rst␈α⊂to␈α⊃explain␈α⊂h␈α↓o␈α␈w␈α⊂to␈α⊃simplify␈α⊂m␈α␈ultiplication␈α⊂by␈α⊂collecting␈α⊃po␈α␈w␈α␈ers␈α⊂of␈α⊂10
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"separately␈α
from␈α∞their␈α
coe}cien␈α␈ts,␈α∞at␈α∞least␈α∞in␈α
simple␈α∞cases.␈α≤[F␈α⎇or␈α
a␈α∞discussion␈α
of
␈β
␈↓ ↓H␈ε"Apollonius's␈αmeth␈α↓od,␈αsee␈↓ ∧W␈ε"Pappus,␈ε/␈αMathematical␈αCollections␈ε"␈α(4th␈αcen␈α␈tury␈↓ ␈ε").]
␈β∩␈↓ 
I␈ε.A.D.
␈β8␈↓ ↓H␈ε"A$er␈α∞the␈α∂Babylonian␈α∂civilization␈α∞died␈α∂out,␈α∂the␈α∂|rst␈α∞signi|can␈α␈t␈α∂uses␈α∂of␈α∞⎇oating
␈βc␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α	n␈α↓otation␈α
for␈α	products␈α
and␈α	quotien␈α␈ts␈α
did␈α	n␈α↓ot␈α
emerge␈α	un␈α␈til␈α
m␈α␈uch␈α	later,␈α
about
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"the␈α
time␈α
logarithms␈αw␈α␈ere␈α
in␈α␈v␈α␈en␈α␈ted␈α(1600)␈α
and␈α
sh␈α↓ortly␈αa$erw␈α␈ards␈α
when␈↓ 
↔␈ε"Ough␈α␈tred
␈β3␈↓ λQ␈ε+n
␈β9␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈en␈α␈ted␈α∂the␈↓ β≤␈ε"slide␈α∂rule␈α∂(1630).␈α_The␈α∂m␈α↓odern␈α∂n␈α↓otation␈α∂\␈↓ λ=␈ε(x␈↓ λl␈ε""␈α∂for␈α∞exponen␈α␈ts␈α∂w␈α␈as
␈βe␈↓ ↓H␈ε"being␈α⊂in␈α␈troduced␈α⊃at␈α⊃about␈α⊂the␈α⊃same␈α⊃time;␈α∪separate␈α⊃sym␈α␈bols␈α⊂for␈ε(␈α⊃x␈ε"␈α⊃squared,␈ε(␈α⊃x
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"cubed,␈αetc.,␈αhad␈αbeen␈αin␈αuse␈αbefore␈αthis.
␈β
;␈↓ α␈ε"Floating␈αλpoin␈α␈t␈αλarithmetic␈αλw␈α␈as␈α	incorporated␈αλin␈α␈to␈αλthe␈αλdesign␈αλof␈αλsome␈αλof␈αλthe␈αλear-
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"liest␈αcomputers.␈α∪It␈αw␈α␈as␈α
independen␈α␈tly␈α
proposed␈α
by␈αLeonardo␈↓ 	∃␈ε"T␈α⎇orres␈α
y␈αQuev␈α␈edo
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊃Madrid,␈α∩1914;␈α∀by␈α⊃Konrad␈↓ ¬*␈ε"Zuse␈α⊃in␈α∩Berlin,␈α∩1936;␈α∀and␈α⊃by␈α⊃George␈↓ 
∃␈ε"Stibitz␈α⊃in
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"New␈α
Jersey,␈α1939.␈α⊂Zuse's␈α
machines␈αused␈α
a␈α⎇oating␈αbinary␈α
represen␈α␈tation␈αthat␈α
he
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"called␈α\semi-logarithmic␈αn␈α↓otation";␈αhe␈αalso␈αincorporated␈↓ λD␈ε"con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αfor␈αdealing
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"with␈α
special␈α
quan␈α␈tities␈α
lik␈α␈e␈α
\␈ε61␈ε""␈α
and␈α\unde|ned."␈α∂The␈α
|rst␈α
American␈α
computers
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞operate␈α∞with␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞arithmetic␈α∞hardw␈α␈are␈α∞w␈α␈ere␈α
the␈α∞Bell␈α∞Laboratories'
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"Model␈α
V␈α
and␈αthe␈α
Harv␈α}ard␈↓ ∧`␈ε"Mark␈αII,␈α
both␈αof␈α
which␈α
w␈α␈ere␈αrela␈α␈y␈α
calculators␈α
designed
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"in␈α∞1944.␈α≤[See␈α∞B.␈↓ β↑␈ε"Randell,␈ε/␈α∂The␈α∞Origins␈α∞of␈α∞Digital␈α∞Computers␈ε"␈α∞(Berlin:␈α∂Springer,
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"1973),␈α100,␈α155,␈α163↑164,␈α259↑260;␈ε/␈α
Proc.␈αSymp.␈αLarge-Scale␈αDigital␈αCalculating
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε/Machinery␈ε"␈α∂(Harv␈α}ard,␈α⊃1947),␈α⊃41↑68,␈α⊂69↑79;␈ε/␈α∩Datamation␈ε2␈α∂13␈ε"␈α⊂(April␈α⊂1967),␈α⊂35↑44
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"(Ma␈α␈y␈α1967),␈α45↑49;␈ε/␈αZeit.␈αf␈↓ ∧↑␈ε/u␈↓ ∧←␈ε/∪␈↓ ∧r␈ε/r␈αangew.␈αMath.␈αund␈αPh␈α␈ysik␈ε2␈α1␈ε"␈α(1950),␈α345↑346.]
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"210␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈αuse␈αof␈↓ β<␈ε"⎇oating␈αbinary␈αarithmetic␈αw␈α␈as␈αseriously␈αconsidered␈αin␈α1944↑1946
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"by␈αresearchers␈α
at␈α
the␈αMo␈α↓ore␈α
Sch␈α↓o␈α↓ol␈α
in␈αtheir␈α
plans␈α
for␈αthe␈α
|rst␈ε/␈α
electronic␈ε"␈αdigital
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"computers,␈α⊃but␈α⊂it␈α⊂turned␈α⊃out␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂m␈α␈uch␈α⊃harder␈α⊂to␈α⊂implemen␈α␈t␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"circuitry␈α⊂with␈α⊂tubes␈α⊂than␈α⊂with␈α⊂rela␈α␈ys.␈α≤The␈α⊂group␈α⊂realized␈α⊂that␈α⊂scaling␈α⊂w␈α␈as␈α⊂a
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"problem␈α∩in␈α∩programming;␈α∃but␈α∪at␈α∩the␈α∩time␈α∩it␈α∩w␈α␈as␈α∩only␈α∪a␈α∩v␈α␈ery␈α∩small␈α∩part␈α∩of
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"a␈α⊂total␈α∂programming␈α⊂job,␈α⊃and␈α⊂it␈α⊂seemed␈α⊂to␈α⊂be␈α⊂w␈α␈orth␈α⊂the␈α⊂time␈α⊂and␈α⊂trouble␈α∂it
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"to␈α↓ok,␈α⊃since␈α⊂it␈α⊂tended␈α⊂to␈α⊂k␈α␈eep␈α⊂a␈α⊂programmer␈α⊂a␈α␈w␈α␈are␈α∂of␈α⊂the␈α⊂n␈α␈umerical␈α⊂accuracy
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"he␈α⊃w␈α␈as␈α⊃getting.␈α∨F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α∩they␈α⊃argued␈α⊃that␈α⊃⎇oating␈α⊃poin␈α␈t␈α⊃represen␈α␈tation
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈αtak␈α␈e␈αup␈αv␈α}aluable␈αmem␈α↓ory␈αspace,␈αsince␈αthe␈αexponen␈α␈ts␈αm␈α␈ust␈αbe␈αstored,␈αand
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"that␈αit␈α
w␈α␈ould␈αbe␈αdi}cult␈αto␈αadapt␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic␈αto␈α
m␈α␈ultiple-precision
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"calculations.␈α∨[See␈↓ βw␈ε"v␈α␈on␈α⊂Neumann's␈↓ ¬}␈ε/Collected␈α⊂W␈α⎇orks␈ε2␈α⊂5␈ε"␈α∂(New␈α⊂Y␈α⎇ork:␈α∪Macmillan,
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"1963),␈α
43,␈α
73↑74.]␈α≠A␈α␈t␈αthis␈α
time,␈α
of␈α
course,␈α
they␈α
w␈α␈ere␈α
designing␈α
the␈α
|rst␈αstored-
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"program␈αcomputer␈αand␈αthe␈αsecond␈αelectronic␈α
computer,␈αand␈αtheir␈αch␈α↓oice␈αhad␈αto
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"be␈α∞either␈α∂|xed␈α∂poin␈α␈t␈ε/␈α∂or␈↓ ∧P␈ε"⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∂arithmetic,␈α⊂n␈α↓ot␈α∞both.␈α→They␈α∞an␈α␈ticipated
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"the␈α
coding␈α
of␈α
⎇oating␈α
binary␈α
routines,␈α∞and␈α
in␈α
fact␈α
\shi$␈α
le$"␈α
and␈α
\shi$␈α
righ␈α␈t"
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"instructions␈α
w␈α␈ere␈α
put␈α
in␈α␈to␈α
their␈α
machine␈α
primarily␈α
to␈α
mak␈α␈e␈α
such␈α
routines␈α
m␈α↓ore
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"e}cien␈α␈t.␈α≤The␈α⊂|rst␈α⊂machine␈α⊂to␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂both␈α⊂kinds␈α∂of␈α⊂arithmetic␈α⊂in␈α⊂its␈α⊂hardw␈α␈are
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α∞apparen␈α␈tly␈α∂a␈α∞computer␈α∂dev␈α␈eloped␈α∂at␈α∞General␈α∂Electric␈α∞Compan␈α␈y␈α∂[see␈ε/␈α∞Proc.
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε/2nd␈α∪Symp.␈α∪Large-Scale␈α∀Digital␈α∪Calculating␈α∪Machinery␈ε"␈α∀(Cam␈α␈bridge:␈α~Harv␈α}ard
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"Univ␈α␈ersit␈α␈y␈αPress,␈α1951),␈↓ ∧F␈ε"65↑69␈↓ ¬ ␈ε"].
␈β	λ␈↓ α␈ε"Floating␈αpoin␈α␈t␈α
subroutines␈αand␈↓ ¬y␈ε"in␈α␈terpretiv␈α␈e␈αsystems␈αfor␈α
early␈αmachines␈α
w␈α␈ere
␈β	3␈↓ ↓H␈ε"coded␈α∂by␈α∂D.␈α∂J.␈↓ βE␈ε"Wheeler␈α∂and␈α∂others,␈α∂and␈α∂the␈α∂|rst␈α∂publication␈α∂of␈α∂such␈α∂routines
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈as␈α⊃in␈ε/␈α∩The␈α∩Preparation␈α⊃of␈α∩Programs␈α∩for␈α∩an␈α⊃Electronic␈α∩Digital␈α∩Computer␈ε"␈α⊃by
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"Wilk␈α␈es,␈αWheeler,␈α
and␈↓ ∧%␈ε"Gill␈α(Reading,␈α
Mass.:␈α
Addison-W␈α⎇esley,␈α
1951),␈αsubroutines
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"A1↑A11,␈α∪pp.␈α⊃35↑37,␈α∀105↑117.␈α!It␈α⊃is␈α∩in␈α␈teresting␈α∩to␈α⊃n␈α↓ote␈α∩that␈↓ 	-␈ε"⎇oating␈ε/␈α⊃decimal
␈β
`␈↓ ↓H␈ε"subroutines␈α
are␈α
described␈α
here,␈α∞alth␈α↓ough␈α
a␈α
binary␈α
computer␈α
w␈α␈as␈α∞being␈α
used;␈α
in
␈β¬␈↓ πO␈ε+e␈↓ λ←␈ε+e
␈β␈↓ ↓H␈ε"other␈α
w␈α␈ords,␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
w␈α␈ere␈α∞represen␈α␈ted␈α
as␈α
1␈↓ π=␈ε"0␈↓ π↑␈ε(f␈↓ πs␈ε",␈α
n␈α↓ot␈↓ λM␈ε"2␈↓ λm␈ε(f␈↓ 	β␈ε",␈α
and␈α
therefore␈α
the
␈β6␈↓ ↓H␈ε"scaling␈α
operations␈α
required␈α∞m␈α␈ultiplication␈α
or␈α
division␈α∞by␈α
10.␈α∀On␈α
this␈α
particular
␈βa␈↓ ↓H␈ε"machine␈α⊂such␈α⊂decimal␈α⊂scaling␈α⊂w␈α␈as␈α⊂about␈α⊂as␈α⊂easy␈α⊂as␈α∂shi$ing,␈α⊃and␈α⊂the␈α⊂decimal
␈β␈↓ ↓H␈ε"approach␈αgreatly␈αsimpli|ed␈αinput/output␈αcon␈α␈v␈α␈ersions.
␈β;␈↓ α␈ε"Most␈α
published␈α
references␈α
to␈αthe␈α
details␈α
of␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
arithmetic␈α
routines
␈βf␈↓ ↓H␈ε"are␈αλscattered␈αλin␈α	\technical␈αλmem␈α↓orandums"␈α	distributed␈αλby␈α	v␈α}arious␈αλcomputer␈αλman-
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"ufacturers,␈α
but␈α
there␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α
occasional␈α
appearances␈α
of␈α
these␈α
routines␈α
in␈α
the
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"open␈α∩literature.␈α%Besides␈α∩the␈α∪reference␈α∪abo␈α␈v␈α␈e,␈α∀the␈α∪follo␈α␈wing␈α∪are␈α∪of␈α∩historical
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terest:␈αR.␈αH.␈↓ β3␈ε"Stark␈αand␈αD.␈αB.␈↓ ¬6␈ε"MacMillan,␈ε/␈αMath.␈αComp.␈ε2␈α5␈ε"␈α(1951),␈α86↑92,␈αwhere
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"a␈αplugboard-wired␈αprogram␈α
is␈αdescribed;␈α
D.␈↓ π␈ε"McCrack␈α␈en,␈ε/␈α
Digital␈αComputer␈αPro-
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε/gramming␈ε"␈α
(New␈α∞Y␈α⎇ork:␈α⊂Wiley,␈α∞1957),␈α∂121↑131;␈α∞J.␈α∞W.␈↓ λ∀␈ε"Carr␈α∞III,␈ε/␈α∞CA␈α␈CM␈ε2␈α∞2␈ε",5␈α
(Ma␈α␈y
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"1959),␈α∂10↑15;␈α⊂W.␈α∂G.␈↓ ∧≠␈ε"W␈α⎇adey,␈ε/␈α∂JA␈α␈CM␈ε2␈α∂7␈ε"␈α∂(1960),␈α∂129↑139;␈α⊃D.␈α∞E.␈↓ 	(␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈α⊂JA␈α␈CM␈ε2␈α∞8
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"(1961),␈α∞119↑128;␈α∞O.␈↓ ∧	␈ε"Kesner,␈ε/␈α∞CA␈α␈CM␈ε2␈α∞5␈ε"␈α
(1962),␈α∞269↑271;␈α∂F.␈α
P.␈↓ 	∃␈ε"Bro␈α↓oks␈α
and␈α∞K.␈α
E.
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"Iv␈α␈erson,␈ε/␈α∂Automatic␈α∞Data␈α∞Processing␈ε"␈α∞(New␈α∂Y␈α⎇ork:␈α⊂Wiley,␈α∂1963),␈α∂184↑199.␈α↔F␈α⎇or␈α∞a
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"discussion␈α	of␈α	⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α	arithmetic␈α	from␈α	a␈α	computer␈α	designer's␈α	standpoin␈α␈t,␈α	see
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"\Floating␈αpoin␈α␈t␈αoperation"␈αby␈αS.␈αG.␈↓ εε␈ε"Campbell,␈αin␈ε/␈αPlanning␈αa␈αcomputer␈αSystem,
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"ed.␈α	by␈α	W.␈↓ αg␈ε"Buchh␈α↓olz␈α	(New␈α
Y␈α⎇ork:␈α
McGra␈α␈w-Hill,␈α
1962),␈α
92↑121.␈α∂A␈α
set␈α	of␈α	algorithms
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"by␈α∞J.␈↓ α(␈ε"Co␈α↓onen,␈α∂W.␈α∂M.␈↓ ∧-␈ε"Kahan,␈α⊂and␈α∞H.␈α∂S.␈↓ εW␈ε"Stone,␈α∂submitted␈α∂to␈α∞the␈α∂IEEE␈α∞Micro-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"processor␈α∂Floating-Poin␈α␈t␈α⊂Standards␈α⊂Committee␈α∂during␈α⊂1978↑1980,␈α⊂represen␈α␈ted
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.1␈↓ 
v␈ε"211
␈β↓\␈↓ ε	␈ε∞SINGL␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"the␈αλstate␈α	of␈αλthe␈αλ⎇oating␈α	poin␈α␈t␈αλart␈α	as␈αλof␈α	1980;␈α	these␈α	carefully␈αλconsidered␈αλprocedures
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"will␈α	probably␈α	be␈α	published␈α	some␈α	da␈α␈y.␈α∂Additional␈α	references,␈α	which␈α	deal␈α	primarily
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"with␈αthe␈αaccuracy␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αmeth␈α↓ods,␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αSection␈α4.2.2.
␈ββo␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β∧3␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈α	wo␈α␈uld␈α	Av␈α␈og␈α␈ad␈α␈ro's␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
an␈α␈d␈↓ εe␈ε#Plan␈α␈ck␈α␈'␈α↓s␈α
c␈α␈on␈α␈stan␈α␈t␈α	be␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈ted␈α	in␈α
b␈α␈ase
␈β∧Y␈↓ π6␈ε"(
␈β∧[␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈00,␈α∞ex␈α␈cess␈α
50␈α␈,␈α∂fo␈α␈ur-d␈α␈i␈α↓g␈α␈it␈α∞⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α∞nota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n?␈↓ πB␈ε#This␈α
wo␈α␈uld␈α
b␈α␈e␈α∞t␈α␈he␈α
rep␈α␈resen␈α}tation
␈β¬␈↓ εT␈ε")
␈β¬α␈↓ ↓H␈ε#u␈α␈sed␈αb␈α␈y␈↓ αv␈ε#,␈αas␈αin␈α(4␈α␈),␈αif␈αthe␈αb␈α␈yte␈αsize␈αis␈α1␈α␈00.
␈β¬∧␈↓ αC␈ε∃MIX
␈β¬2␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)12␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Assu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈α
th␈α␈e␈α
ex␈α␈po␈α␈ne␈α␈n␈α␈t␈ε)␈α
e␈ε#␈α
is␈α
con␈α␈strain␈α␈ed␈α
to␈αli␈α↓e␈αi␈α↓n␈αth␈α␈e␈α
ran␈α␈ge␈α
0␈ε7␈α∀␈ε)␈αe␈ε7␈α
∀␈↓ 	␈ε)E␈↓ #␈ε#;
␈β¬Z␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈at␈α	a␈α␈re␈α	th␈α␈e␈α	large␈α␈st␈α	an␈α␈d␈α	sma␈α␈ll␈α↓e␈α␈st␈α	po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α	v␈α}alu␈α␈es␈α	th␈α␈at␈α	ca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈α	written␈αλas␈α	b␈α␈ase␈ε)␈α	b␈ε#,␈α
e␈α␈xce␈α␈ss␈↓ ⊃␈ε)q␈↓ #␈ε#,
␈βεα␈↓ ↓H␈ε)p␈ε#-d␈α␈igit␈↓ α2␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers?␈α∂What␈αar␈α␈e␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈rgest␈αa␈α␈nd␈αsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈st␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αv␈α}alu␈α␈es␈αtha␈α␈t
␈βε)␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈an␈αb␈α␈e␈αwritten␈αa␈α␈s␈ε0␈αn␈α↓o␈α␈rmalized␈ε#␈α
⎇oa␈α␈ting␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αwith␈αth␈α␈ese␈αsp␈α␈eci|ca␈α␈tions␈α␈?
␈βεY␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)11␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(K.␈↓ β~␈ε#Zuse␈α␈,␈α∀19␈α␈36.)␈α&Sho␈α␈w␈α∩th␈α␈at␈α∩if␈α∩w␈α␈e␈α⊃are␈α∩u␈α␈sing␈α⊃n␈α↓o␈α␈rmalized␈α⊃⎇o␈α␈ating␈α⊃bin␈α␈ary
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α␈,␈α⊂the␈α␈re␈α∂is␈α∞a␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞to␈α∞i␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈α∂t␈α␈he␈α∞pre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞sl␈α↓ig␈α␈h␈α␈tly␈α∞wi␈α↓thou␈α␈t␈α∂lo␈α␈ss␈α∂o␈α␈f␈α∂memory
␈βπ)␈↓ ↓H␈ε#sp␈α␈ace␈α␈:␈α∪A␈ε)␈α∂p␈ε#-bit␈α∂frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂p␈α␈art␈α∂ca␈α␈n␈α∂b␈α␈e␈α∂rep␈α␈resen␈α}ted␈α∞using␈α∞on␈α␈l␈α↓y␈ε)␈α∞p␈ε7␈α
␈␈ε#␈α
1␈α∂b␈α␈i␈α↓t␈α∂p␈α␈osition␈α␈s␈α∂of␈α∂a
␈βπP␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈o␈α␈rd,␈αif␈αth␈α␈e␈αran␈α␈ge␈αo␈α␈f␈αe␈α␈xp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αis␈αde␈α␈crease␈α␈d␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αsli␈α↓g␈α␈h␈α␈tly.
␈βπ}␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ␈↓ ↓c␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)12␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Assu␈α␈me␈α⊃tha␈α␈t␈ε)␈α∩b␈ε#␈α∀=␈α∀10,␈ε)␈α∪p␈ε#␈α∀=␈α∀8␈α␈.␈α#Wh␈α␈at␈α∩re␈α␈sult␈α⊃doe␈α␈s␈↓ λj␈ε#Algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α⊃A␈α∩giv␈α}e␈α∩fo␈α␈r
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε#(5␈α␈0,␈αε+.987␈α␈654␈α␈32)␈ε7␈αλλ␈ε#␈αλ(49␈α␈,␈αε+.␈α↓3␈α␈333␈α␈333␈α␈3)?␈α⊃F␈α⎇or␈α(53␈α␈,␈ε7␈αε␈␈ε#.␈α↓9␈α␈998␈α␈765␈α␈4)␈ε7␈αλλ␈ε#␈αλ(54,␈α¬+␈α↓.10␈α␈000␈α␈000␈α␈)?␈α⊃F␈α}o␈α␈r
␈βλP␈↓ ↓H␈ε#(4␈α␈5,␈ε7␈αε␈␈ε#.500␈α␈000␈α␈01)␈ε7␈απλ␈ε#␈αλ(54␈α␈,␈αε+.␈α↓1␈α␈000␈α␈00␈α␈00)?
␈βλ}␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	␈↓ ↓c␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)24␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Let␈αus␈αsa␈α␈y␈αthat␈ε)␈αx␈ε7␈α_␈↓ ¬∃␈ε)y␈↓ ¬3␈ε#(with␈α
re␈α␈spec␈α␈t␈α
to␈αa␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αrad␈α␈i␈α↓x␈ε)␈αb␈ε#)␈α
if␈ε)␈α
x␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ 
∨␈ε)y␈↓ 
>␈ε#a␈α␈re␈α
rea␈α␈l
␈β	'␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns:
␈β	`␈↓ ¬S␈ε7b␈ε)x␈ε#/␈ε)␈α␈b␈ε7␈α↓c␈↓ ε(␈ε#=␈ε7␈α
b␈↓ ε←␈ε)y␈↓ εq␈ε#/␈ε)b␈ε7c␈ε#;
␈β
⊗␈↓ ∧-␈ε)x␈↓ ∧E␈ε#mo␈α␈d␈↓ ¬	␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	0␈↓ ε(␈ε#i{␈↓ π⊂␈ε)y␈↓ π'␈ε#mo␈α␈d␈↓ πk␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	0;
␈β
I␈↓ ¬<␈ε&1␈↓ λv␈ε&1
␈β
L␈↓ βU␈ε#0␈α	<␈ε)␈α
x␈↓ ∧2␈ε#mo␈α␈d␈↓ ∧v␈ε)b␈ε#␈α
<␈↓ ¬N␈ε)b␈↓ ε(␈ε#i{␈↓ π⊂␈ε#0␈αλ<␈↓ πT␈ε)y␈↓ πk␈ε#mod␈↓ λ0␈ε)b␈ε#␈α	<␈↓ 	π␈ε)b␈ε#;
␈β
\␈↓ ¬<␈ε&2␈↓ λv␈ε&2
␈β
←␈↓ ¬<␈∧
←¬<α∞␈↓ λv␈∧
←λvα∞
␈β
␈␈↓ ¬<␈ε&1␈↓ λ1␈ε&1
␈βα␈↓ ∧~␈ε)x␈↓ ∧2␈ε#mo␈α␈d␈↓ ∧v␈ε)b␈ε#␈α
=␈↓ ¬N␈ε)b␈↓ ε(␈ε#i{␈↓ π⊂␈ε)y␈↓ π'␈ε#mo␈α␈d␈↓ πk␈ε)b␈ε#␈α
=␈↓ λC␈ε)b␈ε#;
␈β∩␈↓ ¬<␈ε&2␈↓ λ1␈ε&2
␈β∃␈↓ ¬<␈∧∃¬<α∞␈↓ λ1␈∧∃λ1α∞
␈β5␈↓ β\␈ε&1␈↓ π∪␈ε&1
␈β8␈↓ βm␈ε)b␈ε#␈α
<␈ε)␈α	x␈↓ ∧G␈ε#mod␈↓ ¬␈ε)b␈ε#␈α	<␈ε)␈α
b␈↓ ε(␈ε#i{␈↓ π%␈ε)b␈ε#␈α	<␈↓ πg␈ε)y␈↓ π}␈ε#mod␈↓ λC␈ε)b␈ε#␈α	<␈ε)␈α
b␈ε#.
␈βH␈↓ β\␈ε&2␈↓ π∪␈ε&2
␈βK␈↓ β\␈∧Kβ\α∞␈↓ π∪␈∧Kπ∪α∞
␈βp␈↓ ¬/␈ε:␈␈ε,␈α↓p␈ε:␈␈ε&2
␈βu␈↓ ↓H␈ε#Pro␈α␈v␈α}e␈α∞tha␈α␈t␈α∞i␈α↓f␈↓ β⊗␈ε)f␈↓ βD␈ε#is␈α∂r␈α␈eplac␈α␈ed␈α∞b␈α␈y␈↓ ¬!␈ε)b␈↓ ε↓␈ε)F␈↓ ε5␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
steps␈α∞A5␈α∞a␈α␈nd␈α
A6␈α∞of␈α∞Algorith␈α␈m␈α∞A␈↓ #␈ε#,
␈β↓␈↓ β&␈ε,v␈↓ ε↔␈ε,v
␈β↔␈↓ β!␈ε,p␈ε&+␈α↓2
␈β≥␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α,␈ε)F␈↓ αb␈ε7_␈↓ β∪␈ε)b␈↓ βY␈ε)f␈↓ βy␈ε#,␈α⊃th␈α␈e␈α⊂re␈α␈sult␈α∂of␈α∂that␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α∂will␈α⊂b␈α␈e␈α⊂u␈α␈nc␈α␈ha␈α␈nge␈α␈d.␈α"(If␈↓ 
/␈ε)F␈↓ 
d␈ε#is␈α∂an
␈β)␈↓ αA␈ε,v␈↓ βj␈ε,v␈↓ 
E␈ε,v
␈βE␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈α∂an␈α␈d␈ε)␈α∂b␈ε#␈α⊂i␈α↓s␈α∂ev␈α␈e␈α␈n,␈α⊃th␈α␈i␈α↓s␈α∂op␈α␈eratio␈α␈n␈α⊂e␈α␈ssen␈α␈tia␈α␈l␈α↓ly␈α∂trun␈α␈cat␈α␈es␈↓ λ6␈ε)f␈↓ λf␈ε#to␈ε)␈α∂p␈ε#␈α
+␈α2␈α∂pla␈α␈ces␈α⊂wh␈α␈il␈α↓e
␈βP␈↓ λF␈ε,v
␈βl␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈mem␈α␈b␈α␈ering␈αwhe␈α␈ther␈αan␈α}y␈α
non␈α␈zero␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈α
h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈αbee␈α␈n␈αdrop␈α␈pe␈α␈d,␈α
th␈α␈ereby␈αm␈α␈i␈α↓n␈α␈imizing␈αthe
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε#len␈α␈gth␈α
of␈αregister␈αth␈α␈at␈αis␈αne␈α␈eded␈α
for␈αth␈α␈e␈αad␈α␈dition␈αin␈α
step␈αA6.)
␈β
D␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗If␈αλth␈α␈e␈απresult␈αλo␈α␈f␈αλa␈↓ ¬∞␈ε#instr␈α␈uction␈απis␈αλz␈α␈ero,␈αλwhat␈απwil␈α↓l␈αλb␈α␈e␈αλt␈α␈he␈απsi␈α↓g␈α␈n␈απof␈αλrA,␈αλa␈α␈ccord␈α␈ing
␈β
F␈↓ ∧B␈ε∃FADD
␈β
l␈↓ ↓H␈ε#to␈α
the␈αd␈α␈e|␈α␈nitions␈αo␈α␈f␈↓ ∧%␈ε#'s␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αatta␈α␈chm␈α␈en␈α␈t␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αin␈αth␈α␈is␈αsection␈α␈?
␈β
n␈↓ βr␈ε∃MIX
␈β∞≤␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)27␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Discu␈α␈ss␈α⎇o␈α␈ating␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αu␈α␈sing␈↓ π∀␈ε#balan␈α␈ced␈α
tern␈α␈ary␈αnota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β∞L␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈α∞of␈α
n␈α↓or␈α␈malized␈α
eigh␈α}t-␈α↓d␈α␈igit␈α∞⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α∞d␈α␈ecima␈α␈l␈α∞n␈α␈um␈α}bers␈ε)␈α
u␈ε#␈α∞and␈↓ ≠␈ε)v
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞a␈α␈dd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈α
yields␈α≡(a␈α␈)␈α∞ex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈α∞u␈α␈nd␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w,␈α≡(␈α↓b␈α␈)␈α∞e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w,␈α∞assu␈α␈ming
␈β∂≠␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈at␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}ts␈αm␈α␈u␈α␈st␈αsatisfy␈α0␈ε7␈α	∀␈ε)␈α	e␈ε#␈α
<␈α
1␈α␈00.
␈β∂K␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(W␈α↓.␈α	M.␈↓ βj␈ε#Kah␈α␈an␈α␈.␈α↓)␈α⊃Assum␈α␈e␈α	that␈α	th␈α␈e␈α	occ␈α␈urren␈α␈ce␈α	o␈α␈f␈α
e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α	un␈α␈de␈α␈r⎇o␈α␈w␈α	ca␈α␈use␈α␈s
␈β∂s␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
result␈α
to␈α
be␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈α
z␈α␈ero,␈α∞with␈α
n␈α↓o␈α
erro␈α␈r␈α∞ind␈α␈ication␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α␈.␈α↔Using␈α
e␈α␈xcess␈α
zero␈α␈,
␈β⊂≠␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α⎇oa␈α␈ting␈αdecima␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αwith␈ε)␈αe␈ε#␈αin␈αth␈α␈e␈αra␈α␈ng␈α␈e␈ε7␈α␈␈ε#50␈ε7␈α
∀␈ε)␈αe␈ε#␈α<␈α5␈α␈0,␈α|n␈α␈d␈αpositiv␈α␈e
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε#v␈α⎇alues␈αo␈α␈f␈ε)␈αa␈ε#,␈ε)␈αb␈ε#,␈ε)␈αc␈ε#␈α↓,␈ε)␈αd␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ ∧#␈ε)y␈↓ ∧@␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈α(11␈α␈)␈αhold␈α␈s.
␈β⊂r␈↓ ↓V␈ε310.␈↓ α␈ε#[␈ε)12␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α
a␈α␈n␈α
exa␈α␈mple␈α
of␈α
n␈α↓o␈α␈rmalized␈α
eig␈α␈h␈α␈t-digit␈α
⎇o␈α␈ating␈α
d␈α␈ecimal␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈ε)␈αu␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ ≠␈ε)v
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈αw␈α↓h␈α␈ich␈↓ α\␈ε#ro␈α␈un␈α␈ding␈α
o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w␈αo␈α␈ccur␈α␈s␈αin␈α
add␈α␈ition.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"212␈↓ 
b␈ε"4.2.1
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα#␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βα%␈↓ ↓S␈ε31␈α␈1.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α⊃a␈α␈n␈α⊃e␈α␈xa␈α␈mple␈α⊃o␈α␈f␈α⊃n␈α↓o␈α␈rmalized␈α␈,␈α∪e␈α␈xce␈α␈ss␈α⊃50␈α␈,␈α∪eigh␈α}t-digit␈α⊃⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α⊂decima␈α␈l
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈ε)␈αu␈ε#␈αand␈↓ β,␈ε)v␈↓ βI␈ε#for␈αwh␈α␈ich␈αro␈α␈un␈α␈ding␈α
o␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αoc␈α␈curs␈αin␈αm␈α}ultiplication␈α␈.
␈βα}␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈α	rou␈α␈nd␈α␈ing␈α	o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈α	can␈α␈n␈α↓o␈α␈t␈α	occu␈α␈r␈α	du␈α␈ring␈α	th␈α␈e␈α	n␈α↓o␈α␈rmalizat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α	ph␈α␈ase
␈ββ%␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n.
␈ββW␈↓ ↓V␈ε313.␈↓ α␈ε#[␈ε)30␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Whe␈α␈n␈α∞d␈α␈oing␈α
\␈↓ ∧+␈ε#in␈α␈t␈α␈erv␈α}al␈α∞a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c"␈α
w␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈'␈α↓t␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α∞to␈α
rou␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈α∞resu␈α␈lts␈α∞of␈α∞a
␈ββ|␈↓ 
~␈ε6o␈↓ β␈ε6n
␈ββ}␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α	poin␈α}t␈α
co␈α␈mpu␈α␈tation␈α␈;␈αw␈α␈e␈α	w␈α␈an␈α}t␈α
rath␈α␈er␈α
t␈α␈o␈α
imp␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α}t␈α
op␈α␈eratio␈α␈ns␈α
su␈α␈ch␈α	as␈↓ 
D␈ε#an␈α␈d␈↓ #␈ε#,
␈β∧ε␈↓ 
≡␈ε'+␈↓ π␈ε'+
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ich␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αthe␈αtigh␈α}test␈αp␈α␈ossible␈αrep␈α␈resen␈α}tab␈α␈le␈αbou␈α␈nd␈α␈s␈αon␈α
the␈αtru␈α␈e␈αsu␈α␈m:
␈β∧i␈↓ ¬
␈ε6o␈↓ π?␈ε6n
␈β∧k␈↓ ∧t␈ε)u␈↓ ¬3␈ε)v␈↓ ¬W␈ε7∀␈ε)␈α∪u␈ε#␈αλ+␈↓ εN␈ε)v␈↓ εs␈ε7∀␈ε)␈α∩u␈↓ πe␈ε)v␈↓ πv␈ε#.
␈β∧r␈↓ ¬⊃␈ε'+␈↓ πC␈ε'+
␈β¬0␈↓ ↓H␈ε#Ho␈α}w␈αshou␈α␈ld␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈ms␈αof␈αth␈α␈i␈α↓s␈αse␈α␈ction␈αb␈α␈e␈αm␈α↓o␈α␈di|e␈α␈d␈αfor␈αsu␈α␈ch␈αa␈α
pu␈α␈rpo␈α␈se?
␈β¬a␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗W␈α⎇rite␈αa␈↓ ∧⊃␈ε#sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈αth␈α␈at␈αbeg␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αwith␈αan␈αarbitra␈α␈ry␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β¬c␈↓ βR␈ε∃MIX
␈βε	␈↓ ↓H␈ε#in␈α∞reg␈α␈i␈α↓ste␈α␈r␈α∂A,␈α∂not␈α∂n␈α␈ecessa␈α␈ril␈α↓y␈α∞norma␈α␈l␈α↓ize␈α␈d,␈↓ ε>␈ε#a␈α␈nd␈α∞con␈α}v␈α␈ert␈α␈s␈α∂it␈α∂to␈α∞the␈α∞nea␈α␈rest␈α∂|␈α␈xe␈α␈d␈α∂p␈α␈oin␈α}t
␈βε1␈↓ ↓H␈ε#in␈α}teger␈α(or␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
is␈αto␈α↓o␈αlarge␈αin␈αabso␈α␈lute␈αv␈α}alu␈α␈e␈α
to␈αma␈α␈k␈α␈e␈αsuch␈αa
␈βεX␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}ersion␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈).
␈βππ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βπ	␈↓ ↓S␈ε31␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)28␈↓ α;␈ε#]␈α⊗W␈α⎇rite␈αa␈↓ ∧∂␈ε#su␈α␈bro␈α␈utine␈α␈,␈αto␈α
be␈α
used␈α
in␈αco␈α␈nn␈α␈ection␈↓ λ*␈ε#with␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s
␈βπ␈↓ βQ␈ε∃MIX
␈βπ≡␈↓ ¬4␈ε↓`
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
this␈α
sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
that␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tes␈ε)␈α
u␈↓ ¬}␈ε#1,␈α∞th␈α␈at␈α
is,␈ε)␈α∞u␈ε7␈α	␈␈α	b␈ε)u␈ε7c␈ε#␈α
ro␈α␈un␈α␈ded␈αto␈α
n␈α␈eare␈α␈st␈α
⎇o␈α␈ating
␈βπ7␈↓ ¬7␈ε&m␈α↓od
␈βπX␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er,␈α⊃g␈α␈iv␈α␈en␈α∂a␈α∂⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∂p␈α␈oin␈α␈t␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈ε)␈α∂u␈ε#␈α↓.␈α≠Note␈α∂th␈α␈at␈α∂when␈ε)␈α∞u␈ε#␈α⊂is␈α∂a␈α∂v␈α␈ery␈α∂sm␈α␈all
␈βπm␈↓ βx␈ε↓`
␈βλ␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber,␈ε)␈α∂u␈↓ ∧B␈ε#1␈α∞will␈α∂be␈α∞rou␈α␈nd␈α␈ed␈α∞so␈α∞th␈α␈at␈α∂th␈α␈e␈α∞result␈α∞i␈α↓s␈α∞un␈α␈it␈α␈y␈α∞(ev␈α␈en␈α∞thou␈α␈gh
␈βλε␈↓ βz␈ε&m␈α↓od
␈βλ(␈↓ ↓H␈ε)u␈↓ ↓a␈ε#m␈α␈od␈↓ α%␈ε#1␈αh␈α␈as␈αbe␈α␈en␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α
to␈αbe␈αa␈α␈lwa␈α}ys␈ε0␈αless␈ε#␈αth␈α␈an␈αu␈α␈nit␈α␈y,␈αas␈αa␈α
real␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er).
␈βλY␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈21␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(Ro␈α␈bert␈α
L.␈↓ ∧8␈ε#Sm␈α␈i␈α↓th␈α␈.)␈α↔Design␈α
an␈α
alg␈α␈orithm␈α
to␈α
com␈α␈pu␈α␈te␈αth␈α␈e␈α
real␈αa␈α␈nd␈α
ima␈α␈gi-
␈β	␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ary␈αλparts␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	co␈α␈mplex␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
(␈ε)a␈ε#␈αβ+␈ε)␈α∧bi␈ε#)/(␈ε)c␈ε#␈α∧+␈ε)␈αβdi␈ε#),␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α	rea␈α␈l␈α
⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α	v␈α}alu␈α␈es␈ε)␈α	a␈ε#,␈ε)␈α
b␈ε#,
␈β	"␈↓ ¬Z␈ε&2␈↓ ε$␈ε&2
␈β	(␈↓ ↓H␈ε)c␈ε#,␈α
an␈α␈d␈ε)␈α	d␈ε#.␈↓ αP␈ε#A␈α↓v␈α}oid␈α	th␈α␈e␈α	comp␈α␈uta␈α␈tion␈α	of␈↓ ¬L␈ε)c␈↓ ¬m␈ε#+␈↓ ε∪␈ε)d␈↓ ε3␈ε#,␈α
sin␈α␈ce␈α	i␈α↓t␈α	w␈α␈ou␈α␈ld␈α	cau␈α␈se␈α	⎇o␈α␈ating␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α	o␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w
␈β	P␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈v␈α␈en␈αλwhe␈α␈n␈ε7␈α	j␈ε)c␈ε7j␈ε#␈α	or␈ε7␈α	j␈ε)d␈ε7j␈ε#␈α	is␈α	ap␈α␈pro␈α}xima␈α␈tely␈α	th␈α␈e␈α	sq␈α␈uar␈α␈e␈α	ro␈α↓o␈α␈t␈α	of␈αλthe␈αλmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈αλallo␈α␈w␈α␈ab␈α␈l␈α↓e␈αλ⎇o␈α␈ating
␈β	w␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αv␈α⎇alue.
␈β
(␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)40␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(J␈α␈ohn␈↓ β;␈ε#Coc␈α␈k␈α␈e.)␈α"Exp␈α␈l␈α↓o␈α␈re␈α⊂th␈α␈e␈α⊂id␈α␈ea␈α⊂o␈α␈f␈α⊂ex␈α␈ten␈α␈ding␈α∂the␈α∂ran␈α␈ge␈α∂of␈α⊂⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α⊂p␈α␈oin␈α}t
␈β
P␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α
b␈α␈y␈α
d␈α␈e|n␈α␈ing␈α	a␈α
sing␈α␈l␈α↓e␈α␈-␈α↓w␈α␈o␈α␈rd␈α
rep␈α␈resen␈α}tation␈α	in␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈ecisi␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f␈α
the␈α
fra␈α␈ction
␈β
x␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ecre␈α␈ases␈αas␈αth␈α␈e␈αma␈α␈gnitu␈α␈de␈αo␈α␈f␈αt␈α␈he␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses.
␈β)␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Co␈α␈nside␈α␈r␈α∂a␈α∂b␈α␈ina␈α␈ry␈α∂co␈α␈mp␈α␈uter␈α∞wi␈α↓th␈α∞36␈α␈-bit␈α∂w␈α␈o␈α␈rds,␈α⊂o␈α␈n␈α∂wh␈α␈ich␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞⎇o␈α␈ating
␈βP␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈inar␈α␈y␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∂are␈α∂repre␈α␈sen␈α␈ted␈α∂a␈α␈s␈α⊂(0␈↓ ¬y␈ε)e␈↓ ε⊗␈ε)e␈↓ ε9␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ εf␈ε)e␈↓ πβ␈ε)f␈↓ π#␈ε)f␈↓ πH␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ πt␈ε)f␈↓ λ"␈ε#)␈↓ λ<␈ε#;␈α∩her␈α␈e␈α⊂(␈↓ 	/␈ε)e␈↓ 	M␈ε)e␈↓ 	p␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ 
≤␈ε)e␈↓ 
:␈ε#)␈↓ 
c␈ε#i␈α↓s␈α∂an
␈β\␈↓ επ␈ε&1␈↓ ε$␈ε&2␈↓ εt␈ε&8␈↓ π∀␈ε&1␈↓ π3␈ε&2␈↓ λ¬␈ε&27␈↓ λ-␈ε&2␈↓ 	=␈ε&1␈↓ 	[␈ε&2␈↓ 
*␈ε&8␈↓ 
E␈ε&2
␈βx␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xces␈α␈s␈α
(1␈α␈000␈α␈000␈α␈0␈↓ β=␈ε#)␈↓ βd␈ε#e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αan␈α␈d␈α(␈↓ ¬A␈ε)f␈↓ ¬a␈ε)f␈↓ εε␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ε2␈ε)f␈↓ ε`␈ε#)␈↓ πε␈ε#i␈α↓s␈αa␈α2␈α␈7-bit␈αfract␈α␈i␈α↓o␈α␈n.␈α∩Nega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α⎇o␈α␈ating
␈β∧␈↓ βH␈ε&2␈↓ ¬R␈ε&1␈↓ ¬q␈ε&2␈↓ εC␈ε&27␈↓ εk␈ε&2
␈β ␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αare␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αby␈αth␈α␈e␈↓ ¬w␈ε0t␈α␈w␈α␈o's␈αcomp␈α␈lemen␈α}t␈ε#␈αof␈αthe␈αcorre␈α␈spo␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 
=␈ε#positiv␈α␈e
␈βG␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈α
(see␈α
Sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
4.1).␈α⊗Th␈α}us,␈α∞1.5␈α
is␈ε)␈α∞2␈α␈01␈ε7␈α¬j␈ε)600␈α␈000␈α␈00␈α␈0␈ε#␈α∞in␈α
o␈α␈ctal␈α
n␈α↓o␈α␈tation␈α␈,␈α∂wh␈α␈il␈α↓e
␈βo␈↓ ↓H␈ε7␈␈ε#1.5␈αi␈α↓s␈ε)␈α5␈α␈76␈ε7␈α¬j␈ε)200␈α␈000␈α␈000␈↓ ∧≥␈ε#;␈αthe␈αocta␈α␈l␈α
re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αo␈α␈f␈α
1␈α␈.0␈αan␈α␈d␈ε7␈α␈␈ε#1.0␈αare␈ε)␈α2␈α␈01␈ε7␈α¬j␈ε)␈α↓4␈α␈000␈α␈00␈α␈000
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈ε)␈α57␈α␈6␈ε7␈αεj␈ε)4␈α␈000␈α␈000␈α␈00␈ε#,␈α
resp␈α␈ectiv␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α␈.␈α≥(A␈α
v␈α}ertical␈α
line␈αi␈α↓s␈αuse␈α␈d␈α
h␈α␈ere␈αto␈α
sho␈α␈w␈α
th␈α␈e␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ary
␈β
>␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αan␈α␈d␈αfraction␈α␈.)␈α≠No␈α␈te␈αth␈α␈at␈αbit␈↓ πλ␈ε)f␈↓ π3␈ε#of␈αa␈αnorma␈α␈l␈α↓ized␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αis
␈β
J␈↓ π_␈ε&1
␈β
f␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α}ys␈α
1,␈α
while␈α
it␈α
is␈α
alm␈α↓o␈α␈st␈α
alw␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈α
zero␈α
fo␈α␈r␈α
neg␈α␈ativ␈α␈e␈α	n␈α␈um␈α}bers;␈α
the␈α	exc␈α␈eption␈α␈al␈α
ca␈α␈ses␈α
are
␈β∞π␈↓ ∧π␈ε,k
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈αof␈ε7␈α␈␈↓ βv␈ε#2␈↓ ∧↔␈ε#.
␈β∞5␈↓ α␈ε#Su␈α␈pp␈α␈ose␈α∂tha␈α␈t␈α⊂th␈α␈e␈α⊂ex␈α␈act␈α∂result␈α⊂o␈α␈f␈α⊂a␈α⊂⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∂poin␈α}t␈α⊂op␈α␈eration␈α∂h␈α␈as␈α⊂th␈α␈e␈α⊂o␈α␈ctal␈α⊂c␈α␈ode
␈β∞\␈↓ ↓H␈ε)5␈α␈72␈ε7␈α¬j␈ε)740␈α␈000␈α␈000␈ε7␈α¬j␈ε)01␈↓ βS␈ε#;␈αth␈α␈is␈α(ne␈α␈gativ␈α␈e␈α␈)␈α33␈α␈-bit␈αfra␈α␈ction␈αm␈α␈us␈α␈t␈αbe␈αnorma␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈αa␈α␈nd␈αro␈α␈un␈α␈ded␈αto
␈β∂∧␈↓ ↓H␈ε#2␈α␈7␈αb␈α␈i␈α↓ts.␈α∂If␈αw␈α␈e␈α
shi$␈αle$␈αun␈α}til␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈ing␈α
fraction␈α
bit␈αis␈αze␈α␈ro,␈αw␈α␈e␈αget␈ε)␈α
576␈ε7␈α¬j␈ε)000␈α␈00␈α␈000␈α␈0␈ε7␈αεj␈ε)20␈ε#␈α␈,
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ut␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂rou␈α␈nd␈α␈s␈α⊂t␈α␈o␈α⊂t␈α␈he␈α∂il␈α↓leg␈α␈al␈α⊂v␈α⎇alue␈ε)␈α∂57␈α␈6␈ε7␈αεj␈ε)0␈α␈000␈α␈000␈α␈00␈↓ πD␈ε#;␈α∩w␈α␈e␈α∂ha␈α}v␈α␈e␈α∂o␈α␈v␈α␈e␈α␈r-n␈α↓o␈α␈rmalized␈α␈,␈α⊃since
␈β∂S␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α∞corr␈α␈ect␈α∞an␈α␈swe␈α␈r␈α∞i␈α↓s␈ε)␈α∞57␈α␈5␈ε7␈α¬j␈ε)␈α↓4␈α␈000␈α␈000␈α␈00␈ε#.␈α_On␈α∞th␈α␈e␈α∞oth␈α␈er␈α∞ha␈α␈nd␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞start␈α∞(in␈α∞some␈α∞o␈α␈the␈α␈r
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rob␈α␈lem)␈α⊂with␈α⊂t␈α␈he␈α⊂v␈α⎇alue␈ε)␈α∂572␈ε7␈α¬j␈ε)74␈α␈000␈α␈000␈α␈0␈ε7␈αεj␈ε)0␈α␈5␈ε#␈α⊂an␈α␈d␈α∂stop␈α∂befo␈α␈re␈α⊂o␈α␈v␈α}er-␈↓ 	≠␈ε#n␈α↓o␈α␈rmalizing␈α∂it,␈α∩w␈α␈e
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈et␈ε)␈α	57␈α␈5␈ε7␈αεj␈ε)4␈α␈000␈α␈000␈α␈00␈ε7␈α¬j␈ε)50␈ε#,␈α	which␈αλroun␈α␈ds␈α	t␈α␈o␈α	the␈αλun␈α␈n␈α↓o␈α␈rmalized␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈ε)␈α	5␈α␈75␈ε7␈α¬j␈ε)400␈α␈000␈α␈00␈α␈1␈↓ 
\␈ε#;␈α
sub␈α␈-
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈que␈α␈n␈α␈t␈α	norma␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈αλyields␈ε)␈α	5␈α␈76␈ε7␈α¬j␈ε)000␈α␈000␈α␈00␈α␈2␈ε#␈α	while␈α	th␈α␈e␈α	co␈α␈rrect␈α	a␈α␈nsw␈α␈er␈α	is␈ε)␈α	5␈α␈76␈ε7␈α¬j␈ε)000␈α␈000␈α␈001␈ε#␈α␈.
␈β⊂r␈↓ α␈ε#Giv␈α␈e␈α	a␈α
simp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αco␈α␈rrect␈α
r␈α␈oun␈α␈din␈α␈g␈α
ru␈α␈l␈α↓e␈α	tha␈α␈t␈α
reso␈α␈l␈α↓v␈α}es␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	dilemma␈α	on␈α	suc␈α␈h␈α
a␈α	mac␈α␈hine
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#(without␈αa␈α␈ba␈α␈nd␈α␈onin␈α␈g␈αt␈α␈w␈α␈o's␈αcom␈α␈pleme␈α␈n␈α␈t␈αn␈α↓o␈α␈tation␈α␈).
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"213
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα,␈↓ πD␈ε Round␈αnumbers␈αare␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αfalse.
␈βαf␈↓ πh␈ε?←SAMUEL␈↓ 	≡␈ε?JOHNSON␈α(1750)
␈ββ;␈↓ ∧c␈ε I␈αshall␈αspeak␈αin␈αround␈αnumbers,␈αnot␈αabsolutely␈αaccurate,
␈ββc␈↓ ∧4␈ε y␈α␈et␈αnot␈αso␈αwide␈αfrom␈αtruth␈αas␈αto␈αv␈α}ary␈αthe␈αresult␈αmaterially.
␈β∧≥␈↓ π=␈ε?←THOMAS␈↓ λ⎇␈ε?JEFFERSON␈α(1824)
␈β¬&␈↓ ↓V␈ε319.␈↓ α␈ε#[␈ε)24␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Wha␈α␈t␈α∞is␈α
the␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
time␈α
for␈α
the␈↓ π'␈ε#sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e␈α
i␈α↓n␈αP␈α↓ro␈α␈gra␈α␈m␈α∞A␈↓ 
≠␈ε#,␈α∞in␈α
term␈α␈s
␈β¬(␈↓ εV␈ε∃FADD
␈β¬N␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α
relev␈α}a␈α␈n␈α␈t␈α
ch␈α␈ara␈α␈cteristics␈α
o␈α␈f␈α
the␈αdat␈α␈a?␈α∀What␈αi␈α↓s␈αthe␈αmax␈α␈i␈α↓m␈α}um␈αrun␈α␈ning␈αtime,␈α
o␈α␈v␈α␈er␈αall
␈β¬v␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈pu␈α␈ts␈αthat␈αd␈α␈o␈αnot␈αca␈α␈use␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αor␈αu␈α␈nd␈α␈er⎇o␈α}w␈α↓?
␈βεi␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.2.2.␈↓ α6␈ε=Ac␈α␈cur␈α↓a␈α␈cy␈α
of␈α∞F␈α␈loat␈α↓ing␈α
Po␈α␈i␈α↓nt␈α
Ar␈α↓ith␈α↓me␈α␈t␈α↓ic
␈βπ*␈↓ ↓H␈ε"Floating␈α
poin␈α␈t␈αcomputation␈α
is␈αby␈αnature␈α
inexact,␈αand␈αit␈α
is␈αn␈α↓ot␈α
di}cult␈αto␈α
misuse
␈βπU␈↓ ↓H␈ε"it␈α
so␈α
that␈α
the␈α
computed␈α∞answ␈α␈ers␈α
consist␈α
alm␈α↓ost␈α
en␈α␈tirely␈α
of␈α∞\n␈α↓oise."␈α∪One␈α
of␈α
the
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"principal␈α	problems␈α
of␈α
n␈α␈umerical␈α	analysis␈α
is␈α
to␈α
determine␈α	h␈α↓o␈α␈w␈α
accurate␈α
the␈α	results
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"of␈α∞certain␈α∂n␈α␈umerical␈α∂meth␈α↓ods␈α∂will␈α∂be.␈α_A␈α∂\credibilit␈α␈y-gap"␈α∂problem␈α∂is␈α∞in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed
␈βλW␈↓ ↓H␈ε"here:␈α∩w␈α␈e␈α∂don't␈α∂kn␈α↓o␈α␈w␈α∂h␈α↓o␈α␈w␈α∂m␈α␈uch␈α∂of␈α∂the␈α∂computer's␈α∂answ␈α␈ers␈α∂to␈α∂believ␈α␈e.␈α→No␈α␈vice
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"computer␈α
users␈αsolv␈α␈e␈α
this␈α
problem␈α
by␈α
implicitly␈α
trusting␈α
in␈α
the␈α
computer␈α
as␈αan
␈β	-␈↓ ↓H␈ε"infallible␈α
auth␈α↓orit␈α␈y;␈α∞they␈α∞tend␈α∞to␈α
believ␈α␈e␈α∞that␈α
all␈α∞digits␈α
of␈α∞a␈α
prin␈α␈ted␈α∞answ␈α␈er␈α
are
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε"signi|can␈α␈t.␈α∪Disillusioned␈α∞computer␈α
users␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
just␈α
the␈α∞opposite␈α
approach,␈α
they
␈β
∧␈↓ ↓H␈ε"are␈αconstan␈α␈tly␈αafraid␈αthat␈αtheir␈αansw␈α␈ers␈αare␈αalm␈α↓ost␈αmeaningless.␈α⊂Man␈α␈y␈αa␈αserious
␈β
/␈↓ ↓H␈ε"mathematician␈αhas␈αattempted␈αto␈αgiv␈α␈e␈αrigorous␈αanalyses␈αof␈αa␈αsequence␈αof␈α⎇oating
␈β
Z␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
operations,␈α∞but␈α∞has␈α∞found␈α
the␈α∞task␈α∞to␈α
be␈α∞so␈α∞formidable␈α
that␈α∞he␈α∞has␈α
tried
␈β¬␈↓ ↓H␈ε"to␈αcon␈α␈ten␈α␈t␈αhimself␈αwith␈αplausibilit␈α␈y␈αargumen␈α␈ts␈αinstead.
␈β1␈↓ α␈ε"A␈αλth␈α↓orough␈α	examination␈αλof␈α	error␈αλanalysis␈α	techniques␈αλis,␈α	of␈α	course,␈α	bey␈α␈ond␈αλthe
␈β\␈↓ ↓H␈ε"scope␈αλof␈α	this␈α	bo␈α↓ok,␈α	but␈α	in␈α	this␈αλsection␈α	w␈α␈e␈α	shall␈α	study␈αλsome␈α	of␈α	the␈α	characteristics␈αλof
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic␈αerrors.␈α⊂Our␈αgoal␈αis␈αto␈αdisco␈α␈v␈α␈er␈αh␈α↓o␈α␈w␈αto␈αperform␈α⎇oating
␈β2␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
arithmetic␈αin␈αsuch␈αa␈αw␈α␈a␈α␈y␈αthat␈α
reasonable␈αanalyses␈αof␈αerror␈αpropagation␈α
are
␈β]␈↓ ↓H␈ε"facilitated␈αas␈αm␈α␈uch␈αas␈αpossible.
␈β
	␈↓ α␈ε"A␈α	rough␈α
(but␈α	reasonably␈α	useful)␈α	w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α	express␈α	the␈α
beha␈α␈vior␈α	of␈α	⎇oating␈α	poin␈α␈t
␈β
4␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈αcan␈αbe␈αbased␈αon␈αthe␈αconcept␈αof␈α\␈↓ ε|␈ε"signi|can␈α␈t␈α|gures"␈αor␈↓ 	V␈ε/relativ␈α␈e␈αerror.
␈β
←␈↓ ↓H␈ε"If␈α∞w␈α␈e␈α∂are␈α∞represen␈α␈ting␈α∂an␈α∞exact␈α∂real␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∞x␈ε"␈α∂inside␈α∞a␈α∂computer␈α∞by␈α∂using␈α∞the
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximation␈↓ β:␈ε(x␈↓ β;␈ε"∂␈↓ β[␈ε"=␈ε(␈αx␈ε"(1␈α	+␈ε(␈α	∂␈ε"),␈α∞the␈α∞quan␈α␈tit␈α␈y␈ε(␈α
∂␈ε"␈α
=␈α(␈↓ πN␈ε(x␈↓ πO␈ε"∂␈↓ πk␈ε6␈␈ε(␈α	x␈ε")/␈ε(x␈ε"␈α∞is␈α
called␈α∞the␈α
relativ␈α␈e
␈β∞5␈↓ ↓H␈ε"error␈α∩of␈α∪appro␈α␈ximation.␈α$Roughly␈α∪speaking,␈α∀the␈α∪operations␈α∪of␈α∪⎇oating␈α∩poin␈α␈t
␈β∞a␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision␈αdo␈αn␈α↓ot␈αmagnify␈αthe␈αrelativ␈α␈e␈αerror␈αby␈αv␈α␈ery␈αm␈α␈uch;␈αbut
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αsubtraction␈α
of␈αnearly␈α
equal␈αquan␈α␈tities␈α
(and␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈α
addition,
␈β∂7␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α
λ␈↓ α⊗␈ε(v␈↓ α)␈ε",␈α⊃where␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α⊂is␈α⊂nearly␈α⊂equal␈α⊃to␈ε6␈α⊂␈␈↓ ε%␈ε(v␈↓ ε8␈ε")␈α⊂can␈α⊂v␈α␈ery␈α⊂greatly␈α⊂increase␈α⊂the␈α⊂relativ␈α␈e
␈β∂b␈↓ ↓H␈ε"error.␈α⊂So␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αa␈αgeneral␈αrule␈αof␈αth␈α␈um␈α␈b,␈αthat␈αa␈αsubstan␈α␈tial␈αloss␈αof␈αaccuracy␈αis
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ε"expected␈α	from␈α	such␈α
additions␈α	and␈α
subtractions,␈α
but␈α	n␈α↓ot␈α
from␈α	m␈α␈ultiplications␈α	and
␈β⊂9␈↓ ↓H␈ε"divisions.␈α∩On␈α
the␈α
other␈α
hand,␈α
the␈αsituation␈α
is␈α
somewhat␈α
parado␈α␈xical␈α
and␈αneeds
␈β⊂d␈↓ ↓H␈ε"to␈α	be␈α
understo␈α↓od␈α
properly,␈α
since␈α	\bad"␈α
additions␈α
and␈α	subtractions␈α
are␈α	performed
␈β⊃∂␈↓ ↓H␈ε"with␈αperfect␈αaccuracy!␈α→(See␈αexercise␈α25.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"214␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"One␈αof␈α
the␈αconsequences␈αof␈α
the␈αpossible␈αunreliabilit␈α␈y␈α
of␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddi-
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"tion␈αis␈αthat␈αthe␈αassociativ␈α␈e␈αla␈α␈w␈αbreaks␈αdo␈α␈wn:
␈ββ ␈↓ β,␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ∧↓␈ε(v␈↓ ∧∀␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ ∧T␈ε(w␈↓ ∧y␈ε6≤␈ε(␈α
u␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈↓ ¬|␈ε(v␈↓ ε⊗␈ε6λ␈↓ εB␈ε(w␈↓ ε]␈ε"),␈↓ πA␈ε"for␈αman␈α␈y␈↓ λ[␈ε(u␈ε",␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	∪␈ε",␈↓ 	#␈ε(w␈↓ 	>␈ε".␈↓ α␈ε"(1)
␈ββq␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αexample,
␈β∧<␈↓ α∨␈ε"(11111113.␈ε6␈αλλ␈αλ␈␈ε"11111111.)␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ7.5111111␈↓ π≠␈ε"=␈α
2.0000000␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ7.5111111
␈β∧r␈↓ π≠␈ε"=␈α
9.5111111;
␈β¬3␈↓ α∨␈ε"11111113.␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈ε6␈␈ε"11111111.␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ7.5111111)␈↓ π≠␈ε"=␈α
11111113.␈ε6␈αλλ␈αλ␈␈ε"11111103.
␈β¬i␈↓ π≠␈ε"=␈α
10.000000.
␈βε.␈↓ ↓H␈ε"(All␈αexamples␈αin␈αthis␈αsection␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αeigh␈α␈t-digit␈α⎇oating␈αdecimal␈αarithmetic,
␈βεY␈↓ ↓H␈ε"with␈α
exponen␈α␈ts␈α
indicated␈α
by␈α
an␈αexplicit␈α
decimal␈α
poin␈α␈t.␈α∂Recall␈αthat,␈α
as␈α
in␈α
Section
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε"4.2.1,␈α
the␈αsym␈α␈bols␈ε6␈α
λ␈ε",␈ε6␈α
␈	␈ε",␈ε6␈α
␈
␈ε",␈ε6␈α
␈ε"␈α
are␈α
used␈α
to␈αstand␈α
for␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αoperations
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε"corresponding␈αto␈αthe␈αexact␈αoperations␈α+,␈ε6␈α␈␈ε",␈ε6␈αα␈ε",␈α/.)
␈βπZ␈↓ α␈ε"In␈α
view␈α
of␈α
the␈α
failure␈α
of␈α	the␈α
associativ␈α␈e␈α
la␈α␈w,␈αthe␈α	commen␈α␈t␈α
of␈α
Mrs.␈↓ 
λ␈ε"La␈α	T␈α⎇ouche
␈βλε␈↓ ↓H␈ε"that␈α⊃appears␈α⊃at␈α⊃the␈α⊃beginning␈α⊃of␈α⊃this␈α⊃chapter␈α⊃[tak␈α␈en␈α⊂from␈ε/␈α⊃Math.␈α⊃Gazette␈ε2␈α⊃12
␈βλ1␈↓ ↓H␈ε"(1924),␈α95]␈αmak␈α␈es␈αa␈αgo␈α↓od␈αdeal␈αof␈αsense␈αwith␈αrespect␈αto␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic.
␈βλA␈↓ πl␈ε↓P
␈βλ\␈↓ ↓H␈ε"Mathematical␈α∂n␈α↓otations␈α⊂lik␈α␈e␈α⊂\␈↓ ¬+␈ε(a␈↓ ¬Y␈ε"+␈↓ ελ␈ε(a␈↓ ε6␈ε"+␈↓ εe␈ε(a␈↓ π	␈ε""␈α⊂or␈α∂\␈↓ 	λ␈ε(a␈↓ 	-␈ε""␈α⊂are␈α∂inheren␈α␈tly
␈βλh␈↓ ¬>␈ε%1␈↓ ε≠␈ε%2␈↓ εx␈ε%3␈↓ 	≠␈ε+k
␈βλn␈↓ λ∩␈ε%1␈ε9␈α↓∀␈↓ λ?␈ε+k␈↓ λP␈ε9∀␈ε+␈α␈n
␈β	π␈↓ ↓H␈ε"based␈αupon␈αthe␈αassumption␈αof␈αassociativit␈α␈y,␈αso␈αa␈αprogrammer␈αm␈α␈ust␈αbe␈αespecially
␈β	2␈↓ ↓H␈ε"careful␈αthat␈αhe␈αdoes␈αn␈α↓ot␈αimplicitly␈αassume␈αthe␈αv␈α}alidit␈α␈y␈αof␈αthe␈αassociativ␈α␈e␈αla␈α␈w.
␈β	q␈↓ ↓H␈ε2A.␈α∪An␈α∀axiomatic␈α∪approach.␈ε"␈α'Alth␈α↓ough␈α∪the␈α∪associativ␈α␈e␈α∀la␈α␈w␈α∪is␈α∀n␈α↓ot␈α∪v␈α}alid,␈α∃the
␈β
≤␈↓ ↓H␈ε"comm␈α␈utativ␈α␈e␈αla␈α␈w
␈β
G␈↓ ¬B␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ε␈ε(v␈↓ ε(␈ε"=␈↓ εV␈ε(v␈↓ εq␈ε6λ␈ε(␈αλu␈↓ α␈ε"(2)
␈β	␈↓ ↓H␈ε"does␈αh␈α↓old,␈αand␈αthis␈αla␈α␈w␈αcan␈αbe␈α
a␈αv␈α}aluable␈αconceptual␈αasset␈αin␈αprogramming␈αand
␈β4␈↓ ↓H␈ε"in␈α⊂the␈α⊃analysis␈α⊃of␈α⊃programs.␈α≡This␈α⊃example␈α⊃suggests␈α⊂that␈α⊃w␈α␈e␈α⊃sh␈α↓ould␈α⊃lo␈α↓ok␈α⊂for
␈β`␈↓ ↓H␈ε"importan␈α␈t␈αla␈α␈ws␈αthat␈ε/␈α
are␈ε"␈αsati|ed␈αby␈ε6␈αλ␈ε",␈ε6␈α
␈	␈ε",␈ε6␈α␈
␈ε",␈α
and␈ε6␈α␈ε";␈αit␈α
is␈αn␈α↓ot␈αunreasonable␈αto
␈β␈↓ ↓H␈ε"sa␈α␈y␈α∞that␈ε/␈α
⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞routines␈α∞sh␈α↓ould␈α∞be␈α∞designed␈α∞to␈α∞preserv␈α␈e␈α∞as␈α∞man␈α␈y␈α∞of␈α
the
␈β6␈↓ ↓H␈ε/ordinary␈α∂mathematical␈α∞la␈α␈ws␈α∂as␈α∂possible.␈ε"␈α→If␈α∂m␈α↓ore␈α∂axioms␈α∂are␈α∂v␈α}alid,␈α⊂it␈α∞becomes
␈βa␈↓ ↓H␈ε"easier␈α∞to␈α∞write␈α∂go␈α↓od␈α∞programs,␈α∂and␈α∂programs␈α∞also␈α∞become␈α∂m␈α↓ore␈α∞portable␈α∞from
␈β
␈↓ ↓H␈ε"machine␈αto␈αmachine.
␈β
8␈↓ α␈ε"Let␈α⊂us␈α⊂therefore␈α⊃consider␈α⊂some␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂other␈α⊃basic␈α⊂la␈α␈ws␈α⊂that␈α⊂are␈α⊂v␈α}alid␈α⊂for
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalized␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
operations␈α
as␈α
described␈α
in␈α
the␈α
previous␈αsection.␈α∪First
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞2␈↓ ¬#␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈↓ ¬l␈ε(v␈↓ ε	␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈απλ␈αλ␈␈↓ π#␈ε(v␈↓ π6␈ε";␈↓ α␈ε"(3)
␈β∞s␈↓ ∧g␈ε6␈␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬`␈ε(v␈↓ ¬s␈ε")␈↓ ε	␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε(u␈ε6␈απλ␈αλ␈␈↓ πG␈ε(v␈↓ πZ␈ε";␈↓ α␈ε"(4)
␈β∂4␈↓ β]␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ∧&␈ε(v␈↓ ∧C␈ε"=␈α
0␈↓ ¬K␈ε"if␈αa␈↓ ¬␈␈ε"nd␈αonly␈αif␈↓ π`␈ε(v␈↓ π|␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε(u␈ε";␈↓ α␈ε"(5)
␈β∂t␈↓ ¬$␈ε(u␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ0␈↓ ε	␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈.␈↓ α␈ε"(6)
␈β⊂E␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇rom␈αthese␈αla␈α␈ws␈αw␈α␈e␈αcan␈αderiv␈α␈e␈αfurther␈αiden␈α␈tities;␈αfor␈αexample␈α(exercise␈α1),
␈β⊃⊗␈↓ ¬∨␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈↓ ¬h␈ε(v␈↓ ε¬␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"(␈↓ εc␈ε(v␈↓ ε}␈ε6␈	␈ε(␈αλu␈ε").␈↓ α␈ε"(7)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"215
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα"␈↓ α␈ε"Iden␈α␈tities␈α(2)␈αto␈α(6)␈αare␈αeasily␈αdeduced␈αfrom␈αthe␈αalgorithms␈αin␈αSection␈α4.2.1.
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"The␈αfollo␈α␈wing␈αrule␈αis␈αsligh␈α␈tly␈αless␈αobvious:
␈ββ%␈↓ βm␈ε"if␈↓ ∧K␈ε(u␈ε6␈α	∀␈↓ ¬↔␈ε(v␈↓ ¬r␈ε"then␈↓ π␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ πI␈ε(w␈↓ πn␈ε6∀␈↓ λ≤␈ε(v␈↓ λ7␈ε6λ␈↓ λc␈ε(w␈↓ λ}␈ε".␈↓ α␈ε"(8)
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈ε"Instead␈α∞of␈α∞attempting␈α
to␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∞this␈α∞rule␈α∞by␈α∞analyzing␈α∞Algorithm␈α∞4.2.1A␈↓ 
<␈ε",␈α∞let␈α∞us
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε"go␈αback␈α
to␈α
the␈α
principle␈αunderlying␈α
the␈α
design␈αof␈α
that␈α
algorithm.␈α~(Algorithmic
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε"pro␈α↓ofs␈α⊂aren't␈α⊃alw␈α␈a␈α␈ys␈α⊂easier␈α⊂than␈α⊃mathematical␈α⊂ones.)␈α"Our␈α⊂idea␈α⊃w␈α␈as␈α⊂that␈α⊂the
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αoperations␈αsh␈α↓ould␈αsatisfy
␈β¬Q␈↓ β)␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ βr␈ε(v␈↓ ∧∞␈ε"=␈↓ ∧<␈ε"round␈↓ ¬_␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ¬m␈ε(v␈↓ ε␈ε"),␈↓ ε↑␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈↓ π'␈ε(v␈↓ πD␈ε"=␈↓ πr␈ε"round␈↓ λN␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ 	"␈ε(v␈↓ 	5␈ε"),
␈β¬l␈↓ α␈ε"(9)
␈βεπ␈↓ β)␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ βr␈ε(v␈↓ ∧∞␈ε"=␈↓ ∧<␈ε"round␈↓ ¬_␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλα␈↓ ¬m␈ε(v␈↓ ε␈ε"),␈↓ ε↑␈ε(u␈ε6␈αλ␈↓ π'␈ε(v␈↓ πD␈ε"=␈↓ πr␈ε"round␈↓ λN␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α
/␈↓ 	≤␈ε(v␈↓ 	/␈ε"),
␈βε[␈↓ ↓H␈ε"where␈αround(␈ε(x␈ε")␈αden␈α↓otes␈αthe␈αbest␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αappro␈α␈ximation␈αto␈ε(␈αx␈ε"␈αas␈αde|ned␈αin
␈βπε␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α4.2.1N␈↓ βZ␈ε".␈α⊂W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπX␈↓ ∧⊂␈ε"round␈↓ ∧l␈ε"(␈ε6␈␈ε(x␈ε")␈↓ ¬F␈ε"=␈ε6␈α
␈␈↓ ε_␈ε"round␈↓ εt␈ε"(␈ε(x␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(10)
␈βλ≤␈↓ βE␈ε(x␈ε6␈α
∀␈↓ ∧⊃␈ε(y␈↓ ∧l␈ε"impli␈↓ ¬<␈ε"es␈↓ ε"␈ε"round␈↓ ε}␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6␈α
∀␈↓ πb␈ε"round␈↓ λ>␈ε"(␈↓ λJ␈ε(y␈↓ λ]␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(11)
␈βλt␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞these␈α∂fundamen␈α␈tal␈α∂relations␈α∞pro␈α␈v␈α␈e␈α∂properties␈α∂(2)␈α∞through␈α∂(8)␈α∞immediately.
␈β	∨␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈αcan␈αalso␈αwrite␈αdo␈α␈wn␈αsev␈α␈eral␈αm␈α↓ore␈αiden␈α␈tities:
␈β	j␈↓ α`␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ β)␈ε(v␈↓ βF␈ε"=␈↓ βt␈ε(v␈↓ ∧∞␈ε6␈
␈ε(␈αλu␈ε",␈↓ ¬'(␈ε6␈␈ε(u␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈↓ ε,␈ε(v␈↓ εI␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ πp␈ε(v␈↓ λα␈ε"),␈↓ λf1␈ε6␈αλ␈
␈↓ 	,␈ε(v␈↓ 	I␈ε"=␈↓ 	w␈ε(v␈↓ 

␈ε";
␈β
+␈↓ β:␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧β␈ε(v␈↓ ∧ ␈ε"=␈α
0␈↓ ¬(␈ε"if␈αand␈αonly␈αif␈↓ π=␈ε(u␈ε"␈α	=␈α
0␈αor␈↓ λS␈ε(v␈↓ λp␈ε"=␈α
0;
␈β
l␈↓ ∧~␈ε"(␈ε6␈␈ε(u␈ε"␈α␈)␈ε6␈αλ␈↓ ¬≡␈ε(v␈↓ ¬;␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αλ␈ε"␈αλ(␈ε6␈␈↓ εb␈ε(v␈↓ εu␈ε")␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈↓ λ2␈ε(v␈↓ λD␈ε");
␈β-␈↓ βd␈ε"0␈ε6␈αλ␈↓ ∧*␈ε(v␈↓ ∧G␈ε"=␈α
0,␈ε(␈↓ ¬←u␈ε6␈αλ␈ε"␈αλ1␈α
=␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈,␈ε(␈↓ π↑u␈ε6␈αλ␈ε(␈αλu␈ε"␈α
=␈α
1.
␈β∧␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α	u␈ε6␈α	∀␈↓ α5␈ε(v␈↓ αQ␈ε"and␈↓ β∀␈ε(w␈↓ β9␈ε">␈α
0,␈α
then␈ε(␈α	u␈ε6␈α↓␈
␈↓ ¬_␈ε(w␈↓ ¬=␈ε6∀␈↓ ¬k␈ε(v␈↓ ε␈ε6␈
␈↓ ε&␈ε(w␈↓ εJ␈ε"and␈ε(␈αλu␈ε6␈αα␈↓ πI␈ε(w␈↓ πn␈ε6∀␈↓ λ≤␈ε(v␈↓ λ1␈ε6␈↓ λW␈ε(w␈↓ λz␈ε"and␈↓ 	=␈ε(w␈↓ 	Z␈ε6␈ε(␈ααu␈ε6␈α
∃␈↓ 
M␈ε(w␈↓ 
j␈ε6␈↓ ⊂␈ε(v␈↓ "␈ε".
␈β0␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α∞u␈ε6␈α
λ␈↓ α;␈ε(v␈↓ α\␈ε"=␈ε(␈α∂u␈ε"␈α	+␈↓ β[␈ε(v␈↓ βn␈ε",␈α∂then␈α∂(␈ε(u␈ε6␈α	λ␈↓ ¬4␈ε(v␈↓ ¬G␈ε")␈ε6␈α
␈	␈↓ ε␈ε(v␈↓ ε,␈ε"=␈ε(␈α∞u␈ε";␈α⊂and␈α∂if␈ε(␈α∂u␈ε6␈α	␈
␈↓ λG␈ε(v␈↓ λh␈ε"=␈ε(␈α∂u␈ε6␈α	α␈↓ 	g␈ε(v␈↓ 
	␈ε6≤␈ε"␈α∞0,␈α∂then
␈β[␈↓ ↓H␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α	␈
␈↓ α∨␈ε(v␈↓ α2␈ε")␈ε6␈α
␈↓ αu␈ε(v␈↓ β⊗␈ε"=␈ε(␈α∞u␈ε".␈α↔W␈α⎇e␈α∞see␈α∞that␈α∂a␈α∞go␈α↓od␈α∞deal␈α∂of␈α∞regularit␈α␈y␈α∞is␈α∂presen␈α␈t␈α∞in␈α∞spite␈α∞of
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε"the␈αinexactness␈α
of␈α
the␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αoperations,␈α
when␈α
things␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈αde|ned
␈β
1␈↓ ↓H␈ε"properly.
␈β
]␈↓ α␈ε"Sev␈α␈eral␈α⊂familiar␈α⊂rules␈α⊂of␈α⊂algebra␈α⊂are␈α⊂still,␈α⊃of␈α⊂course,␈α⊃conspicuously␈α⊂absen␈α␈t
␈β∞λ␈↓ ↓H␈ε"from␈α⊃the␈α∩collection␈α∩of␈α⊃iden␈α␈tities␈α∩abo␈α␈v␈α␈e;␈α∀the␈α∩associativ␈α␈e␈α∩la␈α␈w␈α⊃for␈α∩⎇oating␈α⊃poin␈α␈t
␈β∞3␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈α	is␈α	n␈α↓ot␈α	strictly␈α	true,␈α
as␈α	sh␈α↓o␈α␈wn␈α
in␈α	exercise␈α	3,␈α
and␈α	the␈α	distributiv␈α␈e␈α	la␈α␈w
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ε"bet␈α␈w␈α␈een␈ε6␈α␈
␈ε"␈α
and␈ε6␈αλ␈ε"␈α
can␈αfail␈α
rather␈α
badly:␈α
Let␈ε(␈αu␈ε"␈α=␈α20000.000,␈↓ 	_␈ε(v␈↓ 	5␈ε"=␈ε6␈α␈␈ε"6.0000000,
␈β∂
␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(w␈↓ α3␈ε"=␈α
6.0000003;␈αthen
␈β∂\␈↓ α'␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ α|␈ε(v␈↓ β∂␈ε")␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧$␈ε(w␈↓ ∧?␈ε")␈↓ ∧U␈ε"=␈ε6␈α
␈␈ε"120000.00␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ120000.01␈α
=␈α
.010000000
␈β⊂ ␈↓ βλ␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ β]␈ε(v␈↓ βx␈ε6λ␈↓ ∧$␈ε(w␈↓ ∧?␈ε")␈↓ ∧U␈ε"=␈α
20000.000␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ.00000030000000␈α
=␈α
.0060000000
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ε"so
␈β⊃⊗␈↓ ∧&␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ ∧{␈ε(v␈↓ ¬⊗␈ε6λ␈↓ ¬B␈ε(w␈↓ ¬]␈ε")␈ε6␈α
≤␈ε"␈α
(␈ε(u␈ε6␈απ␈
␈↓ εu␈ε(v␈↓ πλ␈ε")␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ λ≥␈ε(w␈↓ λ8␈ε").␈↓ 
p␈ε"(12)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"216␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"On␈αthe␈αother␈α
hand␈αw␈α␈e␈αdo␈αha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α
b␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ ε¬␈ε(v␈↓ ε ␈ε6λ␈↓ εM␈ε(w␈↓ εh␈ε")␈α
=␈α
(␈ε(b␈ε6␈α	␈
␈↓ π|␈ε(v␈↓ λ∂␈ε")␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈ε(b␈ε6␈α	␈
␈↓ 	∨␈ε(w␈↓ 	:␈ε"),␈αwhen␈ε(␈α
b␈ε"␈αis␈αthe
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αradix,␈αsince
␈ββ$␈↓ ∧␈␈ε"round␈↓ ¬[␈ε"(␈ε(bx␈ε")␈α
=␈ε(␈α
b␈↓ εc␈ε"round␈↓ π?␈ε"(␈ε(x␈ε").␈↓ 
p␈ε"(13)
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε"(Strictly␈αλspeaking,␈α	the␈αλiden␈α␈tities␈αλand␈αλinequalities␈αλw␈α␈e␈αλare␈αλconsidering␈αλin␈αλthis␈αλsection
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε"implicitly␈α∩assume␈α∩that␈↓ ∧E␈ε"exponen␈α␈t␈α∩under⎇o␈α␈w␈α∩and␈α∩o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∩do␈α∩n␈α↓ot␈α∩occur.␈α"The
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"function␈αround(␈ε(x␈ε")␈↓ βj␈ε"is␈αunde|ned␈αwhen␈ε6␈αj␈ε(x␈ε6j␈ε"␈αis␈αto␈α↓o␈αsmall␈αor␈αto␈α↓o␈αlarge,␈αand␈αequations
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"such␈αas␈α(13)␈αh␈α↓old␈αonly␈αwhen␈αboth␈αsides␈αare␈αde|ned.)
␈β¬'␈↓ α␈ε"The␈αfailure␈αof␈αCauch␈α␈y's␈αfundamen␈α␈tal␈αinequalit␈α␈y
␈β¬v␈↓ β ␈ε%2␈↓ ∧W␈ε%2␈↓ ¬⊗␈ε%2␈↓ εL␈ε%2␈↓ 	c␈ε%2
␈β¬}␈↓ β␈ε"(␈↓ β␈ε(x␈↓ β9␈ε"+␈↓ βe␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧↔␈ε"+␈↓ ∧C␈ε(x␈↓ ∧k␈ε")(␈↓ ¬β␈ε(y␈↓ ¬/␈ε"+␈↓ ¬[␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε
␈ε"+␈↓ ε9␈ε(y␈↓ ε`␈ε")␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
(␈↓ π0␈ε(x␈↓ πU␈ε(y␈↓ π␈␈ε"+␈↓ λ+␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ]␈ε"+␈↓ 		␈ε(x␈↓ 	1␈ε(y␈↓ 	W␈ε")
␈βε
␈↓ πD␈ε%1␈↓ πf␈ε%1␈↓ 	≥␈ε+n␈↓ 	C␈ε+n
␈βε∂␈↓ β ␈ε%1␈↓ ∧W␈ε+n␈↓ ¬⊗␈ε%1␈↓ εL␈ε+n
␈βεU␈↓ ↓H␈ε"is␈α⊂an␈α↓other␈α⊂importan␈α␈t␈α⊃example␈α⊂of␈α⊂the␈α⊃breakdo␈α␈wn␈α⊂of␈α⊂traditional␈α⊃algebra␈α⊂in␈α⊂the
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"presence␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic.␈α⊂Exercise␈α7␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αCauch␈α␈y's␈αinequalit␈α␈y
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"can␈αfail␈αev␈α␈en␈αin␈αthe␈αsimple␈αcase␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
2,␈↓ ε5␈ε(x␈↓ εd␈ε"=␈↓ π∩␈ε(x␈↓ πA␈ε"=␈α
1.␈α⊂No␈α␈vice␈αprogrammers␈αwh␈α↓o
␈βπ7␈↓ εI␈ε%1␈↓ π&␈ε%2
␈βπV␈↓ ↓H␈ε"calculate␈α⊃the␈↓ β%␈ε"standard␈α⊃deviation␈α⊃of␈α⊃some␈α⊃observ␈α}ations␈α⊃by␈α⊃using␈α⊃the␈α⊂textbo␈α↓ok
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"form␈α␈ula
␈βλ$␈↓ βz␈ε↓s
␈βλ'␈↓ ∧≡␈∧λ'∧≡α¬)
␈βλ,␈↓ πg␈ε%2
␈βλ.␈↓ ∧n␈ε↓X␈↓ εS␈ε↓X
␈βλ7␈↓ ∧≡␈ε↓∩␈↓ ε ␈ε↓∩␈↓ πQ␈ε↓∪␈↓ λα␈ε↓∪␈↓ λ_␈ε↓≡
␈βλH␈↓ ¬Y␈ε%2
␈βλP␈↓ β-␈ε(≠␈↓ βL␈ε"=␈↓ ∧4␈ε(n␈↓ ¬E␈ε(x␈↓ ¬t␈ε6␈␈↓ π+␈ε(x␈↓ λ=␈ε(n␈ε"(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)␈↓ 
p␈ε"(14)
␈βλ\␈↓ π?␈ε+k
␈βλa␈↓ ¬Y␈ε+k
␈β	␈↓ ∧P␈ε%1␈ε9∀␈↓ ∧⎇␈ε+k␈↓ ¬∞␈ε9∀␈ε+␈α␈n␈↓ ε6␈ε%1␈ε9∀␈↓ εb␈ε+k␈↓ εs␈ε9∀␈ε+n
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"o$en␈αλ|nd␈α	themselv␈α␈es␈α	taking␈αλthe␈α	square␈α	ro␈α↓ot␈αλof␈α	a␈α	negativ␈α␈e␈αλn␈α␈um␈α␈ber!␈α∂A␈α	m␈α␈uch␈αλbetter
␈β	V␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α∞calculate␈↓ βX␈ε"means␈α∞and␈α∞standard␈α
deviations␈α∞with␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
arithmetic
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε"is␈αto␈αuse␈αthe␈αrecurrence␈αform␈α␈ulas
␈β
K␈↓ αQ␈ε(M␈↓ β⊂␈ε"=␈↓ β>␈ε(x␈↓ βc␈ε",␈↓ ∧5␈ε(M␈↓ ∧u␈ε"=␈↓ ¬#␈ε(M␈↓ ε∞␈ε6λ␈ε"␈αλ(␈↓ εF␈ε(x␈↓ εt␈ε6␈	␈↓ π ␈ε(M␈↓ λ∧␈ε")␈ε6␈αλ␈↓ λD␈ε(k␈↓ λX␈ε",␈↓ 
p␈ε"(15)
␈β
W␈↓ αu␈ε%1␈↓ βR␈ε%1␈↓ ∧Y␈ε+k␈↓ ¬G␈ε+k␈↓ ¬X␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ εZ␈ε+k␈↓ πE␈ε+k␈↓ πU␈ε9␈␈ε%1
␈β¬␈↓ α←␈ε(S␈↓ β⊂␈ε"=␈α
0,␈↓ ∧C␈ε(S␈↓ ∧u␈ε"=␈↓ ¬#␈ε(S␈↓ ¬␈␈ε6λ␈ε"␈αλ(␈↓ ε7␈ε(x␈↓ εf␈ε6␈	␈↓ π∩␈ε(M␈↓ πu␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ λA␈ε(x␈↓ λo␈ε6␈	␈↓ 	≠␈ε(M␈↓ 	Q␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(16)
␈β⊃␈↓ αu␈ε%1␈↓ ∧Y␈ε+k␈↓ ¬8␈ε+k␈↓ ¬I␈ε9␈␈ε%1␈↓ εK␈ε+k␈↓ π6␈ε+k␈↓ πF␈ε9␈␈ε%1␈↓ λU␈ε+k␈↓ 	?␈ε+k
␈β>␈↓ ¬∩␈ε↓p
␈β\␈↓ ¬6␈∧\¬6α↓0
␈β←␈↓ ↓H␈ε"for␈α∞2␈ε6␈α
∀␈↓ αS␈ε(k␈↓ αt␈ε6∀␈ε(␈α∞n␈ε"␈α␈,␈α∂where␈↓ ∧>␈ε(≠␈↓ ∧a␈ε"=␈↓ ¬6␈ε(S␈↓ ¬`␈ε"/(␈ε(n␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)␈↓ εf␈ε".␈α≥[Cf.␈α∞B.␈α∞P.␈↓ λ5␈ε"W␈α⎇elford,␈ε/␈α∞T␈α⎇echn␈α↓ometrics
␈βk␈↓ ¬L␈ε+n
␈β
␈↓ ↓H␈ε24␈ε"␈α
(1962),␈α∞419↑420.]␈α≠With␈α∞this␈α
meth␈α↓od␈↓ ε5␈ε(S␈↓ εl␈ε"can␈α∞nev␈α␈er␈α
be␈α
negativ␈α␈e,␈α∞and␈α
w␈α␈e␈α
a␈α␈v␈α␈oid
␈β⊗␈↓ εK␈ε+n
␈β5␈↓ ↓H␈ε"other␈αserious␈αproblems␈αencoun␈α␈tered␈αby␈αthe␈αna␈↓ π⊂␈ε"∪␈↓ π∀␈ε"␈↓ π≡␈ε"v␈α␈e␈αmeth␈α↓od␈αof␈αaccum␈α␈ulating␈αsums,
␈β`␈↓ ↓H␈ε"as␈α	sh␈α↓o␈α␈wn␈αλin␈α	exercise␈α	16.␈α∞(See␈α	exercise␈α	19␈α	for␈α	a␈α	summation␈α	technique␈α	that␈αλpro␈α␈vides
␈β
␈↓ ↓H␈ε"an␈αev␈α␈en␈αbetter␈αguaran␈α␈tee␈αon␈αthe␈αaccuracy.)
␈β
7␈↓ α␈ε"Alth␈α↓ough␈α
algebraic␈αla␈α␈ws␈α
do␈αn␈α↓ot␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈αh␈α↓old␈α
exactly,␈αw␈α␈e␈α
can␈αo$en␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈α
that
␈β
\␈↓ ¬u␈ε+e␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ πD␈ε+e
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"they␈α
aren't␈αto␈α↓o␈α
far␈αo{␈α
base.␈α⊂When␈↓ ¬f␈ε(b␈↓ ε;␈ε6∀␈ε(␈α
x␈ε"␈α
<␈↓ π5␈ε(b␈↓ π]␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
round(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈ε"␈α¬+␈ε(␈α¬~␈ε"(␈ε(x␈ε"),
␈β∞π␈↓ β`␈ε+e␈ε9␈␈ε+p
␈β∞	␈↓ β>␈ε%1
␈β∞
␈↓ ↓H␈ε"where␈ε6␈αj␈ε(~␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈α
∀␈↓ βQ␈ε(b␈↓ ∧≤␈ε";␈αhence
␈β∞≡␈↓ β>␈ε%2
␈β∞!␈↓ β>␈∧∞!β>α⊂
␈β∞E␈↓ εO␈ε↓␈␈↓ πa␈ε↓↓
␈β∞d␈↓ ∧{␈ε"round␈↓ ¬W␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
=␈ε(␈α
x␈↓ ε]␈ε"1␈αλ+␈↓ π#␈ε(∞␈↓ π5␈ε"(␈ε(x␈ε")␈↓ πo␈ε",␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β∂:␈↓ ↓H␈ε"where␈αthe␈↓ αn␈ε"relativ␈α␈e␈αerror␈αis␈αbounded␈αindependen␈α␈tly␈αof␈ε(␈αx␈ε":
␈β⊂␈↓ ε∧␈ε%1␈ε9␈␈ε+p␈↓ πw␈ε%1␈ε9␈␈ε+p
␈β⊂␈↓ ¬D␈ε%1␈↓ εz␈ε%1␈↓ πU␈ε%1
␈β⊂⊃␈↓ ∧5␈ε6j␈↓ ∧?␈ε(∞␈↓ ∧R␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈α
∀␈↓ ¬W␈ε"/(␈↓ ¬u␈ε(b␈↓ εJ␈ε"+␈↓ π
␈ε")␈α
<␈↓ πh␈ε(b␈↓ λ5␈ε".␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β⊂"␈↓ ¬D␈ε%2␈↓ εz␈ε%2␈↓ πU␈ε%2
␈β⊂%␈↓ ¬D␈∧⊂%¬Dα⊂␈↓ εz␈∧⊂%εzα⊂␈↓ πU␈∧⊂%πUα⊂
␈β⊂g␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈α
can␈α
use␈α∞this␈α
inequalit␈α␈y␈α∞to␈α
estimate␈α
the␈α∞relativ␈α␈e␈α
error␈α∞of␈α
n␈α↓ormalized␈α
⎇oating
␈β⊂t␈↓ λS␈ε↓␈␈↓ 
-␈ε↓↓
␈β⊃∪␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αcalculations␈αin␈αa␈αsimple␈αw␈α␈a␈α␈y,␈αsince␈ε(␈αu␈ε6␈απλ␈↓ π∀␈ε(v␈↓ π1␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ λ4␈ε(v␈↓ λG␈ε")␈↓ λa␈ε"1␈αλ+␈↓ 	'␈ε(∞␈↓ 	9␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ 
∞␈ε(v␈↓ 
!␈ε")␈↓ 
;␈ε",␈αetc.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"217
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα$␈↓ α␈ε"As␈α⊂an␈α⊂example␈α∂of␈α⊂t␈α␈ypical␈α⊂error-estimation␈α⊂procedures,␈α⊂let␈α⊂us␈α⊂consider␈α∂the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"associativ␈α␈e␈α
la␈α␈w␈α
for␈α
m␈α␈ultiplication.␈α∪Exercise␈α
3␈α
sh␈α↓o␈α␈ws␈α∞that␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ 	+␈ε(v␈↓ 	>␈ε")␈ε6␈α	␈
␈↓ 	␈␈ε(w␈↓ 
'␈ε"is␈α
n␈α↓ot␈α
in
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"general␈αequal␈αto␈ε(␈αu␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈απ(␈↓ ∧!␈ε(v␈↓ ∧<␈ε6␈
␈↓ ∧h␈ε(w␈↓ ¬β␈ε");␈αbut␈αthe␈αsituation␈αin␈αthis␈αcase␈αis␈αm␈α␈uch␈αbetter␈αthan
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"it␈α
w␈α␈as␈αwith␈α
respect␈αto␈α
the␈αassociativ␈α␈e␈αla␈α␈w␈α
of␈αaddition␈α
(1)␈αand␈α
the␈αdistributiv␈α␈e␈α
la␈α␈w
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"(12).␈α⊂In␈αfact,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∧∧␈↓ ∧c␈ε↓␈␈↓ ε/␈ε↓↓
␈β∧"␈↓ αi␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈
␈↓ β=␈ε(v␈↓ βP␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧⊂␈ε(w␈↓ ∧5␈ε"=␈↓ ∧q␈ε"(␈ε(u␈↓ ¬∩␈ε(v␈↓ ¬%␈ε")(1␈αλ+␈↓ εβ␈ε(∞␈↓ ε#␈ε")␈↓ εE␈ε6␈
␈↓ εq␈ε(w␈↓ π∃␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ πX␈ε(v␈↓ πk␈ε(w␈↓ λε␈ε"(1␈αλ+␈↓ λX␈ε(∞␈↓ λx␈ε")(1␈αλ+␈↓ 	V␈ε(∞␈↓ 	u␈ε"),
␈β∧/␈↓ ε∩␈ε%1␈↓ λg␈ε%1␈↓ 	e␈ε%2
␈β∧H␈↓ ¬,␈ε↓␈␈↓ ε⎇␈ε↓↓
␈β∧g␈↓ αi␈ε(u␈ε6␈απ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ β=␈ε(v␈↓ βX␈ε6␈
␈↓ ∧∧␈ε(w␈↓ ∧∨␈ε")␈↓ ∧5␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αλ␈
␈↓ ¬:␈ε"(␈↓ ¬F␈ε(v␈↓ ¬Y␈ε(w␈↓ ¬t␈ε")(1␈αλ+␈↓ εR␈ε(∞␈↓ εq␈ε")␈↓ π∃␈ε"=␈ε(␈α
u␈↓ πX␈ε(v␈↓ πk␈ε(w␈↓ λε␈ε"(1␈αλ+␈↓ λX␈ε(∞␈↓ λx␈ε")(1␈αλ+␈↓ 	V␈ε(∞␈↓ 	u␈ε"),
␈β∧s␈↓ εa␈ε%3␈↓ λg␈ε%3␈↓ 	e␈ε%4
␈β¬6␈↓ ↓H␈ε"for␈αsome␈↓ αZ␈ε(∞␈↓ αz␈ε",␈↓ β⊂␈ε(∞␈↓ β0␈ε",␈↓ βF␈ε(∞␈↓ βf␈ε",␈↓ β|␈ε(∞␈↓ ∧≤␈ε",␈αpro␈α␈vided␈αthat␈α
n␈α↓o␈αexponen␈α␈t␈αunder⎇o␈α␈w␈αor␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αoccurs,
␈β¬B␈↓ αi␈ε%1␈↓ β∨␈ε%2␈↓ βU␈ε%3␈↓ ∧␈ε%4
␈β¬[␈↓ β@␈ε%1␈ε9␈α↓␈␈ε+␈α␈p
␈β¬]␈↓ β≡␈ε%1
␈β¬a␈↓ ↓H␈ε"where␈ε6␈αj␈↓ α:␈ε(∞␈↓ αX␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ β1␈ε(b␈↓ ∧
␈ε"for␈αeach␈↓ ¬∀␈ε(j␈↓ ¬%␈ε".␈α⊂Hence
␈β¬n␈↓ αI␈ε+j
␈β¬r␈↓ β≡␈ε%2
␈β¬u␈↓ β≡␈∧¬uβ≡α⊂
␈βε0␈↓ βn␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧C␈ε(v␈↓ ∧U␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈↓ ¬∃␈ε(w␈↓ ¬p␈ε"(1␈αλ+␈↓ εB␈ε(∞␈↓ εb␈ε")(1␈αλ+␈↓ π@␈ε(∞␈↓ π`␈ε")
␈βε=␈↓ εQ␈ε%1␈↓ πO␈ε%2
␈βεH␈↓ ¬>␈ε"=␈↓ πz␈ε"=␈α
1␈αλ+␈↓ λn␈ε(∞␈↓ 	␈ε",
␈βε\␈↓ βn␈∧ε\βnα↓C␈↓ ¬p␈∧ε\¬pα↓|
␈βεb␈↓ βn␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ ∧C␈ε(v␈↓ ∧]␈ε6␈
␈↓ ¬	␈ε(w␈↓ ¬$␈ε")␈↓ ¬p␈ε"(1␈αλ+␈↓ εB␈ε(∞␈↓ εb␈ε")(1␈αλ+␈↓ π@␈ε(∞␈↓ π`␈ε")
␈βεn␈↓ εQ␈ε%3␈↓ πO␈ε%4
␈βπ-␈↓ ↓H␈ε"where
␈βπS␈↓ ¬d␈ε%1␈ε9␈␈ε+␈α␈p␈↓ π,␈ε%1␈ε9␈␈ε+␈α␈p␈↓ πu␈ε%2
␈βπT␈↓ π	␈ε%1
␈βπY␈↓ ∧d␈ε6j␈↓ ∧n␈ε(∞␈↓ ¬␈ε6j␈ε"␈α
<␈α
2␈↓ ¬T␈ε(b␈↓ ε!␈ε"/(1␈ε6␈αλ␈␈↓ π≤␈ε(b␈↓ πi␈ε")␈↓ λε␈ε".␈↓ 
p␈ε"(19)
␈βπi␈↓ π	␈ε%2
␈βπm␈↓ π	␈∧πmπ	α⊂
␈βλ∃␈↓ βa␈ε%1␈ε9␈␈ε+p
␈βλ≠␈↓ α␈ε"The␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ βR␈ε(b␈↓ ∧(␈ε"occurs␈α	so␈α	o$en␈α	in␈α	such␈α	analyses,␈α	it␈α	has␈α	been␈α	giv␈α␈en␈α	a␈α	special
␈βλF␈↓ ↓H␈ε"name,␈α	one␈ε/␈α	ulp␈ε",␈α
meaning␈α	one␈α	\unit␈α	in␈α	the␈α	last␈α	place"␈α	of␈α	the␈αλfraction␈α	part.␈α∂Floating
␈βλq␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
operations␈αare␈αcorrect␈αto␈α
within␈αhalf␈αan␈α
ulp,␈αand␈αthe␈αcalculation␈αof␈ε(␈α
u␈↓ 
M␈ε(v␈↓ 
`␈ε(w␈↓ ¬␈ε"by
␈β	≤␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αm␈α␈ultiplications␈αwill␈αbe␈αcorrect␈αwithin␈αabout␈αone␈αulp␈α(ign␈α↓oring
␈β	H␈↓ ↓H␈ε"second-order␈α	terms).␈α⊂Hence␈α
the␈α	associativ␈α␈e␈α
la␈α␈w␈α
for␈α
m␈α␈ultiplication␈α
h␈α↓olds␈α
to␈α	within
␈β	s␈↓ ↓H␈ε"about␈αt␈α␈w␈α␈o␈αulps␈αof␈αrelativ␈α␈e␈αerror.
␈β
≡␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞sh␈α↓o␈α␈wn␈α∞that␈α∞(␈ε(u␈ε6␈α	␈
␈↓ ¬8␈ε(v␈↓ ¬K␈ε")␈ε6␈α	␈
␈↓ ε
␈ε(w␈↓ ε6␈ε"is␈α∞appro␈α␈ximately␈α∞equal␈α∞to␈ε(␈α∞u␈ε6␈α
␈
␈ε"␈α	(␈↓ 
2␈ε(v␈↓ 
N␈ε6␈
␈↓ 
|␈ε(w␈↓ ⊗␈ε"),
␈β
I␈↓ ↓H␈ε"except␈α∞when␈α∞exponen␈α␈t␈α∞o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈α∞or␈α∂under⎇o␈α␈w␈α∞is␈α∞a␈α∞problem.␈α↔It␈α∞is␈α∞w␈α␈orth␈α␈while␈α∞to
␈β
t␈↓ ↓H␈ε"study␈αthis␈α
in␈α␈tuitiv␈α␈e␈α
idea␈αof␈α
being␈α
\appro␈α␈ximately␈α
equal"␈αin␈α
m␈α↓ore␈α
detail;␈α
can␈αw␈α␈e
␈β ␈↓ ↓H␈ε"mak␈α␈e␈αsuch␈αa␈αstatemen␈α␈t␈αm␈α↓ore␈αprecise␈αin␈αa␈αreasonable␈αw␈α␈a␈α␈y?
␈βK␈↓ α␈ε"A␈αprogrammer␈αusing␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic␈αalm␈α↓ost␈αnev␈α␈er␈αw␈α␈an␈α␈ts␈αto␈αtest␈αif
␈βv␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈w␈α␈o␈αcomputed␈αv␈α}alues␈αare␈α
exactly␈αequal␈αto␈α
each␈αother␈α(or␈αat␈α
least␈αhe␈αhardly␈αev␈α␈er
␈β!␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈α∞try␈α∞to␈α∞do␈α∞so),␈α∂because␈α∞this␈α∞is␈α∞an␈α∂extremely␈α∞improbable␈α∞occurrence.␈α⊗F␈α⎇or
␈βL␈↓ ↓H␈ε"example,␈αif␈αa␈αrecurrence␈αrelation
␈β
≡␈↓ ¬I␈ε(x␈↓ ε(␈ε"=␈↓ εV␈ε(f␈↓ εk␈ε"(␈↓ εw␈ε(x␈↓ π∨␈ε")
␈β
*␈↓ ¬]␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ π␈ε+n
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"is␈α	being␈α
used,␈α
where␈α
the␈α
theory␈α	in␈α
some␈α
textbo␈α↓ok␈α
sa␈α␈ys␈α	that␈↓ λ]␈ε(x␈↓ 	∂␈ε"approaches␈α
a␈α	limit
␈β
{␈↓ λq␈ε+n
␈β∞~␈↓ ↓H␈ε"as␈ε(␈α∞n␈ε6␈α
!␈α∞1␈ε",␈α∂it␈α∞is␈α∂usually␈α∞a␈α∞mistak␈α␈e␈α∞to␈α∂w␈α␈ait␈α∞un␈α␈til␈↓ πP␈ε(x␈↓ λ3␈ε"=␈↓ λe␈ε(x␈↓ 	≠␈ε"for␈α∂some␈ε(␈α∞n␈ε",␈α∞since
␈β∞'␈↓ πd␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ λy␈ε+n
␈β∞E␈↓ ↓H␈ε"the␈α
sequence␈↓ β≤␈ε(x␈↓ βR␈ε"migh␈α␈t␈α
be␈α
periodic␈α
with␈α∞a␈α
longer␈α
period␈α
due␈α∞to␈α
the␈α
rounding␈α
of
␈β∞R␈↓ β0␈ε+n
␈β∞q␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈termediate␈α
results.␈α⊂The␈α
proper␈αprocedure␈α
is␈αto␈α
w␈α␈ait␈αun␈α␈til␈ε6␈α
j␈↓ λl␈ε(x␈↓ 	F␈ε6␈␈↓ 	o␈ε(x␈↓ 
↔␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ 
Y␈ε(∞␈↓ 
l␈ε",␈α
for
␈β∞⎇␈↓ 	␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ 
β␈ε+n
␈β∂≤␈↓ ↓H␈ε"some␈α
suitably␈α∞ch␈α↓osen␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬(␈ε(∞␈↓ ¬:␈ε";␈α∞but␈α∞since␈α
w␈α␈e␈α∞don't␈α
necessarily␈α
kn␈α↓o␈α␈w␈α∞the␈α
order
␈β∂G␈↓ ↓H␈ε"of␈αmagnitude␈αof␈↓ βN␈ε(x␈↓ ∧α␈ε"in␈αadv␈α}ance,␈αit␈αis␈αev␈α␈en␈αbetter␈αto␈αw␈α␈ait␈αun␈α␈til
␈β∂S␈↓ βb␈ε+n
␈β⊂_␈↓ ¬⊃␈ε6j␈↓ ¬≠␈ε(x␈↓ ¬x␈ε6␈␈↓ ε$␈ε(x␈↓ εL␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
∂␈ε6j␈↓ π'␈ε(x␈↓ πO␈ε6j␈ε";␈↓ 
p␈ε"(20)
␈β⊂%␈↓ ¬/␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ε8␈ε+n␈↓ π;␈ε+n
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓o␈α␈w␈ε(␈α∞∂␈ε"␈α∂is␈α∞a␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈α∞that␈α∂is␈α∂m␈α␈uch␈α∞easier␈α∂to␈α∞select.␈α_This␈α∂relation␈α∞(20)␈α∂is␈α∞an␈α↓other
␈β⊃∃␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α∂of␈α∂sa␈α␈ying␈α∂that␈↓ ∧β␈ε(x␈↓ ∧g␈ε"and␈↓ ¬0␈ε(x␈↓ ¬g␈ε"are␈α⊂appro␈α␈ximately␈α∂equal;␈α⊂and␈α∂our␈α∂discussion
␈β⊃!␈↓ ∧↔␈ε+n␈ε%+␈α␈1␈↓ ¬D␈ε+n
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"218␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"indicates␈α	that␈α
a␈α	relation␈α
of␈α	\appro␈α␈ximately␈α
equal"␈α
w␈α␈ould␈α	be␈α
m␈α↓ore␈α	useful␈α
than␈α	the
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"traditional␈α
relation␈α∞of␈α
equalit␈α␈y,␈α∞when␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
computations␈α∞are␈α
in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"if␈αw␈α␈e␈αcould␈αonly␈αde|ne␈αa␈αsuitable␈αappro␈α␈ximation␈αrelation.
␈ββ&␈↓ α␈ε"In␈α⊂other␈α⊂w␈α␈ords,␈α⊃the␈α⊂fact␈α⊂that␈α⊂strict␈α⊂equalit␈α␈y␈α⊂of␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂v␈α}alues␈α⊂is␈α⊂of
␈ββR␈↓ ↓H␈ε"little␈α
importance␈α
implies␈α
that␈α
w␈α␈e␈α
ough␈α␈t␈α
to␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈α
new␈α
operation,␈↓ 	X␈ε/⎇oating␈α
poin␈α␈t
␈ββ⎇␈↓ ↓H␈ε/comparison␈ε",␈α
which␈α∞is␈α
in␈α␈tended␈α
to␈α∞help␈α
assess␈α∞the␈α
relativ␈α␈e␈α
v␈α}alues␈α∞of␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
⎇oating
␈β∧(␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α∂quan␈α␈tities.␈α~The␈α⊂follo␈α␈wing␈α∂de|nitions␈α⊂seem␈α∂to␈α∂be␈α⊂appropriate␈α∂for␈α⊂base␈ε(␈α∂b␈ε",
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε"excess␈↓ α4␈ε(q␈↓ αG␈ε",␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈α
(␈↓ ε%␈ε(e␈↓ εG␈ε",␈↓ εW␈ε(f␈↓ ε|␈ε")␈αand␈↓ πZ␈ε(v␈↓ πw␈ε"=␈α
(␈↓ λ1␈ε(e␈↓ λR␈ε",␈↓ λb␈ε(f␈↓ 	¬␈ε"):
␈β∧`␈↓ ε4␈ε+u␈↓ εi␈ε+u␈↓ λA␈ε+v␈↓ λt␈ε+v
␈β¬ ␈↓ λG␈ε+e␈↓ λe␈ε9␈␈↓ 	α␈ε+q␈↓ 	3␈ε+e␈↓ 	O␈ε9␈␈↓ 	m␈ε+q
␈β¬(␈↓ α$␈ε(u␈ε6␈α	≡␈↓ αp␈ε(v␈↓ β'␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧⊗if␈αand␈αonly␈αif␈↓ ε?␈ε(v␈↓ εZ␈ε6␈␈ε(␈αλu␈↓ π%␈ε">␈ε(␈α
∂␈↓ πg␈ε"ma␈↓ λ↔␈ε"x␈↓ λ+␈ε"(␈↓ λ7␈ε(b␈↓ 	∀␈ε",␈↓ 	$␈ε(b␈↓ 	}␈ε");␈↓ 
p␈ε"(21)
␈β¬*␈↓ λT␈ε-u␈↓ 	@␈ε-v
␈β¬Z␈↓ λG␈ε+e␈↓ λe␈ε9␈␈↓ 	α␈ε+q␈↓ 	3␈ε+e␈↓ 	O␈ε9␈␈↓ 	m␈ε+q
␈β¬b␈↓ α$␈ε(u␈ε6␈α	_␈↓ αp␈ε(v␈↓ β'␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧⊗if␈αand␈αonly␈αif␈↓ ε+␈ε6j␈↓ ε5␈ε(v␈↓ εP␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε6j␈↓ π%␈ε6∀␈ε(␈α
∂␈↓ πg␈ε"ma␈↓ λ↔␈ε"x␈↓ λ+␈ε"(␈↓ λ7␈ε(b␈↓ 	∀␈ε",␈↓ 	$␈ε(b␈↓ 	}␈ε");␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β¬d␈↓ λT␈ε-u␈↓ 	@␈ε-v
␈βε∀␈↓ λG␈ε+e␈↓ λe␈ε9␈␈↓ 	α␈ε+q␈↓ 	3␈ε+e␈↓ 	O␈ε9␈␈↓ 	m␈ε+q
␈βε≠␈↓ α$␈ε(u␈ε6␈α	∨␈↓ αp␈ε(v␈↓ β'␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧⊗if␈αand␈αonly␈αif␈↓ ε?␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ πλ␈ε(v␈↓ π%␈ε">␈ε(␈α
∂␈↓ πg␈ε"ma␈↓ λ↔␈ε"x␈↓ λ+␈ε"(␈↓ λ7␈ε(b␈↓ 	∀␈ε",␈↓ 	$␈ε(b␈↓ 	}␈ε");␈↓ 
p␈ε"(23)
␈βε≥␈↓ λT␈ε-u␈↓ 	@␈ε-v
␈βεM␈↓ λ?␈ε+e␈↓ λ]␈ε9␈␈↓ λz␈ε+q␈↓ 	+␈ε+e␈↓ 	G␈ε9␈␈↓ 	e␈ε+q
␈βεU␈↓ α$␈ε(u␈ε6␈α	→␈↓ αp␈ε(v␈↓ β'␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧⊗if␈αand␈αonly␈αif␈↓ ε+␈ε6j␈↓ ε5␈ε(v␈↓ εP␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε6j␈↓ π%␈ε6∀␈ε(␈α
∂␈↓ πg␈ε"min␈↓ λ#␈ε"(␈↓ λ/␈ε(b␈↓ 	␈ε",␈↓ 	≤␈ε(b␈↓ 	v␈ε").␈↓ 
p␈ε"(24)
␈βεW␈↓ λL␈ε-u␈↓ 	8␈ε-v
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε"These␈α∂de|nitions␈α∞apply␈α∂to␈α∂unn␈α↓ormalized␈α∂v␈α}alues␈α∂as␈α∂w␈α␈ell␈α∂as␈α∂to␈α∂n␈α↓ormalized␈α∞ones.
␈βπY␈↓ ↓H␈ε"Note␈α⊂that␈α⊂exactly␈α⊂one␈α⊃of␈α⊂the␈α⊂conditions␈ε(␈α⊂u␈ε6␈α⊃≡␈↓ π9␈ε(v␈↓ π\␈ε"(de|nitely␈α⊂less␈α⊂than),␈ε(␈α∩u␈ε6␈α⊃_␈↓ ~␈ε(v
␈βλ∧␈↓ ↓H␈ε"(appro␈α␈ximately␈α∞equal␈α∞to),␈α∂or␈ε(␈α∞u␈ε6␈α∞∨␈↓ ¬l␈ε(v␈↓ ε
␈ε"(de|nitely␈α∞greater␈α∂than)␈α∞m␈α␈ust␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞h␈α↓old
␈βλ/␈↓ ↓H␈ε"for␈α
an␈α␈y␈α
giv␈α␈en␈α
pair␈αof␈α
v␈α}alues␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈↓ ¬o␈ε(v␈↓ εα␈ε".␈α∪The␈α
relation␈ε(␈α
u␈ε6␈α→␈↓ λ?␈ε(v␈↓ λ←␈ε"is␈αsomewhat␈α
stronger
␈βλZ␈↓ ↓H␈ε"than␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α∩_␈↓ α}␈ε(v␈↓ β⊃␈ε",␈α∪and␈α⊃it␈α⊃migh␈α␈t␈α⊃be␈α⊃read␈α⊃\␈ε(u␈ε"␈α⊃is␈α⊃essen␈α␈tially␈α⊃equal␈α⊃to␈↓ 	>␈ε(v␈↓ 	Q␈ε"."␈α∨All␈α⊃of␈α⊃the
␈β	ε␈↓ ↓H␈ε"relations␈αare␈αgiv␈α␈en␈αin␈αterms␈αof␈αa␈αpositiv␈α␈e␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α∂␈ε"␈α
that␈αmeasures␈αthe␈αdegree
␈β	1␈↓ ↓H␈ε"of␈αappro␈α␈ximation␈αbeing␈αconsidered.
␈β	]␈↓ α␈ε"One␈α
w␈α␈a␈α␈y␈αto␈α
view␈αthe␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αde|nitions␈α
is␈αto␈α
associate␈↓ λ\␈ε"a␈α
\neigh␈α␈borh␈α↓o␈α↓od"␈αset
␈β
α␈↓ ∧b␈ε+e␈↓ ¬␈ε9␈␈↓ ¬≥␈ε+q
␈β
λ␈↓ ↓H␈ε(N␈↓ ↓k␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈)␈α=␈↓ αP␈ε6f␈↓ αh␈ε(x␈ε6␈α
j␈α
j␈ε(x␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλu␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α∂␈↓ ∧R␈ε(b␈↓ ¬5␈ε6g␈↓ ¬S␈ε"with␈αeach␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α
u␈ε"␈α␈;␈α
th␈α␈us,␈↓ 
]␈ε(N␈↓ ␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈)
␈β
␈↓ ∧o␈ε-u
␈β
3␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈ts␈α⊂a␈α⊂set␈α⊂of␈α⊃v␈α}alues␈α⊂near␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α⊂based␈α⊂on␈α⊃the␈α⊂exponen␈α␈t␈α⊂of␈ε(␈α⊂u␈ε"'s␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t
␈β
↑␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈tation.␈α~In␈α⊂these␈α∂terms,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α∂u␈ε6␈α⊂≡␈↓ π4␈ε(v␈↓ πV␈ε"if␈α∂and␈α⊂only␈α∂if␈↓ 	=␈ε(N␈↓ 	`␈ε"(␈ε(u␈ε")␈α∂<␈↓ 
P␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β
␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α∞<␈↓ α≥␈ε(N␈↓ α@␈ε"(␈↓ αL␈ε(v␈↓ α↑␈ε");␈ε(␈α⊂u␈ε6␈α∞_␈↓ βY␈ε(v␈↓ β{␈ε"if␈α∞and␈α∞only␈α∂if␈ε(␈α∞u␈ε6␈α∞2␈↓ ε&␈ε(N␈↓ εI␈ε"(␈↓ εU␈ε(v␈↓ εh␈ε")␈α∂or␈↓ π1␈ε(v␈↓ πR␈ε62␈↓ πx␈ε(N␈↓ λ≠␈ε"(␈ε(u␈ε");␈ε(␈α⊂u␈ε6␈α∞∨␈↓ 	7␈ε(v␈↓ 	X␈ε"if␈α∂and␈α∞only␈α∞if
␈β5␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α	>␈↓ α∀␈ε(N␈↓ α7␈ε"(␈↓ αC␈ε(v␈↓ αV␈ε")␈αand␈↓ β1␈ε(N␈↓ βT␈ε"(␈ε(u␈ε")␈α
>␈↓ ∧9␈ε(v␈↓ ∧K␈ε";␈ε(␈αu␈ε6␈α
→␈↓ ¬-␈ε(v␈↓ ¬J␈ε"if␈α
and␈αonly␈α
if␈ε(␈α
u␈ε6␈α
2␈↓ π]␈ε(N␈↓ λ␈ε"(␈↓ λ␈ε(v␈↓ λ∨␈ε")␈α
and␈↓ λz␈ε(v␈↓ 	⊗␈ε62␈↓ 	8␈ε(N␈↓ 	[␈ε"(␈ε(u␈ε").␈α∪(Here␈α
w␈α␈e
␈β`␈↓ ↓H␈ε"are␈α	assuming␈α
that␈α
the␈α	parameter␈ε(␈α
∂␈ε",␈α
which␈α
measures␈α	the␈α
degree␈α
of␈α	appro␈α␈ximation,
␈β␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αconstan␈α␈t;␈αa␈αm␈α↓ore␈αcomplete␈αn␈α↓otation␈αw␈α␈ould␈αindicate␈αthe␈αdependence␈αof␈↓ 
]␈ε(N␈↓ ␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α␈)
␈β6␈↓ ↓H␈ε"upon␈ε(␈α∂␈ε"␈α␈.)
␈βb␈↓ α␈ε"Here␈αare␈αsome␈αsimple␈αconsequences␈αof␈αthe␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αde|nitions:
␈β
I␈↓ βS␈ε"if␈ε(␈↓ ∧1u␈ε6␈α	≡␈↓ ∧⎇␈ε(v␈↓ ¬4␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ε#then␈↓ π1␈ε(v␈↓ πN␈ε6∨␈ε(␈α
u␈ε"␈α$(␈ε(∂␈ε"␈α␈);␈↓ 
p␈ε"(25)
␈β∞β␈↓ βS␈ε"if␈ε(␈↓ ∧1u␈ε6␈α	→␈↓ ∧⎇␈ε(v␈↓ ¬4␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ε#then␈ε(␈↓ π1u␈ε6␈α
_␈↓ π}␈ε(v␈↓ λ5␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈);␈↓ 
p␈ε"(26)
␈β∞=␈↓ ¬A␈ε(u␈ε6␈α
→␈ε(␈α
u␈ε"␈α#(␈ε(∂␈ε");␈↓ 
p␈ε"(27)
␈β∞v␈↓ βx␈ε"if␈ε(␈↓ ∧Vu␈ε6␈α
≡␈↓ ¬#␈ε(v␈↓ ¬Z␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈)␈↓ εHthen␈ε(␈↓ πVu␈ε"␈α
<␈↓ λ#␈ε(v␈↓ λ6␈ε";␈↓ 
p␈ε"(28)
␈β∂0␈↓ αE␈ε"if␈ε(␈↓ β#u␈ε6␈α
≡␈↓ βp␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"(␈↓ ∧3␈ε(∂␈↓ ∧R␈ε")␈α$and␈↓ ¬`␈ε(∂␈↓ ε
␈ε6∃␈↓ ε8␈ε(∂␈↓ π ␈ε"then␈ε(␈↓ λ.u␈ε6␈α	≡␈↓ λz␈ε(v␈↓ 	1␈ε"(␈↓ 	=␈ε(∂␈↓ 	]␈ε");␈↓ 
p␈ε"(29)
␈β∂<␈↓ ∧B␈ε%1␈↓ ¬o␈ε%1␈↓ εG␈ε%2␈↓ 	L␈ε%2
␈β∂i␈↓ αE␈ε"if␈ε(␈↓ β#u␈ε6␈α
_␈↓ βp␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"(␈↓ ∧3␈ε(∂␈↓ ∧R␈ε")␈α$and␈↓ ¬`␈ε(∂␈↓ ε
␈ε6∀␈↓ ε8␈ε(∂␈↓ π ␈ε"then␈ε(␈↓ λ.u␈ε6␈α	_␈↓ λz␈ε(v␈↓ 	1␈ε"(␈↓ 	=␈ε(∂␈↓ 	]␈ε");␈↓ 
p␈ε"(30)
␈β∂v␈↓ ∧B␈ε%1␈↓ ¬o␈ε%1␈↓ εG␈ε%2␈↓ 	L␈ε%2
␈β⊂#␈↓ αE␈ε"if␈ε(␈↓ β#u␈ε6␈α
→␈↓ βp␈ε(v␈↓ ∧'␈ε"(␈↓ ∧3␈ε(∂␈↓ ∧R␈ε")␈α$and␈↓ ¬`␈ε(∂␈↓ ε
␈ε6∀␈↓ ε8␈ε(∂␈↓ π ␈ε"then␈ε(␈↓ λ.u␈ε6␈α	→␈↓ λz␈ε(v␈↓ 	1␈ε"(␈↓ 	=␈ε(∂␈↓ 	]␈ε");␈↓ 
p␈ε"(31)
␈β⊂/␈↓ ∧B␈ε%1␈↓ ¬o␈ε%1␈↓ εG␈ε%2␈↓ 	L␈ε%2
␈β⊂]␈↓ ↓r␈ε"if␈ε(␈↓ αPu␈ε6␈α
≡␈↓ β≥␈ε(v␈↓ βT␈ε"(␈↓ β`␈ε(∂␈↓ ∧␈ε")␈α$and␈↓ ¬∞␈ε(v␈↓ ¬*␈ε6≡␈↓ ¬X␈ε(w␈↓ ε↔␈ε"(␈↓ ε#␈ε(∂␈↓ εC␈ε")␈↓ π↔then␈ε(␈↓ λ%u␈ε6␈α
≡␈↓ λr␈ε(w␈↓ 	1␈ε"(␈↓ 	=␈ε(∂␈↓ 	d␈ε"+␈↓ 
⊂␈ε(∂␈↓ 
0␈ε");␈↓ 
p␈ε"(32)
␈β⊂i␈↓ βo␈ε%1␈↓ ε2␈ε%2␈↓ 	K␈ε%1␈↓ 
∨␈ε%2
␈β⊃⊗␈↓ ↓r␈ε"if␈ε(␈↓ αPu␈ε6␈α
→␈↓ β≥␈ε(v␈↓ βT␈ε"(␈↓ β`␈ε(∂␈↓ ∧␈ε")␈α$and␈↓ ¬∞␈ε(v␈↓ ¬*␈ε6→␈↓ ¬X␈ε(w␈↓ ε↔␈ε"(␈↓ ε#␈ε(∂␈↓ εC␈ε")␈↓ π↔then␈ε(␈↓ λ%u␈ε6␈α
_␈↓ λr␈ε(w␈↓ 	1␈ε"(␈↓ 	=␈ε(∂␈↓ 	d␈ε"+␈↓ 
⊂␈ε(∂␈↓ 
0␈ε").␈↓ 
p␈ε"(33)
␈β⊃#␈↓ βo␈ε%1␈↓ ε2␈ε%2␈↓ 	K␈ε%1␈↓ 
∨␈ε%2
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"219
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"Moreo␈α␈v␈α␈er,␈αw␈α␈e␈αcan␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αwith␈α↓out␈αdi}cult␈α␈y␈αthat
␈βα⎇␈↓ α≡␈ε6j␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ αp␈ε(v␈↓ ββ␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
∂␈ε6j␈ε(u␈ε6j␈ε"␈α$and␈ε6␈α0j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬↑␈ε(v␈↓ ¬p␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
∂␈ε6j␈↓ εK␈ε(v␈↓ ε↑␈ε6j␈ε"␈↓ π0implies␈↓ λf␈ε(u␈ε6␈α
→␈↓ 	3␈ε(v␈↓ 	j␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈);␈↓ 
p␈ε"(34)
␈ββ7␈↓ α≡␈ε6j␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ αp␈ε(v␈↓ ββ␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
∂␈ε6j␈ε(u␈ε6j␈ε"␈α1or␈ε6␈α=j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬↑␈ε(v␈↓ ¬p␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
∂␈ε6j␈↓ εK␈ε(v␈↓ ε↑␈ε6j␈ε"␈↓ π0implies␈↓ λf␈ε(u␈ε6␈α
_␈↓ 	3␈ε(v␈↓ 	j␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈);␈↓ 
p␈ε"(35)
␈β∧∃␈↓ ↓H␈ε"and␈αcon␈α␈v␈α␈ersely,␈αfor␈ε/␈αn␈α↓ormalized␈ε"␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 	
␈ε(v␈↓ 	≥␈ε",␈αwhen␈ε(␈α∂␈ε"␈α
<␈α
1,
␈β∧o␈↓ α∀␈ε(u␈ε6␈α
→␈↓ αa␈ε(v␈↓ β_␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧πimplies␈↓ ¬=␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ε⊂␈ε(v␈↓ ε"␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
b␈α↓∂␈ε6␈α␈j␈ε(u␈ε6j␈ε"␈α$and␈ε6␈α$j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	∪␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
b∂␈ε6j␈↓ 	⎇␈ε(v␈↓ 
⊂␈ε6j␈↓ 
~␈ε";␈↓ 
p␈ε"(36)
␈β¬(␈↓ α∀␈ε(u␈ε6␈α
_␈↓ αa␈ε(v␈↓ β_␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈↓ ∧πimplies␈↓ ¬=␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ ε⊂␈ε(v␈↓ ε"␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
b␈α↓∂␈ε6␈α␈j␈ε(u␈ε6j␈ε"␈α1or␈ε6␈α1j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ 	␈ε(v␈↓ 	∪␈ε6j␈α
∀␈ε(␈α
b∂␈ε6j␈↓ 	⎇␈ε(v␈↓ 
⊂␈ε6j␈↓ 
~␈ε".␈↓ 
p␈ε"(37)
␈βε∧␈↓ β5␈ε%1␈ε9␈␈ε+p
␈βε
␈↓ α␈ε"Let␈↓ αN␈ε(∂␈↓ αx␈ε"=␈↓ β&␈ε(b␈↓ β␈␈ε"be␈αone␈αulp.␈α⊂The␈αderiv␈α}ation␈αof␈α(17)␈αestablishes␈αthe␈αinequalit␈α␈y
␈βε⊗␈↓ α]␈ε%0␈↓ ¬f␈ε↓␈␈↓ πH␈ε↓↓
␈βε0␈↓ ∧r␈ε%1
␈βε5␈↓ ↓H␈ε6j␈ε(x␈ε6␈αλ␈␈↓ α~␈ε"round␈↓ αv␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈ε"␈α
=␈ε6␈α
j␈ε(~␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ ¬¬␈ε(∂␈↓ ¬*␈ε"min␈↓ ¬t␈ε6j␈ε(x␈ε6j␈ε",␈ε6␈αεj␈↓ ε6␈ε"round␈↓ π∩␈ε"(␈ε(x␈ε")␈ε6j␈↓ πV␈ε",␈αhence
␈βεA␈↓ ¬∀␈ε%0
␈βεF␈↓ ∧r␈ε%2
␈βεI␈↓ ∧r␈∧εI∧rα⊂
␈βπ∂␈↓ π~␈ε%1
␈βπ∀␈↓ ¬∩␈ε(x␈ε6␈α
→␈↓ ¬↑␈ε"round␈↓ ε:␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α$(␈↓ π-␈ε(∂␈↓ πL␈ε");␈↓ 
p␈ε"(38)
␈βπ ␈↓ π<␈ε%0
␈βπ$␈↓ π~␈ε%2
␈βπ(␈↓ π~␈∧π(π~α⊂
␈βπn␈↓ ¬O␈ε%1
␈βπr␈↓ ↓H␈ε"it␈α
follo␈α␈ws␈αthat␈ε(␈α
u␈ε6␈α	λ␈↓ β⎇␈ε(v␈↓ ∧≠␈ε6→␈ε(␈αu␈ε"␈αλ+␈↓ ¬∃␈ε(v␈↓ ¬?␈ε"(␈↓ ¬b␈ε(∂␈↓ ε↓␈ε"),␈α
etc.␈α∪The␈α
appro␈α␈ximate␈α
associativ␈α␈e␈α
la␈α␈w␈αfor
␈βπ␈␈↓ ¬q␈ε%0
␈βλβ␈↓ ¬O␈ε%2
␈βλε␈↓ ¬O␈∧λε¬Oα⊂
␈βλ≡␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ultiplication␈αderiv␈α␈ed␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αcan␈αbe␈αrecast␈αas␈αfollo␈α␈ws:␈αW␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βλs␈↓ π9␈ε"2␈↓ πK␈ε(∂
␈βλ␈␈↓ πY␈ε%0
␈β	␈↓ αv␈ε6j␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απ␈
␈↓ βT␈ε(v␈↓ βg␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈↓ ∧'␈ε(w␈↓ ∧J␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ ¬K␈ε(v␈↓ ¬f␈ε6␈
␈↓ ε∩␈ε(w␈↓ ε-␈ε")␈ε6j␈↓ εM␈ε"<␈↓ λ(␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ 	π␈ε(v␈↓ 	"␈ε6␈
␈↓ 	N␈ε(w␈↓ 	i␈ε")␈ε6j
␈β	∨␈↓ ε␈␈∧	∨ε␈α↓&
␈β	 ␈↓ πU␈ε%1
␈β	!␈↓ λ∪␈ε%2
␈β	$␈↓ ε␈␈ε"(1␈ε6␈αλ␈␈↓ πh␈ε(∂␈↓ λπ␈ε")
␈β	1␈↓ πv␈ε%0
␈β	5␈↓ πU␈ε%2
␈β	9␈↓ πU␈∧	9πUα⊂
␈β
␈↓ ↓H␈ε"by␈α∂(19),␈α⊂and␈α⊂the␈α∂same␈α∂inequalit␈α␈y␈α⊂is␈α∂v␈α}alid␈α∂with␈α⊂(␈ε(u␈ε6␈α
␈
␈↓ λ⊗␈ε(v␈↓ λ)␈ε")␈ε6␈α
␈
␈↓ λm␈ε(w␈↓ 	_␈ε"and␈ε(␈α∂u␈ε6␈α
␈
␈ε"␈α
(␈↓ 
:␈ε(v␈↓ 
W␈ε6␈
␈↓ ε␈ε(w␈↓  ␈ε")
␈β
,␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈terchanged.␈α⊂Hence␈αby␈α(34),
␈β
␈↓ ∧6␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ ¬␈ε(v␈↓ ¬≡␈ε")␈ε6␈αλ␈
␈↓ ¬↑␈ε(w␈↓ εβ␈ε6→␈ε(␈α
u␈ε6␈απ␈
␈ε"␈αλ(␈↓ π¬␈ε(v␈↓ π ␈ε6␈
␈↓ πL␈ε(w␈↓ πg␈ε")␈α$(␈ε(∂␈ε")␈↓ 
p␈ε"(39)
␈βc␈↓ ¬
␈ε%2
␈βd␈↓ ∧K␈ε%1
␈βi␈↓ ↓H␈ε"whenev␈α␈er␈ε(␈α
∂␈ε6␈α∃␈ε"␈α2␈↓ βC␈ε(∂␈↓ βb␈ε"/(1␈ε6␈α	␈␈↓ ∧←␈ε(∂␈↓ ∧}␈ε")␈↓ ¬≠␈ε".␈α∪F␈α⎇or␈α
example,␈α
if␈ε(␈α
b␈ε"␈α=␈α10␈α
and␈ε(␈α
p␈ε"␈α=␈α8␈α
w␈α␈e␈αma␈α␈y␈α
tak␈α␈e
␈βu␈↓ βQ␈ε%0␈↓ ∧m␈ε%0
␈βz␈↓ ∧K␈ε%2
␈β⎇␈↓ ∧K␈∧⎇∧Kα⊂
␈β∀␈↓ ↓H␈ε(∂␈ε"␈α	=␈α
0.00000021.
␈βB␈↓ α␈ε"The␈α⊃relations␈ε6␈α⊂≡␈ε",␈ε6␈α∩_␈ε",␈ε6␈α∩∨␈ε",␈α∩and␈ε6␈α⊃→␈ε"␈α⊃are␈α⊂useful␈α⊃within␈α⊃n␈α␈umerical␈α⊂algorithms,
␈βm␈↓ ↓H␈ε"and␈α
it␈α
is␈α
therefore␈α
a␈α
go␈α↓od␈α
idea␈α
to␈α
pro␈α␈vide␈α
routines␈αfor␈α
comparing␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t
␈β
→␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈bers␈αas␈αw␈α␈ell␈αas␈αfor␈αdoing␈αarithmetic␈αon␈αthem.
␈β
Z␈↓ α␈ε"Let␈α
us␈α	n␈α↓o␈α␈w␈α
shi$␈α
our␈α	atten␈α␈tion␈α
back␈α
to␈α	the␈α
question␈α
of␈α	|nding␈ε/␈α
exact␈ε"␈α	relations
␈β∞¬␈↓ ↓H␈ε"that␈αare␈α
satis|ed␈α
by␈α
the␈α⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
operations.␈α∩It␈α
is␈αin␈α␈teresting␈α
to␈α
n␈α↓ote␈αthat
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α∞addition␈α∞and␈α
subtraction␈α∞are␈α∞n␈α↓ot␈α
completely␈α∞in␈α␈tractable␈α∞from␈↓ ε␈ε"an
␈β∞[␈↓ ↓H␈ε"axiomatic␈α
standpoin␈α␈t,␈αsince␈α
they␈αdo␈α
satisfy␈αthe␈α
n␈α↓on␈α␈trivial␈αiden␈α␈tities␈α
stated␈αin␈α
the
␈β∂ε␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈αtheorems.
␈β∂[␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αA.␈ε/␈α→Let␈ε(␈αu␈ε/␈αand␈↓ ∧F␈ε(v␈↓ ∧d␈ε/be␈αn␈α↓ormalized␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers.␈α⊂Then
␈β⊂≠␈↓ β↔␈ε↓␈␈↓ ∧a␈ε↓↓␈↓ ¬#␈ε↓␈␈↓ εY␈ε↓␈␈↓ λ#␈ε↓↓␈↓ λ1␈ε↓↓
␈β⊂9␈↓ β%␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ βz␈ε(v␈↓ ∧
␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈ε(␈αλu␈↓ ∧w␈ε"+␈↓ ¬1␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ εε␈ε(v␈↓ ε→␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ εg␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ π<␈ε(v␈↓ πO␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈ε(␈αλu␈↓ λI␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αλλ␈↓ 	@␈ε(v␈↓ 	S␈ε",␈↓ 
p␈ε"(40)
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε/pro␈α␈vided␈αthat␈αn␈α↓o␈αexponen␈α␈t␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αor␈αunder⎇o␈α␈w␈αoccurs.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"220␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"This␈αrather␈αcum␈α␈bersome-lo␈α↓oking␈αiden␈α␈tit␈α␈y␈αcan␈α
be␈αrewritten␈αin␈αa␈αsimpler␈αmanner:
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"Let
␈βαh␈↓ ∧ε␈ε90␈↓ εy␈ε90
␈βαp␈↓ βr␈ε(u␈↓ ∧~␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬≥␈ε(v␈↓ ¬0␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ ¬p␈ε(v␈↓ ελ␈ε",␈↓ εf␈ε(v␈↓ π
␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈απλ␈↓ λ∂␈ε(v␈↓ λ"␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈ε(␈αλu␈ε"␈αε;
␈ββ∂␈↓ 
p␈ε"(41)
␈ββ)␈↓ β}␈ε900␈↓ εα␈ε90␈↓ εq␈ε900␈↓ λw␈ε90
␈ββ1␈↓ βj␈ε(u␈↓ ∧~␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬≥␈ε(v␈↓ ¬0␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ ¬p␈ε(v␈↓ ε␈ε",␈↓ ε↑␈ε(v␈↓ π
␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈απλ␈↓ λ∂␈ε(v␈↓ λ"␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ λb␈ε(u␈↓ 	␈ε".
␈ββk␈↓ β⊗␈ε90␈↓ ∧
␈ε900␈↓ 	β␈ε90␈↓ 	u␈ε900
␈ββq␈↓ ↓H␈ε"In␈α␈tuitiv␈α␈ely,␈↓ β↓␈ε(u␈↓ β-␈ε"and␈↓ βu␈ε(u␈↓ ∧)␈ε"sh␈α↓ould␈α
be␈α∞appro␈α␈ximations␈α
to␈ε(␈α∞u␈ε"␈α␈,␈α∞and␈↓ λq␈ε(v␈↓ 	≠␈ε"and␈↓ 	b␈ε(v␈↓ 
∀␈ε"sh␈α↓ould␈α
be
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximations␈αto␈↓ βs␈ε(v␈↓ ∧ε␈ε".␈α⊂Theorem␈αA␈αtells␈αus␈αthat
␈β∧j␈↓ ε↓␈ε90␈↓ εQ␈ε900␈↓ π0␈ε900␈↓ λλ␈ε90
␈β∧r␈↓ ∧X␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬!␈ε(v␈↓ ¬>␈ε"=␈↓ ¬l␈ε(u␈↓ ε∩␈ε"+␈↓ ε>␈ε(v␈↓ εm␈ε"=␈↓ π≠␈ε(u␈↓ πI␈ε"+␈↓ πu␈ε(v␈↓ λ∩␈ε".␈↓ 
p␈ε"(42)
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε"This␈αis␈αa␈αstronger␈αstatemen␈α␈t␈αthan␈αthe␈αiden␈α␈tit␈α␈y
␈βε⊗␈↓ ε↓␈ε90␈↓ εQ␈ε900␈↓ π0␈ε900␈↓ λλ␈ε90
␈βε≡␈↓ ∧X␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬!␈ε(v␈↓ ¬>␈ε"=␈↓ ¬l␈ε(u␈↓ ε∩␈ε6λ␈↓ ε>␈ε(v␈↓ εm␈ε"=␈↓ π≠␈ε(u␈↓ πI␈ε6λ␈↓ πu␈ε(v␈↓ λ∩␈ε",␈↓ 
p␈ε"(43)
␈βεt␈↓ ↓H␈ε"which␈αfollo␈α␈ws␈αby␈αrounding␈α(42).
␈βπ.␈↓ π3␈ε+e
␈βπ4␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α→Let␈αus␈αsa␈α␈y␈αthat␈ε(␈αt␈ε"␈αis␈αa␈↓ ¬→␈ε/tail␈ε"␈αof␈ε(␈αx␈ε"␈αm␈α↓odulo␈↓ π$␈ε(b␈↓ πN␈ε"if
␈βλα␈↓ ε4␈ε+e␈↓ λ&␈ε+e
␈βλε␈↓ λ∧␈ε%1
␈βλ
␈↓ ∧5␈ε(t␈ε6␈α
⊃␈ε(␈α
x␈ε"␈α
(modulo␈↓ ε$␈ε(b␈↓ εB␈ε"),␈ε6␈↓ π&j␈ε(t␈ε6␈α↓j␈α
∀␈↓ λ↔␈ε(b␈↓ λ5␈ε";␈↓ 
p␈ε"(44)
␈βλ≠␈↓ λ∧␈ε%2
␈βλ≡␈↓ λ∧␈∧λ≡λ∧α⊂
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"th␈α␈us,␈ε(␈α
x␈ε6␈α	␈␈↓ αl␈ε"round␈↓ βH␈ε"(␈ε(x␈ε")␈α
is␈α
alw␈α␈a␈α␈ys␈α
a␈α
tail␈α∞of␈ε(␈α
x␈ε".␈α∪The␈α∞pro␈α↓of␈α
of␈α
Theorem␈α
A␈α
rests␈α
largely
␈β	␈↓ ↓H␈ε"on␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αsimple␈αfact␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αin␈αexercise␈α11:
␈β	L␈↓ ↓H␈ε2Lemma␈αT.␈ε/␈α→If␈ε(␈αt␈ε/␈αis␈αa␈αtail␈αof␈αthe␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈αx␈ε/,␈αthen␈ε(␈αx␈ε6␈αλ␈	␈ε(␈απt␈ε"␈α
=␈ε(␈α
x␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλt␈ε/.
␈β	U␈↓ ~␈∧	U~≠∂
␈β

␈↓ α␈ε"Let␈↓ αM␈ε(w␈↓ αr␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈απλ␈↓ βf␈ε(v␈↓ βy␈ε".␈α⊂Theorem␈αA␈αh␈α↓olds␈αtrivially␈αwhen␈↓ λ∩␈ε(w␈↓ λ7␈ε"=␈α
0.␈α⊂By␈αm␈α␈ultiplying␈αall
␈β
8␈↓ ↓H␈ε"v␈α}ariables␈α
by␈α
a␈α
suitable␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α
of␈ε(␈α
b␈ε",␈αw␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α
assume␈α
with␈α↓out␈α
loss␈α
of␈α
generalit␈α␈y␈α
that
␈β
c␈↓ ↓H␈ε(e␈↓ ↓y␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε".␈α∂Then␈ε(␈αu␈ε"␈αε+␈↓ βt␈ε(v␈↓ ∧⊃␈ε"=␈↓ ∧?␈ε(w␈↓ ∧←␈ε"+␈↓ ¬	␈ε(r␈↓ ¬~␈ε",␈αwhere␈↓ ε⊗␈ε(r␈↓ ε1␈ε"is␈αa␈αtail␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈α¬+␈↓ λ≥␈ε(v␈↓ λ;␈ε"m␈α↓odulo␈α1.␈α∂F␈α⎇urtherm␈α↓ore
␈β
o␈↓ ↓W␈ε+w
␈βλ␈↓ ↓\␈ε90
␈β∞␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓u␈ε"=␈↓ α(␈ε"round␈↓ β∧␈ε"(␈↓ β⊂␈ε(w␈↓ β4␈ε6␈␈↓ βb␈ε(v␈↓ βu␈ε")␈α∂=␈↓ ∧C␈ε"round␈↓ ¬∨␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α	␈␈↓ ¬w␈ε(r␈↓ ελ␈ε")␈α∞=␈ε(␈α∂u␈ε6␈α
␈␈↓ π"␈ε(r␈↓ π<␈ε6␈␈ε(␈α
t␈ε",␈α⊂where␈ε(␈α∂t␈ε"␈α∂is␈α∂a␈α∂tail␈α∂of␈ε(␈α∞u␈ε6␈α
␈␈↓ ≤␈ε(r
␈β3␈↓ αX␈ε+e
␈β9␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓odulo␈↓ αI␈ε(b␈↓ αs␈ε"and␈ε(␈αe␈ε"␈α
=␈↓ ∧␈ε(e␈↓ ∧4␈ε6␈␈ε(␈αλp␈ε".
␈βE␈↓ ∧!␈ε;0
␈βF␈↓ ∧∂␈ε+u
␈β↑␈↓ πE␈ε+e
␈βe␈↓ α␈ε"If␈ε(␈α∞e␈ε6␈α∞∀␈ε"␈α
0,␈α∂then␈ε(␈α∞t␈ε6␈α
⊃␈ε(␈α∞u␈ε6␈α	␈␈↓ ¬⊗␈ε(r␈↓ ¬4␈ε6⊃␈α
␈␈↓ ε	␈ε(v␈↓ ε*␈ε"(modulo␈↓ π6␈ε(b␈↓ πT␈ε"),␈α∞hence␈ε(␈α∞t␈ε"␈α∞is␈α∞a␈α∞tail␈α∂of␈ε6␈α∞␈␈↓ 
R␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β
␈↓ ↓[␈ε900␈↓ βv␈ε90
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓x␈ε"=␈↓ α(␈ε"round␈↓ β∧␈ε"(␈↓ β⊂␈ε(w␈↓ β4␈ε6␈␈↓ βa␈ε(u␈↓ β␈␈ε")␈α=␈↓ ∧G␈ε"round␈↓ ¬#␈ε"(␈↓ ¬/␈ε(v␈↓ ¬K␈ε"+␈ε(␈α	t␈ε")␈α=␈↓ εM␈ε(v␈↓ εi␈ε"+␈ε(␈α	t␈ε";␈α∞this␈α
pro␈α␈v␈α␈es␈α
(40).␈α∀If␈ε(␈α
e␈ε"␈α
>␈α0,␈α
then
␈β5␈↓ α␈␈ε+p␈↓ λ_␈ε+p
␈β6␈↓ βH␈ε%1␈↓ ¬s␈ε%1
␈β;␈↓ ↓H␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈␈↓ α≠␈ε(r␈↓ α,␈ε6j␈α
∃␈↓ αo␈ε(b␈↓ β_␈ε6␈␈↓ β[␈ε";␈α
and␈α
since␈ε6␈αj␈↓ ¬≠␈ε(r␈↓ ¬,␈ε6j␈α
∀␈↓ εε␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6j␈α∃␈↓ λ	␈ε(b␈↓ λ1␈ε6␈␈ε"␈αλ1.␈α∩It␈αfollo␈α␈ws␈α
that␈↓ 
w␈ε(r␈↓ ∀␈ε"is
␈βL␈↓ βH␈ε%2␈↓ ¬s␈ε%2
␈βO␈↓ βH␈∧OβHα⊂␈↓ ¬s␈∧O¬sα⊂
␈β`␈↓ ∧T␈ε90␈↓ ε[␈ε900
␈βf␈↓ ↓H␈ε"a␈αtail␈αof␈↓ αO␈ε(v␈↓ αn␈ε"m␈α↓odulo␈α1.␈α⊂If␈↓ ∧?␈ε(u␈↓ ∧g␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε",␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ εH␈ε(v␈↓ εv␈ε"=␈↓ π$␈ε"round␈↓ λ␈ε"(␈↓ λ␈ε(w␈↓ λ/␈ε6␈␈ε(␈αλu␈ε"␈α␈)␈α
=␈↓ 	3␈ε"round␈↓ 
∂␈ε"(␈↓ 
≠␈ε(v␈↓ 
6␈ε6␈␈↓ 
b␈ε(r␈↓ 
r␈ε")␈α
=
␈β
␈↓ 
G␈ε+p
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓e␈ε6␈␈↓ α∪␈ε(r␈↓ α$␈ε".␈α≠Otherwise␈α⊂the␈α∂relation␈↓ ¬@␈ε"round␈↓ ε≤␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α
␈␈↓ εv␈ε(r␈↓ πε␈ε")␈ε6␈α⊂≤␈ε(␈α⊃u␈ε"␈α∂implies␈α⊂that␈ε6␈α∂j␈ε(u␈ε6j␈ε"␈α⊂=␈↓ 
7␈ε(b␈↓ 
b␈ε6␈␈ε"␈α
1,
␈β
6␈↓ β␈ε90␈↓ βf␈ε+p␈↓ ¬4␈ε900␈↓ πZ␈ε90
␈β
8␈↓ α4␈ε%1
␈β
=␈↓ ↓H␈ε6j␈↓ ↓R␈ε(r␈↓ ↓b␈ε6j␈ε"␈α⊂=␈↓ αG␈ε",␈ε6␈α⊂j␈↓ αk␈ε(u␈↓ β
␈ε6j␈ε"␈α∂=␈↓ βW␈ε(b␈↓ βw␈ε";␈α⊃w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬!␈ε(v␈↓ ¬V␈ε"=␈↓ ε	␈ε"round␈↓ εe␈ε"(␈↓ εq␈ε(w␈↓ π↔␈ε6␈␈↓ πE␈ε(u␈↓ πc␈ε")␈α⊂=␈↓ λ3␈ε"round␈↓ 	∂␈ε"(␈↓ 	≠␈ε(v␈↓ 	8␈ε"+␈↓ 	f␈ε(r␈↓ 	w␈ε")␈α⊂=␈↓ 
F␈ε(v␈↓ 
d␈ε"+␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε",
␈β
M␈↓ α4␈ε%2
␈β
Q␈↓ α4␈∧
Qα4α⊂
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"because␈↓ αL␈ε(r␈↓ αh␈ε"is␈αalso␈αa␈αtail␈αof␈ε6␈α␈␈↓ ¬␈ε(v␈↓ ¬∨␈ε"in␈αthis␈αcase.
␈β
q␈↓ π↓␈∧
qπ↓≠∂
␈β∞(␈↓ α␈ε"Theorem␈α
A␈α
exhibits␈α
a␈α
regularit␈α␈y␈α
propert␈α␈y␈α
of␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
addition,␈α
but␈α
it
␈β∞T␈↓ ↓H␈ε"doesn't␈α∂seem␈α∂to␈α∂be␈α∂an␈α⊂especially␈α∂useful␈α∂result.␈α~The␈α∂follo␈α␈wing␈α∂iden␈α␈tit␈α␈y␈α∂is␈α∂m␈α↓ore
␈β∞␈␈↓ ↓H␈ε"signi|can␈α␈t:
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αB.␈ε/␈α→Under␈αthe␈αh␈α␈ypotheses␈αof␈αTheorem␈αA␈αand␈ε"␈α(41)␈ε/,
␈β∂w␈↓ ε)␈ε↓␈␈↓ λn␈ε↓↓
␈β⊂
␈↓ π!␈ε90␈↓ λP␈ε900
␈β⊂∃␈↓ βn␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ∧7␈ε(v␈↓ ∧T␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬W␈ε(v␈↓ ¬i␈ε")␈αλ+␈↓ ε7␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈↓ π␈ε(u␈↓ π+␈ε")␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ(␈↓ πw␈ε(v␈↓ λ⊃␈ε6␈	␈↓ λ=␈ε(v␈↓ λb␈ε")␈↓ λ|␈ε".␈↓ 
p␈ε"(45)
␈β⊂e␈↓ ε:␈ε90␈↓ πX␈ε90␈↓ λP␈ε900␈↓ 	s␈ε900
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α_In␈αfact,␈αw␈α␈e␈αcan␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈ε(␈αu␈ε6␈απ␈	␈↓ ε%␈ε(u␈↓ εM␈ε"=␈ε(␈α
u␈ε6␈αλ␈␈↓ πC␈ε(u␈↓ πb␈ε",␈↓ πw␈ε(v␈↓ λ∩␈ε6␈	␈↓ λ=␈ε(v␈↓ λl␈ε"=␈↓ 	~␈ε(v␈↓ 	4␈ε6␈␈↓ 	`␈ε(v␈↓ 
∧␈ε",␈αand␈α(␈ε(u␈ε6␈απ␈
␈β⊃⊂␈↓ ↓\␈ε90␈↓ αs␈ε900␈↓ ∧&␈ε90␈↓ ¬<␈ε900
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε(u␈↓ ↓f␈ε")␈ε6␈ααλ␈ε"␈αα(␈↓ α&␈ε(v␈↓ α:␈ε6␈␈↓ α`␈ε(v␈↓ β∧␈ε")␈α
=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αα␈␈↓ ∧⊃␈ε(u␈↓ ∧/␈ε")␈αα+␈αα(␈↓ ∧o␈ε(v␈↓ ¬β␈ε6␈␈↓ ¬)␈ε(v␈↓ ¬N␈ε"),␈α	hence␈α	(45)␈α	will␈α	follo␈α␈w␈α	from␈α	Theorem␈αλA␈↓ 
;␈ε".␈α∂Using
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"221
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞n␈α↓otation␈α∞of␈α∂the␈α∞preceding␈α∞pro␈α↓of,␈α∂these␈α∞relations␈α∂are␈α∞respectiv␈α␈ely␈α∞equiv␈α}alen␈α␈t
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"to
␈βα{␈↓ αl␈ε"round␈↓ βH␈ε"(␈ε(t␈ε"␈αλ+␈↓ ∧∃␈ε(r␈↓ ∧%␈ε")␈α
=␈ε(␈α
t␈ε"␈α	+␈↓ ¬+␈ε(r␈↓ ¬;␈ε",␈↓ ε∪␈ε"round␈↓ εo␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α
=␈ε(␈α
t␈ε"␈α↓,␈↓ λ2␈ε"round␈↓ 	∞␈ε"(␈↓ 	~␈ε(r␈↓ 	*␈ε")␈α
=␈↓ 	n␈ε(r␈↓ 	␈␈ε".␈↓ 
p␈ε"(46)
␈ββ?␈↓ ↓H␈ε"Exercise␈α12␈αestablishes␈αthe␈αtheorem␈αin␈αthe␈αspecial␈αcase␈ε6␈αj␈↓ λ,␈ε(e␈↓ λU␈ε6␈␈↓ 	␈ε(e␈↓ 	!␈ε6j␈α
∃␈ε(␈α
p␈ε".␈α∂Otherwise
␈ββL␈↓ λ<␈ε+u␈↓ 	∂␈ε+v
␈ββk␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ α∩␈ε(v␈↓ α2␈ε"has␈α
at␈α
m␈α↓ost␈α
2␈ε(p␈ε"␈α
signi|can␈α␈t␈α
digits␈α
and␈α
it␈α
is␈α
easy␈α
to␈α
see␈α
that␈↓ 	R␈ε"round␈↓ 
.␈ε"(␈↓ 
:␈ε(r␈↓ 
K␈ε")␈α=␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε".
␈β∧⊃␈↓ ∂␈ε%1
␈β∧⊗␈↓ ↓H␈ε"If␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈ε(␈α∂e␈ε"␈α∂>␈α∞0,␈α⊂the␈α∂pro␈α↓of␈α∞of␈α∂Theorem␈α∂A␈α∂sh␈α↓o␈α␈ws␈α∞that␈ε(␈α∂t␈ε"␈α∂=␈ε6␈α∞␈␈↓ λy␈ε(r␈↓ 	→␈ε"or␈ε(␈α∞t␈ε"␈α∂=␈↓ 
⊗␈ε(r␈↓ 
5␈ε"=␈ε6␈α∞ε␈↓ "␈ε".
␈β∧'␈↓ ∂␈ε%2
␈β∧*␈↓ ∂␈∧∧*∂α⊂
␈β∧;␈↓ λ
␈ε+e
␈β∧A␈↓ ↓H␈ε"If␈ε(␈α
e␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
0␈α∞w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α∞t␈ε"␈α	+␈↓ ∧)␈ε(r␈↓ ∧F␈ε6⊃␈ε(␈α
u␈ε"␈α
and␈ε(␈α∞t␈ε6␈α
⊃␈α
␈␈↓ εP␈ε(v␈↓ εo␈ε"(modulo␈↓ π{␈ε(b␈↓ λ→␈ε");␈α∂this␈α
is␈α∞en␈α↓ough␈α∞to␈α
pro␈α␈v␈α␈e
␈β∧l␈↓ ↓H␈ε"that␈ε(␈α∞t␈ε"␈α	+␈↓ α[␈ε(r␈↓ αz␈ε"and␈↓ βB␈ε(r␈↓ β`␈ε"round␈α∞to␈α∞themselv␈α␈es,␈α∞pro␈α␈vided␈α∞that␈↓ λ≡␈ε(e␈↓ λN␈ε6∃␈ε(␈α
e␈ε"␈α∞and␈↓ 	d␈ε(e␈↓ 
∩␈ε6∃␈ε(␈α
e␈ε"␈α↓.␈α∃But
␈β∧y␈↓ λ-␈ε+u␈↓ 	t␈ε+v
␈β¬↔␈↓ ↓H␈ε"either␈↓ α0␈ε(e␈↓ αa␈ε"<␈α∞0␈α∞or␈↓ βb␈ε(e␈↓ ∧⊃␈ε"<␈α∞0␈α∞w␈α␈ould␈α∂con␈α␈tradict␈α∞our␈α∂h␈α␈ypothesis␈α∞that␈ε6␈α∂j␈↓ 	L␈ε(e␈↓ 	x␈ε6␈␈↓ 
%␈ε(e␈↓ 
F␈ε6j␈ε"␈α∞<␈ε(␈α∞p␈ε",
␈β¬$␈↓ α?␈ε+u␈↓ βq␈ε+v␈↓ 	[␈ε+u␈↓ 
5␈ε+v
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε"since␈↓ α ␈ε(e␈↓ αQ␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε".
␈β¬L␈↓ βC␈∧¬LβC≠∂
␈β¬O␈↓ α/␈ε+w
␈βε∧␈↓ α␈ε"Theorem␈α∞B␈α
giv␈α␈es␈ε/␈α∞an␈α
explicit␈α∞form␈α␈ula␈α∞for␈α
the␈α∞di{erence␈ε"␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈ε(␈α∞u␈ε"␈α	+␈↓ 
R␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈βε/␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α∧λ␈↓ α
␈ε(v␈↓ α≥␈ε",␈αin␈α
terms␈αof␈α
quan␈α␈tities␈α
that␈αcan␈α
be␈αcalculated␈α
directly␈αusing␈α
|v␈α␈e␈α
operations
␈βε[␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂arithmetic.␈α≠If␈α∂the␈α⊂radix␈ε(␈α∂b␈ε"␈α⊂is␈α⊂2␈α⊂or␈α∂3,␈α⊃w␈α␈e␈α⊂can␈α∂impro␈α␈v␈α␈e␈α⊂on␈α∂this
␈βπε␈↓ ↓H␈ε"result,␈α∞obtaining␈α∂the␈α∞exact␈α∞v␈α}alue␈α∞of␈α∞the␈α∂correction␈α∞term␈α∞with␈α∞only␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞⎇oating
␈βπ1␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αoperations␈αand␈αone␈α(|xed␈αpoin␈α␈t)␈αcomparison␈αof␈αabsolute␈αv␈α}alues:
␈βπr␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αC.␈ε/␈α→If␈ε(␈αb␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
3␈ε/␈αand␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6j␈α
∃␈α
j␈↓ ¬W␈ε(v␈↓ ¬j␈ε6j␈ε/,␈αthen
␈βλ+␈↓ εC␈ε↓␈␈↓ λ
␈ε↓↓
␈βλI␈↓ ∧λ␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ∧Q␈ε(v␈↓ ∧m␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬p␈ε(v␈↓ εβ␈ε")␈αλ+␈↓ εQ␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ πo␈ε(v␈↓ λ↓␈ε")␈↓ λ#␈ε6λ␈↓ λO␈ε(v␈↓ λb␈ε".␈↓ 
p␈ε"(47)
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α≡F␈α⎇ollo␈α␈wing␈α∂the␈α∂con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈α∂of␈α∂preceding␈α∂pro␈α↓ofs␈α⊂again,␈α∂w␈α␈e␈α∂wish␈α∂to␈α∂sh␈α↓o␈α␈w
␈β	E␈↓ αh␈ε90␈↓ εR␈ε90
␈β	K␈↓ ↓H␈ε"that␈↓ α∀␈ε(v␈↓ α,␈ε6␈	␈↓ αU␈ε(v␈↓ α{␈ε"=␈↓ β)␈ε(r␈↓ β:␈ε".␈α∂It␈αsu}ces␈α
to␈α
sh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ ε?␈ε(v␈↓ εf␈ε"=␈↓ π∀␈ε(w␈↓ π3␈ε6␈␈ε(␈α¬u␈ε",␈αbecause␈α
(46)␈αwill␈α
then␈α
yield
␈β	p␈↓ α!␈ε90␈↓ ∧%␈ε90
␈β	v␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓c␈ε6␈	␈↓ α∂␈ε(v␈↓ α5␈ε"=␈↓ αc␈ε"round␈↓ β?␈ε"(␈↓ βK␈ε(v␈↓ βf␈ε6␈␈↓ ∧∩␈ε(v␈↓ ∧.␈ε")␈α
=␈↓ ∧r␈ε"round␈↓ ¬N␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ε#␈ε(v␈↓ ε>␈ε6␈␈↓ εj␈ε(w␈↓ π¬␈ε")␈α
=␈↓ πI␈ε"round␈↓ λ%␈ε"(␈↓ λ1␈ε(r␈↓ λA␈ε")␈α
=␈↓ 	¬␈ε(r␈↓ 	⊗␈ε".
␈β
"␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α
shall␈αin␈α
fact␈αpro␈α␈v␈α␈e␈α
(47)␈αwhenev␈α␈er␈ε(␈α
b␈ε6␈α∀␈ε"␈α
3␈α
and␈↓ λπ␈ε(e␈↓ λ5␈ε6∃␈↓ λd␈ε(e␈↓ 	¬␈ε".␈α⊃If␈↓ 	E␈ε(e␈↓ 	r␈ε6∃␈ε(␈αp␈ε",␈αthen␈↓ ≤␈ε(r
␈β
.␈↓ λ↔␈ε+u␈↓ λs␈ε+v␈↓ 	T␈ε+u
␈β
G␈↓ ¬,␈ε90
␈β
M␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈αtail␈αof␈↓ αp␈ε(v␈↓ β∞␈ε"m␈α↓odulo␈α1,␈αhence␈↓ ¬→␈ε(v␈↓ ¬?␈ε"=␈↓ ¬m␈ε(w␈↓ ε∂␈ε6␈	␈ε(␈αεu␈ε"␈α
=␈↓ πε␈ε(v␈↓ π∨␈ε6␈	␈↓ πI␈ε(r␈↓ πd␈ε"=␈↓ λ∩␈ε(v␈↓ λ+␈ε6␈␈↓ λU␈ε(r␈↓ λp␈ε"=␈↓ 	≡␈ε(w␈↓ 	?␈ε6␈␈ε(␈αεu␈ε"␈αas␈αdesired.
␈β
r␈↓ 
∞␈ε9␈␈ε%1
␈β
x␈↓ ↓H␈ε"If␈↓ ↓j␈ε(e␈↓ α↔␈ε"<␈ε(␈α
p␈ε",␈αthen␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬~␈ε(e␈↓ ¬G␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε6␈α¬␈␈ε"␈αε1,␈αand␈↓ π!␈ε(w␈↓ πB␈ε6␈␈ε(␈α¬u␈ε"␈αis␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	␈␈ε(b␈↓ 
=␈ε";␈αit␈α
will
␈β∧␈↓ ↓z␈ε+u␈↓ ¬)␈ε+u
␈β≥␈↓ λ∨␈ε+p␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	 ␈ε9␈␈ε%1
␈β#␈↓ ↓H␈ε"therefore␈αround␈αto␈α
itself␈αif␈α
its␈αmagnitude␈αis␈α
less␈αthan␈↓ λ∂␈ε(b␈↓ λe␈ε"+␈↓ 	⊃␈ε(b␈↓ 	N␈ε".␈α∩Since␈ε(␈αb␈ε6␈α∀␈ε"␈α
3,
␈βH␈↓ π␈␈ε+p␈ε9␈␈ε%1␈↓ λy␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	z␈ε+p␈ε9␈α↓␈␈ε%␈α␈1␈↓ 
t␈ε9␈␈ε%1
␈βJ␈↓ π$␈ε%1
␈βN␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
indeed␈ε6␈α
j␈↓ βF␈ε(w␈↓ βe␈ε6␈␈ε(␈α¬u␈ε6j␈α
∀␈α
j␈↓ ∧o␈ε(w␈↓ ¬∞␈ε6␈␈ε(␈α∧u␈ε6␈α∧␈␈↓ ¬x␈ε(v␈↓ ε
␈ε6j␈ε"␈α¬+␈ε6␈α∧j␈↓ εK␈ε(v␈↓ ε↑␈ε6j␈α
∀␈↓ π<␈ε"+␈α∧(␈↓ πp␈ε(b␈↓ λA␈ε6␈␈↓ λj␈ε(b␈↓ 	'␈ε")␈α
<␈↓ 	k␈ε(b␈↓ 
<␈ε"+␈↓ 
e␈ε(b␈↓ "␈ε".
␈β←␈↓ π$␈ε%2
␈βc␈↓ π$␈∧cπ$α⊂
␈βz␈↓ ↓H␈ε"This␈αcompletes␈αthe␈αpro␈α↓of.
␈ββ␈↓ ¬α␈∧β¬α≠∂
␈β;␈↓ α␈ε"The␈α
pro␈α↓ofs␈α
of␈α
Theorems␈α
A␈↓ ¬%␈ε",␈αB␈↓ ¬R␈ε",␈α
and␈α
C␈α
do␈α
n␈α↓ot␈α
rely␈α
on␈α
the␈α
precise␈α
de|nitions␈α
of
␈βf␈↓ ↓H␈ε"round(␈ε(x␈ε")␈αin␈αthe␈αam␈α␈biguous␈αcases␈αwhen␈ε(␈αx␈ε"␈αis␈αexactly␈αmidw␈α␈a␈α␈y␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αconsecutiv␈α␈e
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞n␈α␈um␈α␈bers;␈α⊂an␈α␈y␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∞of␈α∂resolving␈α∞the␈α∞am␈α␈biguit␈α␈y␈α∂will␈α∞su}ce␈α∞for␈α∞the
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alidit␈α␈y␈αof␈αev␈α␈erything␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αso␈αfar.
␈β
h␈↓ α␈ε"No␈↓ αF␈ε"rounding␈αrule␈αcan␈αbe␈αbest␈αfor␈αev␈α␈ery␈αapplication.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αw␈α␈e␈αgener-
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"ally␈α
w␈α␈an␈α␈t␈α	a␈α
special␈α
rule␈α
when␈α
computing␈α
our␈α
income␈α
tax.␈α∂But␈α
for␈α
m␈α↓ost␈α	n␈α␈umerical
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"calculations␈α∪the␈α∪best␈α∪policy␈α∪appears␈α∪to␈α∪be␈α∪the␈α∪rounding␈α∪scheme␈α∪speci|ed␈α∪in
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"Algorithm␈α⊂4.2.1N␈↓ β↑␈ε",␈α∩which␈α⊃insists␈α⊂that␈α⊃the␈α⊃least␈α⊂signi|can␈α␈t␈α⊃digit␈α⊃sh␈α↓ould␈α⊂alw␈α␈a␈α␈ys
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"be␈αmade␈αev␈α␈en␈α(or␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αodd)␈αwhen␈αan␈αam␈α␈biguous␈αv␈α}alue␈αis␈αrounded.␈α⊂This␈αis␈αn␈α↓ot
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"a␈αtrivial␈αtechnicalit␈α␈y,␈α
of␈αin␈α␈terest␈αonly␈α
to␈αnit-pick␈α␈ers;␈αit␈α
is␈αan␈αimportan␈α␈t␈αpractical
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"consideration,␈α⊂since␈α∂the␈α⊂am␈α␈biguous␈α∂case␈α∂arises␈α⊂surprisingly␈α∂o$en␈α⊂and␈α∂a␈α∂biased
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"rounding␈αrule␈α
produces␈αsigni|can␈α␈tly␈αpo␈α↓or␈αresults.␈α⊂F␈α⎇or␈α
example,␈αconsider␈α
decimal
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"arithmetic␈αand␈αassume␈αthat␈αremainders␈αof␈α5␈αare␈αalw␈α␈a␈α␈ys␈αrounded␈αupw␈α␈ards.␈α∂Then
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"if␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∩=␈α∩1.0000000␈α⊃and␈↓ ∧A␈ε(v␈↓ ∧f␈ε"=␈α∩0.55555555␈α⊃w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈ε(␈α⊃u␈ε6␈αλ␈↓ λ9␈ε(v␈↓ λ↑␈ε"=␈α∩1.5555556;␈α∀and␈α⊂if
␈β⊃∩␈↓ πZ␈ε90
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α⊃⎇oating-subtract␈↓ ∧↔␈ε(v␈↓ ∧;␈ε"from␈α⊃this␈α⊃result␈α⊃w␈α␈e␈α⊃get␈↓ πE␈ε(u␈↓ πv␈ε"=␈α∩1.0000001.␈α∨Adding␈α⊃and
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"222␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα≡␈↓ ∧∂␈ε90
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"subtracting␈↓ βε␈ε(v␈↓ β$␈ε"from␈↓ βz␈ε(u␈↓ ∧$␈ε"giv␈α␈es␈α1.0000002,␈αand␈αthe␈αnext␈αtime␈αw␈α␈e␈αwill␈αget␈α1.0000003,
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"etc.;␈αthe␈αresult␈αk␈α␈eeps␈αgro␈α␈wing␈αalth␈α↓ough␈αw␈α␈e␈αare␈αadding␈αand␈αsubtracting␈αthe␈αsame
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"v␈α}alue.
␈ββ'␈↓ α␈ε"This␈α
phen␈α↓omen␈α↓on,␈α
called␈↓ ¬≤␈ε/dri$,␈ε"␈α
will␈α
n␈α↓ot␈α
occur␈α	when␈α
w␈α␈e␈α
use␈α
a␈α
stable␈α	rounding
␈ββR␈↓ ↓H␈ε"rule␈αbased␈αon␈αthe␈αparit␈α␈y␈αof␈αthe␈αleast␈αsigni|can␈α␈t␈αdigit.␈α⊂More␈αprecisely:
␈ββ|␈↓ β≥␈ε↓␈␈↓ ¬D␈ε↓↓
␈β∧≠␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈αD.␈↓ β+␈ε"((␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ∧␈ε(v␈↓ ∧≡␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ ∧←␈ε(v␈↓ ∧q␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ ¬1␈ε(v␈↓ ¬Z␈ε6␈	␈↓ εε␈ε(v␈↓ ε#␈ε"=␈α
(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ π&␈ε(v␈↓ π9␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ πy␈ε(v␈↓ λ␈ε".
␈β∧d␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈α∩example,␈α∃if␈ε(␈α∩u␈ε"␈α∃=␈α∃1.2345679␈α∪and␈↓ ε5␈ε(v␈↓ ε]␈ε"=␈ε6␈α∃␈␈ε"0.23456785,␈α∀w␈α␈e␈α∪|nd␈ε(␈α∪u␈ε6␈αλ␈↓ 
`␈ε(v␈↓ λ␈ε"=
␈β∧p␈↓ 
E␈ε↓␈
␈β¬∂␈↓ ↓H␈ε"1.0000000,␈α
(␈ε(u␈ε6␈α	λ␈↓ βP␈ε(v␈↓ βc␈ε")␈ε6␈α	␈	␈↓ ∧%␈ε(v␈↓ ∧D␈ε"=␈α1.2345678,␈α∞((␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ πλ␈ε(v␈↓ π≠␈ε")␈ε6␈α	␈	␈↓ π]␈ε(v␈↓ πp␈ε")␈ε6␈α	λ␈↓ λ2␈ε(v␈↓ λQ␈ε"=␈α0.99999995,␈↓ 
S␈ε"((␈ε(u␈ε6␈αλλ
␈β¬≤␈↓ βα␈ε↓↓
␈β¬:␈↓ ↓H␈ε(v␈↓ ↓[␈ε")␈ε6␈αλ␈	␈↓ α≠␈ε(v␈↓ α.␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ αo␈ε(v␈↓ β_␈ε6␈	␈↓ βD␈ε(v␈↓ βb␈ε"=␈α1.2345678.␈α∩The␈αpro␈α↓of␈α
for␈α
general␈ε(␈αu␈ε"␈αand␈↓ 	∞␈ε(v␈↓ 	-␈ε"seems␈α
to␈αrequire
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε"a␈α⊂case␈α⊃analysis␈α⊃ev␈α␈en␈α⊃m␈α↓ore␈α⊂detailed␈α⊃than␈α⊃that␈α⊂in␈α⊃the␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e␈α⊃theorems;␈α∪see␈α⊂the
␈βε⊃␈↓ ↓H␈ε"references␈αat␈αthe␈αend␈αof␈αthis␈αsection.
␈βε~␈↓ ε)␈∧ε~ε)≠∂
␈βεY␈↓ α␈ε"Theorem␈α	D␈αλis␈α	v␈α}alid␈αλboth␈α	for␈αλ\␈↓ ¬N␈ε"round␈α	to␈αλev␈α␈en"␈α	and␈αλ\␈↓ λ⊂␈ε"round␈α	to␈αλodd";␈α
h␈α↓o␈α␈w␈αλsh␈α↓ould
␈βπ¬␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α
ch␈α↓o␈α↓ose␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α
these␈αpossibilities?␈α∂When␈αthe␈α
radix␈ε(␈αb␈ε"␈αis␈α
odd,␈αam␈α␈biguous␈α
cases
␈βπ0␈↓ ↓H␈ε"nev␈α␈er␈αarise␈αexcept␈αduring␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αdivision,␈αand␈αthe␈αrounding␈αin␈αsuch␈αcases
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε"is␈α∂comparativ␈α␈ely␈α⊂unimportan␈α␈t.␈α~F␈α⎇or␈ε/␈α∂ev␈α␈en␈ε"␈α⊂radices,␈α⊂there␈α⊂is␈α∂reason␈α⊂to␈α∂prefer␈α∂the
␈βλε␈↓ ↓H␈ε"follo␈α␈wing␈α⊃rule:␈α↔\Round␈α⊃to␈α∩ev␈α␈en␈α⊃when␈ε(␈α∩b␈ε"/2␈α∩is␈α⊃odd,␈α∪round␈α⊃to␈α∩odd␈α⊃when␈ε(␈α∩b␈ε"/2␈α⊃is
␈βλ1␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en."␈α⊗The␈α∂least␈α∞signi|can␈α␈t␈α∞digit␈α∞of␈α∞a␈α∂⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∞fraction␈α∞occurs␈α∞frequen␈α␈tly
␈βλ]␈↓ ↓H␈ε"as␈αa␈αremainder␈αto␈αbe␈α
rounded␈αo{␈αin␈αsubsequen␈α␈t␈αcalculations,␈αand␈αthis␈α
rule␈αa␈α␈v␈α␈oids
␈β	λ␈↓ ↓H␈ε"generating␈α∞the␈α∂digit␈ε(␈α∂b␈ε"/2␈α∂in␈α∂the␈α∂least␈α∂signi|can␈α␈t␈α∂position␈α∞whenev␈α␈er␈α∂possible;␈α⊂its
␈β	3␈↓ ↓H␈ε"e{ect␈αis␈αto␈α
pro␈α␈vide␈αsome␈α
mem␈α↓ory␈αof␈αan␈α
am␈α␈biguous␈αrounding␈α
so␈αthat␈αsubsequen␈α␈t
␈β	↑␈↓ ↓H␈ε"rounding␈αwill␈αtend␈αto␈αbe␈αunam␈α␈biguous.␈α⊂F␈α⎇or␈αexample,␈αif␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ere␈αto␈αround␈αto␈αodd
␈β
	␈↓ ↓H␈ε"in␈α	the␈α
decimal␈α
system,␈α
repeated␈α	rounding␈α
of␈α
the␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈α
2.44445␈α
to␈α	one␈α
less␈α	place
␈β
5␈↓ ↓H␈ε"each␈α∞time␈α∞leads␈α∞to␈α∞the␈α∞sequence␈α∂2.4445,␈α∞2.445,␈α∂2.45,␈α∂2.5,␈α∂3;␈α∂but␈α∞if␈α∞w␈α␈e␈α∞round␈α∞to
␈β
`␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en,␈α∂such␈α∞situations␈α∂do␈α∂n␈α↓ot␈α∞occur.␈α≡[Ro␈α␈y␈α∞A.␈α∂Keir,␈ε/␈α∂Inf.␈α∂Proc.␈α∞Letters␈ε2␈α∂3␈ε"␈α∞(1975),
␈β␈↓ ↓H␈ε"188↑189.]␈α∂On␈α
the␈α	other␈α
hand,␈α	some␈α
people␈α	prefer␈α
rounding␈α	to␈α	ev␈α␈en␈α
in␈α	all␈α
cases,␈α	so
␈β6␈↓ ↓H␈ε"that␈α
the␈α
remainder␈α
will␈α	tend␈α
to␈α
be␈α
0␈α
m␈α↓ore␈α
o$en.␈α⊂Neither␈α	alternativ␈α␈e␈α
conclusiv␈α␈ely
␈βa␈↓ ↓H␈ε"dominates␈α∂the␈α⊂other;␈α∩fortunately␈α⊂the␈α⊂base␈α∂is␈α⊂usually␈ε(␈α⊂b␈ε"␈α⊃=␈α⊂2␈α⊂or␈ε(␈α⊂b␈ε"␈α⊂=␈α⊃10,␈α⊂when
␈β
␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈ery␈α␈one␈αagrees␈αthat␈αround-to-ev␈α␈en␈αis␈αbest.
␈β9␈↓ α␈ε"A␈α
reader␈α
wh␈α↓o␈α
has␈α
check␈α␈ed␈α	some␈α
of␈α
the␈α
details␈α
of␈α
the␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈α
pro␈α↓ofs␈α
will␈α	realize
␈βd␈↓ ↓H␈ε"the␈α
immense␈α∞simpli|cation␈α
that␈α∞has␈α∞been␈α
a{orded␈α∞by␈α
the␈α∞simple␈α
rule␈ε(␈α∞u␈ε6␈α	λ␈↓ 
i␈ε(v␈↓ λ␈ε"=
␈β
∂␈↓ ↓H␈ε"round␈↓ α$␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αε+␈↓ αu␈ε(v␈↓ βλ␈ε").␈α⊂If␈αour␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αaddition␈αroutine␈αw␈α␈ould␈αfail␈αto␈αgiv␈α␈e␈αthis␈αresult
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈en␈α
in␈αa␈α
few␈αrare␈α
cases,␈αthe␈αpro␈α↓ofs␈α
w␈α␈ould␈αbecome␈α
en␈α↓orm␈α↓ously␈αm␈α↓ore␈α
complicated
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"and␈αperhaps␈αthey␈αw␈α␈ould␈αev␈α␈en␈αbreak␈αdo␈α␈wn␈αcompletely.
␈β∞∩␈↓ α␈ε"Theorem␈α∞B␈α∞fails␈α∞if␈↓ ∧>␈ε"truncation␈α∞arithmetic␈α∞is␈α∞used␈α∞in␈α∞place␈α∞of␈α∞rounding,␈α∞i.e.,
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"if␈α⊂w␈α␈e␈α⊂let␈ε(␈α⊃u␈ε6␈α
λ␈↓ β.␈ε(v␈↓ βR␈ε"=␈↓ ∧π␈ε"trunc␈↓ ∧[␈ε"(␈ε(u␈ε"␈α+␈↓ ¬6␈ε(v␈↓ ¬I␈ε")␈α⊂and␈ε(␈α⊂u␈ε6␈α␈	␈↓ ε}␈ε(v␈↓ π"␈ε"=␈↓ πW␈ε"trunc␈↓ λ+␈ε"(␈ε(u␈ε6␈α␈␈↓ 	ε␈ε(v␈↓ 	→␈ε"),␈α⊃where␈α⊂trunc(␈ε(x␈ε")
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"tak␈α␈es␈α⊂all␈α⊂positiv␈α␈e␈α⊃real␈ε(␈α⊂x␈ε"␈α⊃in␈α␈to␈α⊂the␈α⊃largest␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈ε6␈α⊂∀␈ε(␈α∩x␈ε".␈α≥An␈α⊂ex-
␈β∂∀␈↓ ↓H␈ε"ception␈α∞to␈α∂Theorem␈α∞B␈α∂w␈α␈ould␈α∞then␈α∂occur␈α∂for␈α∞cases␈α∂such␈α∞as␈α∂(20,␈αε+.10000001)␈ε6␈α	λ
␈β∂?␈↓ ↓H␈ε"(10,␈ε6␈αε␈␈ε".10000001)␈α∞=␈α∞(20,␈αε+.10000000),␈α∂when␈α∂the␈α∞di{erence␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈ε(␈α∞u␈ε"␈α	+␈↓ 
Q␈ε(v␈↓ 
r␈ε"and
␈β∂j␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈α¬λ␈↓ α␈ε(v␈↓ α*␈ε"cann␈α↓ot␈αbe␈αexpressed␈αexactly␈αas␈αa␈α⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber;␈αand␈αalso␈αfor␈α
cases
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"such␈αas␈α12345678␈ε6␈αλλ␈ε"␈αλ.012345678,␈αwhen␈αit␈αcan␈αbe.
␈β⊂B␈↓ α␈ε"Man␈α␈y␈α
people␈α
feel␈αthat,␈α
since␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αarithmetic␈α
is␈α
inexact␈α
by␈αnature,
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"there␈αλis␈αλn␈α↓o␈αλharm␈α	in␈αλmaking␈αλit␈αλjust␈αλa␈α	little␈αλbit␈αλless␈αλexact␈α	in␈αλcertain␈αλrather␈αλrare␈αλcases,
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"if␈αλit␈α	is␈α	con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α	to␈α	do␈αλso.␈α∂This␈α	policy␈α	sa␈α␈v␈α␈es␈α	a␈α	few␈αλcen␈α␈ts␈α	in␈α	the␈α	design␈α	of␈αλcomputer
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"223
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"hardw␈α␈are,␈α
or␈α	a␈α	small␈α
percen␈α␈tage␈α	of␈α	the␈α
a␈α␈v␈α␈erage␈α	running␈α	time␈α
of␈α	a␈α	subroutine.␈α∂But
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"the␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αdiscussion␈αsh␈α↓o␈α␈ws␈αthat␈αsuch␈αa␈αpolicy␈αis␈αmistak␈α␈en.␈α∂W␈α⎇e␈αcould␈αsa␈α␈v␈α␈e␈αabout
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"|v␈α␈e␈α∞percen␈α␈t␈α∂of␈α∞the␈α∂running␈α∂time␈α∞of␈α∂the␈↓ π∨␈ε"subroutine,␈α⊂Program␈α∞4.2.1A␈↓ 
Y␈ε",␈α∂and
␈βα|␈↓ εE␈ε5FADD
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"about␈α25␈αpercen␈α␈t␈αof␈αits␈αspace,␈αif␈αw␈α␈e␈αto␈α↓ok␈αthe␈αlibert␈α␈y␈αof␈αrounding␈αincorrectly␈αin␈αa
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"few␈αλcases,␈α	but␈αλw␈α␈e␈αλare␈αλm␈α␈uch␈α	better␈αλo{␈αλlea␈α␈ving␈αλit␈αλas␈α	it␈αλis.␈α∞The␈α	reason␈αλis␈αλn␈α↓ot␈αλto␈αλglorify
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"\bit␈αchasing";␈αa␈αm␈α↓ore␈αfundamen␈α␈tal␈αissue␈αis␈αat␈αstak␈α␈e␈αhere:␈ε/␈αNumerical␈αsubroutines
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε/sh␈α↓ould␈α⊂deliv␈α␈er␈α⊂results␈α⊃that␈α⊂satisfy␈α⊂simple,␈α∩useful␈α⊂mathematical␈α⊂la␈α␈ws␈α⊂whenev␈α␈er
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε/possible.␈ε"␈α∩The␈α
crucial␈α
form␈α␈ula␈ε(␈α
u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬n␈ε(v␈↓ ε␈ε"=␈↓ ε<␈ε"round␈↓ π_␈ε"(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ πn␈ε(v␈↓ λ↓␈ε")␈α
is␈α
a␈α
\regularit␈α␈y"␈αpropert␈α␈y
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"that␈α⊂mak␈α␈es␈α⊂a␈α⊂great␈α⊂deal␈α⊂of␈α⊂di{erence␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂whether␈α⊂mathematical␈α⊂analysis
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂computational␈α⊂algorithms␈α⊃is␈α⊂w␈α␈orth␈α⊃doing␈α⊂or␈α⊂w␈α␈orth␈α⊃a␈α␈v␈α␈oiding.␈α≥With␈α↓out␈α⊂an␈α␈y
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"underlying␈α
symmetry␈α
properties,␈α
the␈α∞job␈α
of␈α
pro␈α␈ving␈α
in␈α␈teresting␈α
results␈α
becomes
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"extremely␈αunpleasan␈α␈t.␈ε/␈α⊂The␈αenjo␈α␈ymen␈α␈t␈αof␈αone's␈αto␈α↓ols␈αis␈αan␈αessen␈α␈tial␈αingredien␈α␈t␈αof
␈βε*␈↓ ↓H␈ε/successful␈αw␈α␈ork.
␈βεh␈↓ ↓H␈ε2B.␈↓ ↓s␈ε2Unn␈α↓ormalized␈α
⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α
arithmetic.␈ε"␈α⊃The␈α	policy␈α
of␈↓ λD␈ε"n␈α↓ormalizing␈α
all␈α	⎇oating
␈βπ∪␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
ma␈α␈y␈α
be␈α
construed␈α∞in␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
w␈α␈a␈α␈ys:␈α∞W␈α⎇e␈α∞ma␈α␈y␈α
lo␈α↓ok␈α
on␈α
it␈α
fa␈α␈v␈α␈orably␈α
by
␈βπ?␈↓ ↓H␈ε"sa␈α␈ying␈α∞that␈α
it␈α∞is␈α∞an␈α∞attempt␈α∞to␈α∞get␈α∞the␈α∞maxim␈α␈um␈α∞possible␈α∞accuracy␈α
obtainable
␈βπj␈↓ ↓H␈ε"with␈αλa␈α	giv␈α␈en␈αλdegree␈α	of␈αλprecision,␈α	or␈α	w␈α␈e␈αλma␈α␈y␈α	consider␈αλit␈α	to␈αλbe␈α	poten␈α␈tially␈αλdangerous
␈βλ∃␈↓ ↓H␈ε"since␈α∩it␈α∪tends␈α∪to␈α∩imply␈α∪that␈α∪the␈α∩results␈α∪are␈α∪m␈α↓ore␈α∩accurate␈α∪than␈α∪they␈α∩really
␈βλ@␈↓ ↓H␈ε"are.␈α When␈α⊃w␈α␈e␈α⊃n␈α↓ormalize␈α∩the␈α⊃result␈α∩of␈α⊃(1,␈αε+.31428571)␈ε6␈α␈	␈ε"␈α(1,␈αε+.31415927)␈α⊃to
␈βλk␈↓ ↓H␈ε"(␈ε6␈␈ε"2,␈αε+.12644000),␈α⊃w␈α␈e␈α⊂are␈α⊂suppressing␈α⊃information␈α⊂about␈α⊂the␈α⊂possibly␈α⊂greater
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε"inaccuracy␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂latter␈α⊂quan␈α␈tit␈α␈y.␈α≥Such␈α⊂information␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂be␈α⊂retained␈α⊂if␈α⊂the
␈β	B␈↓ ↓H␈ε"answ␈α␈er␈αw␈α␈ere␈αle$␈αas␈α(1,␈αε+.00012644).
␈β	m␈↓ α␈ε"The␈α⊂input␈α∂data␈α⊂to␈α∂a␈α⊂problem␈α∂is␈α⊂frequen␈α␈tly␈α⊂n␈α↓ot␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂as␈α∂precisely␈α⊂as␈α∂the
␈β
_␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α∩poin␈α␈t␈α∩represen␈α␈tation␈α∪allo␈α␈ws.␈α#F␈α⎇or␈α∩example,␈α∀the␈α∪v␈α}alues␈α∩of␈↓ 	}␈ε"Av␈α␈ogadro's
␈β
C␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈α⊂and␈↓ β→␈ε"Planck's␈α⊃constan␈α␈t␈α⊂are␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂to␈α⊃eigh␈α␈t␈α⊃signi|can␈α␈t␈α⊃digits,␈α⊃and
␈β
o␈↓ ↓H␈ε"it␈αmigh␈α␈t␈αbe␈αm␈α↓ore␈αappropriate␈αto␈αden␈α↓ote␈αthem,␈αrespectiv␈α␈ely,␈αby
␈β>␈↓ β9␈ε"(27,␈αε+.00060225)␈↓ ε␈ε"and␈↓ π
␈ε"(␈ε6␈␈ε"23,␈αε+.00010545)
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"instead␈α∩of␈α∩by␈α∩(24,␈αε+.60225200)␈α∩and␈α∩(␈ε6␈␈ε"26,␈αε+.10545000).␈α"It␈α∩w␈α␈ould␈α∩be␈α∩nice␈α∩if
␈β9␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α∂could␈α∂giv␈α␈e␈α∂our␈α∂input␈α∂data␈α∂for␈α⊂each␈α∂problem␈α∂in␈α∂an␈α∂unn␈α↓ormalized␈α∂form␈α∂that
␈βe␈↓ ↓H␈ε"expresses␈αh␈α↓o␈α␈w␈α
m␈α␈uch␈α
precison␈α
is␈αassumed,␈α
and␈α
if␈α
the␈αoutput␈α
w␈α␈ould␈α
indicate␈αjust
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈α∂m␈α␈uch␈α∂precision␈α∂is␈α∂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂in␈α⊂the␈α∂answ␈α␈er.␈α→Unfortunately,␈α⊂this␈α∂is␈α∂a␈α∂terribly
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"di}cult␈αproblem,␈α
alth␈α↓ough␈αthe␈αuse␈α
of␈αunn␈α↓ormalized␈α
arithmetic␈αcan␈α
help␈αto␈αgiv␈α␈e
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"some␈α∞indication.␈α↔F␈α⎇or␈α∞example,␈α∞w␈α␈e␈α∂can␈α∞sa␈α␈y␈α∞with␈α∞a␈α∂fair␈α∞degree␈α∞of␈α∞certain␈α␈t␈α␈y␈α∞that
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"the␈αproduct␈αof␈αAv␈α␈ogadro's␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αby␈αPlanck's␈αconstan␈α␈t␈αis␈α(0,␈αε+.00063507),␈αand
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"that␈α⊃their␈α⊃sum␈α∩is␈α⊃(27,␈αε+.00060225).␈α#(The␈α⊃purpose␈α∩of␈α⊃this␈α⊃example␈α∩is␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃to
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"suggest␈αthat␈αan␈α␈y␈αimportan␈α␈t␈α
ph␈α␈ysical␈αsigni|cance␈αsh␈α↓ould␈αbe␈α
attached␈αto␈αthe␈αsum
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞product␈α∞of␈α∞these␈α∞fundamen␈α␈tal␈α∂constan␈α␈ts;␈α∂the␈α∞poin␈α␈t␈α∞is␈α∂that␈α∞it␈α∞is␈α∞possible␈α∞to
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"preserv␈α␈e␈α
a␈α
little␈α
of␈α∞the␈α
information␈α
about␈α
precision␈α∞in␈α
the␈α
result␈α
of␈α
calculations
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"with␈α∞imprecise␈α∞quan␈α␈tities,␈α⊂when␈α∞the␈α∞original␈α∂operands␈α∞are␈α∂independen␈α␈t␈α∞of␈α∞each
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε"other.)
␈β⊂@␈↓ α␈ε"The␈α
rules␈α
for␈α
unn␈α↓ormalized␈α
arithmetic␈α
are␈αsimply␈α
this:␈αLet␈↓ 	$␈ε(l␈↓ 	L␈ε"be␈α
the␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β⊂L␈↓ 	/␈ε+u
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂leading␈α⊂zeros␈α∂in␈α⊂the␈α∂fraction␈α⊂part␈α∂of␈ε(␈α⊂u␈ε"␈α∂=␈α⊂(␈↓ π.␈ε(e␈↓ πQ␈ε",␈↓ πa␈ε(f␈↓ λε␈ε"),␈α⊂so␈α⊂that␈↓ 	-␈ε(l␈↓ 	[␈ε"is␈α⊂the␈α∂largest
␈β⊂w␈↓ π>␈ε+u␈↓ πs␈ε+u␈↓ 	8␈ε+u
␈β⊃⊂␈↓ ∧u␈ε9␈␈↓ ¬∪␈ε+l
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teger␈ε6␈α∂∀␈ε(␈α∂p␈ε"␈α∂with␈ε6␈α∂j␈↓ βu␈ε(f␈↓ ∧~␈ε6j␈ε"␈α∂<␈↓ ∧f␈ε(b␈↓ ¬/␈ε".␈α_Then␈α∂addition␈α∂and␈α∂subtraction␈α∂are␈α∂performed
␈β⊃~␈↓ ¬≤␈ε-u
␈β⊃#␈↓ ∧ε␈ε+u
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"224␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"just␈α⊂as␈α⊂in␈α⊃Algorithm␈α⊂4.2.1A␈↓ ¬π␈ε",␈α⊃except␈α⊂that␈α⊃all␈α⊂scaling␈α⊂to␈α⊃the␈α⊂le$␈α⊂is␈α⊂suppressed.
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"Multiplication␈α
and␈α∞division␈α∞are␈α∞performed␈α∞as␈α
in␈α∞Algorithm␈α∞4.2.1M,␈α∞except␈α
that
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"the␈αλansw␈α␈er␈α	is␈α	scaled␈αλrigh␈α␈t␈α	or␈α	le$␈αλso␈α	that␈α	precisely␈↓ π9␈ε"ma␈↓ πi␈ε"x␈↓ π⎇␈ε"(␈↓ λ	␈ε(l␈↓ λ(␈ε",␈↓ λ8␈ε(l␈↓ λT␈ε")␈α	leading␈α	zeros␈αλappear.
␈ββπ␈↓ λ∀␈ε+u␈↓ λC␈ε+v
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"Essen␈α␈tially␈αthe␈αsame␈αrules␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen␈αused␈αin␈αman␈α␈ual␈αcalculation␈αfor␈αman␈α␈y␈αy␈α␈ears.
␈ββQ␈↓ α␈ε"It␈αfollo␈α␈ws␈αthat,␈αfor␈αunn␈α↓ormalized␈αcomputations,
␈β∧"␈↓ α-␈ε(e␈↓ α}␈ε",␈↓ β∀␈ε(e␈↓ βn␈ε"=␈↓ ∧≤␈ε"ma␈↓ ∧L␈ε"x␈↓ ∧`␈ε"(␈↓ ∧l␈ε(e␈↓ ¬∂␈ε",␈↓ ¬∨␈ε(e␈↓ ¬@␈ε")␈αλ+␈↓ ε␈ε"(0␈αor␈α1)␈↓ 
p␈ε"(48)
␈β∧/␈↓ α=␈ε+u␈ε9λ␈↓ αl␈ε+v␈↓ β#␈ε+u␈ε9␈	␈↓ βR␈ε+v␈↓ ∧{␈ε+u␈↓ ¬.␈ε+v
␈β∧X␈↓ β∀␈ε(e␈↓ βn␈ε"=␈↓ ∧≤␈ε(e␈↓ ∧G␈ε"+␈↓ ∧s␈ε(e␈↓ ¬≠␈ε6␈␈↓ ¬G␈ε(q␈↓ ¬c␈ε6␈␈↓ ε∂␈ε"min␈↓ εK␈ε"(␈↓ εW␈ε(l␈↓ εu␈ε",␈↓ π¬␈ε(l␈↓ π!␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ πa␈ε"(0␈αor␈α1)␈↓ 
p␈ε"(49)
␈β∧e␈↓ β#␈ε+u␈ε9␈
␈↓ βR␈ε+v␈↓ ∧+␈ε+u␈↓ ¬α␈ε+v␈↓ εb␈ε+u␈↓ π⊂␈ε+v
␈β¬∞␈↓ β∀␈ε(e␈↓ βn␈ε"=␈↓ ∧≤␈ε(e␈↓ ∧G␈ε6␈␈↓ ∧s␈ε(e␈↓ ¬≠␈ε"+␈↓ ¬G␈ε(q␈↓ ¬c␈ε6␈␈↓ ε∂␈ε(l␈↓ ε5␈ε"+␈↓ εa␈ε(l␈↓ π¬␈ε"+␈↓ π1␈ε"ma␈↓ πa␈ε"x␈↓ πv␈ε"(␈↓ λα␈ε(l␈↓ λ ␈ε",␈↓ λ0␈ε(l␈↓ λM␈ε")␈αλ+␈↓ 	
␈ε"(0␈αor␈α1)␈↓ 
↓␈ε".␈↓ 
p␈ε"(50)
␈β¬≠␈↓ β#␈ε+u␈ε9␈↓ βR␈ε+v␈↓ ∧+␈ε+u␈↓ ¬α␈ε+v␈↓ ε~␈ε+u␈↓ εl␈ε+v␈↓ λ
␈ε+u␈↓ λ;␈ε+v
␈β¬e␈↓ ↓H␈ε"When␈α
the␈α
result␈α
of␈α
a␈α∞calculation␈α
is␈α
zero,␈α
an␈α∞unn␈α↓ormalized␈α
zero␈α
(o$en␈α
called␈α
an
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε"\order␈α
of␈αmagnitude␈αzero")␈α
is␈αgiv␈α␈en␈α
as␈αthe␈αansw␈α␈er;␈αthis␈αindicates␈α
that␈αthe␈α
answ␈α␈er
␈βε<␈↓ ↓H␈ε"ma␈α␈y␈αn␈α↓ot␈αtruly␈αbe␈αzero,␈αw␈α␈e␈αjust␈αdon't␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αan␈α␈y␈αof␈αits␈αsigni|can␈α␈t␈αdigits.
␈βεg␈↓ α␈ε"Error␈α
analysis␈α
tak␈α␈es␈α∞a␈α
somewhat␈α
di{eren␈α␈t␈α
form␈α
with␈α
unn␈α↓ormalized␈α
⎇oating
␈βπ∩␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αarithmetic.␈α⊂Let␈αus␈αde|ne
␈βπa␈↓ ¬%␈ε+e␈↓ ¬C␈ε9␈␈↓ ¬a␈ε+q␈↓ ¬q␈ε9␈␈ε+␈α␈p
␈βπe␈↓ ¬β␈ε%1
␈βπi␈↓ ∧$␈ε(∞␈↓ ∧Q␈ε"=␈↓ ¬⊗␈ε(b␈↓ εg␈ε"if␈ε(␈αu␈ε"␈α
=␈α
(␈↓ πb␈ε(e␈↓ λ¬␈ε",␈↓ λ∃␈ε(f␈↓ λ:␈ε").␈↓ 
p␈ε"(51)
␈βπk␈↓ ¬2␈ε-u
␈βπv␈↓ ∧3␈ε+u␈↓ πq␈ε+u␈↓ λ&␈ε+u
␈βπz␈↓ ¬β␈ε%2
␈βπ⎇␈↓ ¬β␈∧π⎇¬βα⊂
␈βλ:␈↓ 
0␈ε+e␈↓ 
N␈ε9␈␈↓ 
l␈ε+q
␈βλ@␈↓ ↓H␈ε"This␈α
quan␈α␈tit␈α␈y␈α
depends␈α
on␈α
the␈α
represen␈α␈tation␈αof␈ε(␈α
u␈ε",␈α
n␈α↓ot␈α
just␈α
on␈αthe␈α
v␈α}alue␈↓ 
!␈ε(b␈↓ 
⎇␈ε(f␈↓ "␈ε".
␈βλD␈↓ 
=␈ε-u
␈βλM␈↓ ∂␈ε+u
␈βλk␈↓ ↓H␈ε"Our␈αrounding␈αrule␈αtells␈αus␈αthat
␈β	=␈↓ αm␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ β@␈ε(v␈↓ βZ␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε"␈αλ+␈↓ ∧[␈ε(v␈↓ ∧n␈ε")␈ε6j␈↓ ¬∞␈ε6∀␈↓ ¬<␈ε(∞␈↓ ε␈ε",␈↓ ε↑␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈	␈↓ π1␈ε(v␈↓ πL␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε6␈απ␈␈↓ λL␈ε(v␈↓ λ←␈ε")␈ε6j␈↓ λ␈␈ε6∀␈↓ 	-␈ε(∞␈↓ 	⎇␈ε",
␈β	I␈↓ ¬K␈ε+u␈ε9λ␈↓ ¬z␈ε+v␈↓ 	<␈ε+u␈ε9␈	␈↓ 	l␈ε+v
␈β
↓␈↓ αm␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ β@␈ε(v␈↓ βZ␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε6␈αλα␈↓ ∧[␈ε(v␈↓ ∧n␈ε")␈ε6j␈↓ ¬∞␈ε6∀␈↓ ¬<␈ε(∞␈↓ ε␈ε",␈↓ εd␈ε6j␈ε(u␈ε6␈αλ␈↓ π7␈ε(v␈↓ πR␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε"␈α
/␈↓ λL␈ε(v␈↓ λ←␈ε")␈ε6j␈↓ λ␈␈ε6∀␈↓ 	-␈ε(∞␈↓ 	⎇␈ε".
␈β

␈↓ ¬K␈ε+u␈ε9␈
␈↓ ¬z␈ε+v␈↓ 	<␈ε+u␈ε9␈↓ 	l␈ε+v
␈β
T␈↓ ↓H␈ε"These␈α
inequalities␈α
apply␈α
to␈α∞n␈α↓ormalized␈α
as␈α
w␈α␈ell␈α
as␈α
unn␈α↓ormalized␈α∞arithmetic;␈α
the
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε"main␈α∞di{erence␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞t␈α␈ypes␈α∞of␈α∞error␈α∞analysis␈α∞is␈α
the␈α∞de|nition␈α∞of␈α∞the
␈β␈↓ εK␈ε↓␈␈↓ λW␈ε↓↓
␈β*␈↓ ↓H␈ε"exponen␈α␈t␈αof␈αthe␈αresult␈αof␈αeach␈αoperation␈↓ εY␈ε"Eqs.␈α(48)␈αto␈α(50)␈↓ λe␈ε".
␈βU␈↓ α␈ε"W␈α⎇e␈α∂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂remark␈α␈ed␈α∂that␈α∂the␈α∞relations␈ε6␈α∂≡␈ε",␈ε6␈α⊂_␈ε",␈ε6␈α∂∨␈ε",␈α⊂and␈ε6␈α∂→␈ε"␈α∂de|ned␈α∂earlier␈α∞in
␈β↓␈↓ ↓H␈ε"this␈α∞section␈α∂are␈α∞v␈α}alid␈α∂and␈α∞meaningful␈α∂for␈α∞unn␈α↓ormalized␈α∂n␈α␈um␈α␈bers␈α∞as␈α∞w␈α␈ell␈α∂as␈α∞for
␈β,␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalized␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈α⊗As␈α
an␈α∞example␈α∞of␈α∞the␈α
use␈α∞of␈α∞these␈α∞relations,␈α∞let␈α∞us␈α
pro␈α␈v␈α␈e
␈βW␈↓ ↓H␈ε"an␈αappro␈α␈ximate␈αassociativ␈α␈e␈αla␈α␈w␈αfor␈αunn␈α↓ormalized␈αaddition,␈αanalogous␈αto␈α(39):
␈β
.␈↓ ∧1␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ ¬ε␈ε(v␈↓ ¬→␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ ¬Y␈ε(w␈↓ ¬}␈ε6→␈ε(␈α
u␈ε6␈απλ␈ε"␈αλ(␈↓ π␈ε(v␈↓ π≠␈ε6λ␈↓ πG␈ε(w␈↓ πb␈ε")␈α$(␈ε(∂␈ε"),␈↓ 
p␈ε"(52)
␈β∞¬␈↓ ↓H␈ε"for␈αsuitable␈ε(␈α∂␈ε"␈α␈.␈α⊂W␈α⎇e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∞4␈↓ εF␈ε↓␈␈↓ λI␈ε↓␈␈↓ 
→␈ε↓↓␈↓ 
'␈ε↓␈
␈β∞J␈↓ εF␈ε↓␈␈↓ 
'␈ε↓␈
␈β∞S␈↓ αA␈ε6j␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ β ␈ε(v␈↓ β3␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ βs␈ε(w␈↓ ∧⊗␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε"␈απ+␈↓ ¬⊗␈ε(v␈↓ ¬1␈ε"+␈↓ ¬]␈ε(w␈↓ ¬x␈ε")␈ε6j␈↓ ε_␈ε6∀␈↓ εR␈ε"(␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ π'␈ε(v␈↓ π:␈ε")␈ε6␈αλλ␈↓ πz␈ε(w␈↓ λ≥␈ε6␈␈↓ λW␈ε"(␈ε(u␈ε6␈απλ␈↓ 	+␈ε(v␈↓ 	>␈ε")␈αλ+␈↓ 	}␈ε(w
␈β∂	␈↓ ε↑␈ε"+␈ε6␈αλj␈ε(u␈ε6␈αλλ␈↓ π]␈ε(v␈↓ πx␈ε6␈␈ε"␈αλ(␈ε(u␈ε"␈απ+␈↓ λx␈ε(v␈↓ 	␈ε")␈ε6j
␈β∂M␈↓ ε_␈ε6∀␈↓ εF␈ε(∞␈↓ πg␈ε"+␈↓ λ∪␈ε(∞
␈β∂Z␈↓ εU␈ε%(␈ε+u␈ε9λ␈↓ π∂␈ε+v␈↓ π∨␈ε%)␈ε9λ␈↓ πG␈ε+w␈↓ λ"␈ε+u␈ε9λ␈↓ λQ␈ε+v
␈β⊂∩␈↓ ε_␈ε6∀␈ε"␈α
2␈↓ εX␈ε(∞␈↓ πq␈ε".
␈β⊂≡␈↓ εg␈ε%(␈ε+u␈ε9λ␈↓ π!␈ε+v␈↓ π1␈ε%)␈ε9λ␈↓ πY␈ε+w
␈β⊂h␈↓ ↓H␈ε"A␈α
similar␈α
form␈α␈ula␈αh␈α↓olds␈α
for␈ε6␈αj␈ε(u␈ε6␈α∧λ␈ε"␈α¬(␈↓ ¬P␈ε(v␈↓ ¬g␈ε6λ␈↓ ε⊂␈ε(w␈↓ ε+␈ε")␈ε6␈α¬␈␈ε"␈α¬(␈ε(u␈ε"␈α∧+␈↓ π3␈ε(v␈↓ πK␈ε"+␈↓ πs␈ε(w␈↓ λ∞␈ε")␈ε6j␈ε".␈α⊂No␈α␈w␈α
since␈↓ 	e␈ε(e␈↓ λ␈ε"=
␈β⊂u␈↓ 	u␈ε%(␈ε+u␈ε9λ␈↓ 
/␈ε+v␈↓ 
>␈ε%)␈ε9␈α↓λ␈↓ 
f␈ε+w
␈β⊃
␈↓ λ_␈ε%2
␈β⊃∪␈↓ ↓H␈ε"ma␈↓ ↓x␈ε"x␈↓ α␈ε"(␈↓ α_␈ε(e␈↓ α:␈ε",␈↓ αJ␈ε(e␈↓ αk␈ε",␈↓ α{␈ε(e␈↓ β"␈ε")␈α	+␈↓ βd␈ε"(0,␈α1,␈αor␈α2)␈↓ ¬
␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε+␈ε(∞␈↓ πY␈ε6∀␈↓ λ	␈ε(b␈↓ λ)␈ε(∞␈↓ 	B␈ε".␈α∪Therefore␈αw␈α␈e
␈β⊃ ␈↓ α'␈ε+u␈↓ αZ␈ε+v␈↓ β␈ε+w␈↓ ε:␈ε%(␈ε+u␈ε9λ␈↓ εt␈ε+v␈↓ πβ␈ε%)␈ε9␈α↓λ␈↓ π+␈ε+w␈↓ πB␈ε%)␈↓ λ8␈ε+u␈ε9λ␈ε%␈α␈(␈↓ λr␈ε+v␈↓ 	α␈ε9λ␈↓ 	∨␈ε+w␈↓ 	6␈ε%)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"225
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα≤␈↓ ¬n␈ε%2␈ε9␈␈ε+p
␈βα"␈↓ ↓H␈ε"|nd␈αthat␈α
(52)␈α
is␈α
v␈α}alid␈αwhen␈ε(␈α
∂␈ε6␈α∃␈ε"␈α2␈↓ ¬←␈ε(b␈↓ ε+␈ε";␈α∞unn␈α↓ormalized␈αaddition␈α
is␈α
n␈α↓ot␈α
as␈αerratic
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"as␈αn␈α↓ormalized␈αaddition␈αwith␈αrespect␈αto␈αthe␈αassociativ␈α␈e␈αla␈α␈w.
␈βαy␈↓ α␈ε"It␈α⊂sh␈α↓ould␈α⊃be␈α⊂emphasized␈α⊃that␈α⊂unn␈α↓ormalized␈α⊂arithmetic␈α⊃is␈α⊂by␈α⊃n␈α↓o␈α⊂means␈α⊂a
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"panacea.␈α∂There␈αare␈αexamples␈α
where␈αit␈αindicates␈αgreater␈α
accuracy␈αthan␈αis␈α
presen␈α␈t
␈ββP␈↓ ↓H␈ε"(e.g.,␈α∂addition␈α∞of␈α∂a␈α∞great␈α∞man␈α␈y␈α∂small␈α∞quan␈α␈tities␈α∂of␈α∞about␈α∂the␈α∞same␈α∞magnitude,
␈ββu␈↓ βj␈ε+n
␈ββ{␈↓ ↓H␈ε"or␈α⊂ev␈α}aluation␈α∂of␈↓ βV␈ε(x␈↓ ∧∂␈ε"for␈α∂large␈ε(␈α⊂n␈ε");␈α∩and␈α⊂there␈α⊂are␈α⊂man␈α␈y␈α⊂m␈α↓ore␈α⊂examples␈α⊂when␈α∂it
␈β∧&␈↓ ↓H␈ε"indicates␈αpo␈α↓or␈α
accuracy␈αwhile␈αn␈α↓ormalized␈αarithmetic␈αactually␈αdoes␈αproduce␈α
go␈α↓od
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε"results.␈α⊂There␈α
is␈αan␈αimportan␈α␈t␈αreason␈α
wh␈α␈y␈αn␈α↓o␈αstraigh␈α␈tforw␈α␈ard␈αone-operation-at-
␈β∧|␈↓ ↓H␈ε"a-time␈αmeth␈α↓od␈αof␈αerror␈αanalysis␈αcan␈αbe␈αcompletely␈αsatisfactory,␈αnamely␈αthe␈αfact
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε"that␈α
operands␈α
are␈α
usually␈αn␈α↓ot␈α
independen␈α␈t␈α
of␈α
each␈α
other.␈α⊂This␈α
means␈α
that␈α
errors
␈β¬S␈↓ ↓H␈ε"tend␈α∂to␈α∂cancel␈α∂or␈α∂reinforce␈α∂each␈α∂other␈α∂in␈α∂strange␈α∂w␈α␈a␈α␈ys.␈α→F␈α⎇or␈α∂example,␈α∂suppose
␈β¬y␈↓ ∧Z␈ε%1
␈β¬}␈↓ ↓H␈ε"that␈ε(␈α∂x␈ε"␈α⊂is␈α∂appro␈α␈ximately␈↓ ∧m␈ε",␈α⊃and␈α∂suppose␈α⊂that␈α∂w␈α␈e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α∂an␈α⊂appro␈α␈ximation␈↓ 
f␈ε(y␈↓ λ␈ε"=
␈βε∂␈↓ ∧Z␈ε%2
␈βε∩␈↓ ∧Z␈∧ε∩∧Zα⊂
␈βε)␈↓ ↓H␈ε(x␈ε"␈αλ+␈↓ α⊂␈ε(∞␈↓ α/␈ε"with␈αabsolute␈α
error␈↓ ∧h␈ε(∞␈↓ ∧{␈ε".␈α⊃If␈αw␈α␈e␈α
n␈α↓o␈α␈w␈αwish␈α
to␈αcompute␈ε(␈αx␈ε"(1␈ε6␈α	␈␈ε(␈αλx␈ε"),␈α
w␈α␈e␈αcan␈αform
␈βεN␈↓ 	I␈ε%2
␈βεP␈↓ βb␈ε%1
␈βεT␈↓ ↓H␈ε(y␈↓ ↓[␈ε"(1␈ε6␈α	␈␈↓ α/␈ε(y␈↓ αB␈ε");␈α∂if␈ε(␈α∞x␈ε"␈α
=␈↓ β}␈ε"+␈ε(␈α	∂␈ε"␈α∞w␈α␈e␈α∞|nd␈↓ ¬I␈ε(y␈↓ ¬\␈ε"(1␈ε6␈α	␈␈↓ ε0␈ε(y␈↓ εC␈ε")␈α∞=␈ε(␈α
x␈ε"(1␈ε6␈α	␈␈ε(␈α
x␈ε")␈ε6␈α	␈␈ε"␈α	2␈ε(∂␈↓ λn␈ε(∞␈↓ 	
␈ε6␈␈↓ 	7␈ε(∞␈↓ 	Z␈ε",␈α∂so␈α
the␈α∞error
␈βεe␈↓ βb␈ε%2
␈βεh␈↓ βb␈∧εhβbα⊂
␈βπ␈↓ ↓H␈ε"has␈α
decreased␈α∞substan␈α␈tially:␈α∞it␈α∞has␈α
been␈α∞m␈α␈ultiplied␈α
by␈α∞a␈α
factor␈α∞of␈α
2␈ε(∂␈ε"␈α	+␈↓ 
6␈ε(∞␈↓ 
H␈ε".␈α∀This
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"is␈αjust␈α
one␈α
case␈αwhere␈α
m␈α␈ultiplication␈α
of␈αimprecise␈α
quan␈α␈tities␈α
can␈αlead␈α
to␈α
a␈αquite
␈βπV␈↓ ↓H␈ε"accurate␈α
result␈α∞when␈α∞the␈α
operands␈α∞are␈α∞n␈α↓ot␈α∞independen␈α␈t␈α
of␈α∞each␈α∞other.␈α∃A␈α
m␈α↓ore
␈βλ↓␈↓ ↓H␈ε"obvious␈α	example␈α
is␈α	the␈α	computation␈α
of␈ε(␈α	x␈ε6␈αβ␈	␈ε(␈αβx␈ε",␈α
which␈α
can␈α	be␈α
obtained␈α	with␈α	perfect
␈βλ,␈↓ ↓H␈ε"accuracy␈αregardless␈αof␈αh␈α↓o␈α␈w␈αbad␈αan␈αappro␈α␈ximation␈αto␈ε(␈αx␈ε"␈αw␈α␈e␈αbegin␈αwith.
␈βλX␈↓ α␈ε"The␈α∞extra␈α
information␈α∞that␈α
unn␈α↓ormalized␈α∞arithmetic␈α
giv␈α␈es␈α∞us␈α
can␈α∞o$en␈α
be
␈β	β␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈α∂importan␈α␈t␈α⊂than␈α⊂the␈α∂information␈α⊂it␈α⊂destro␈α␈ys␈α∂during␈α⊂an␈α⊂extended␈α∂calcula-
␈β	.␈↓ ↓H␈ε"tion,␈α⊂but␈α∂(as␈α∂usual)␈α∂w␈α␈e␈α∂m␈α␈ust␈α∂use␈α⊂it␈α∂with␈α∂care.␈α~Examples␈α∂of␈α∂the␈α∂proper␈α∂use␈α∂of
␈β	Z␈↓ ↓H␈ε"unn␈α↓ormalized␈α
arithmetic␈α∞are␈α
discussed␈α∞by␈α∞R.␈α
L.␈↓ πM␈ε"Ashenh␈α␈urst␈α
and␈α∞N.␈↓ 
ε␈ε"Metropolis
␈β
¬␈↓ ↓H␈ε"in␈ε/␈α∂Computers␈α⊂and␈α⊂Computing,␈α⊃AMM␈ε"␈α∂Slaugh␈α␈t␈α⊂Mem␈α↓orial␈α⊂Papers␈ε2␈α⊂10␈ε"␈α∂(F␈α⎇ebruary,
␈β
0␈↓ ↓H␈ε"1965),␈α∞47↑59;␈α∞by␈α∞N.␈α
Metropolis␈α∞in␈ε/␈α
Numer.␈α∞Math.␈ε2␈α
7␈ε"␈α∞(1965),␈α∞104↑112;␈α∞and␈α∞by␈α
R.
␈β
[␈↓ ↓H␈ε"L.␈αAshenh␈α␈urst␈αin␈ε/␈αError␈αin␈αDigital␈αComputation␈ε2␈α
2␈ε",␈αed.␈αby␈αL.␈αB.␈↓ 	+␈ε"Rall␈α(New␈αY␈α⎇ork:
␈βε␈↓ ↓H␈ε"Wiley,␈α1965),␈α3↑37.␈α∂Appropriate␈αmeth␈α↓ods␈α
for␈αcomputing␈αstandard␈α
mathematical
␈β2␈↓ ↓H␈ε"functions␈αwith␈αboth␈α
input␈αand␈αoutput␈α
in␈αunn␈α↓ormalized␈α
form␈αare␈αgiv␈α␈en␈α
by␈αR.␈αL.
␈β]␈↓ ↓H␈ε"Ashenh␈α␈urst␈α
in␈ε/␈α∞JA␈α␈CM␈ε2␈α
11␈ε"␈α
(1964),␈α∞168↑187.␈α∃An␈α
extension␈α∞of␈α
unn␈α↓ormalized␈α
arith-
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"metic,␈α⊂which␈α⊂remem␈α␈bers␈α∂that␈α⊂certain␈α∂v␈α}alues␈α⊂are␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn␈α∂to␈α⊂be␈ε/␈α∂exact␈ε",␈α⊃has␈α∂been
␈β3␈↓ ↓H␈ε"discussed␈αby␈αN.␈αMetropolis␈αin␈ε/␈αIEEE␈αT␈α⎇rans.␈ε2␈αC↑22␈ε"␈α(1973),␈α573↑576.
␈βw␈↓ ↓H␈ε2C.␈↓ ↓v␈ε2In␈α␈terv␈α}al␈αarithmetic.␈ε"␈α∀An␈α↓other␈αapproach␈α
to␈αthe␈αproblem␈α
of␈αerror␈α
determination
␈β
"␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞the␈α∞so-called␈α∂in␈α␈terv␈α}al␈α∞or␈↓ ∧u␈ε"range␈α∂arithmetic,␈α∂in␈α∞which␈α∞upper␈α∂and␈α∞lo␈α␈w␈α␈er␈α∞bounds
␈β
N␈↓ ↓H␈ε"on␈α∞each␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α∞are␈α∞main␈α␈tained␈α∞during␈α∞the␈α∞calculations.␈α∃Th␈α␈us,␈α∂for␈α∞example,␈α∞if
␈β
y␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αkn␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ β+␈ε(u␈↓ β[␈ε6∀␈ε(␈αu␈ε6␈α
∀␈↓ ∧W␈ε(u␈↓ ¬	␈ε"and␈↓ ¬O␈ε(v␈↓ ¬|␈ε6∀␈↓ ε*␈ε(v␈↓ εG␈ε6∀␈↓ εv␈ε(v␈↓ π_␈ε",␈αw␈α␈e␈α
represen␈α␈t␈αthis␈αby␈αthe␈αin␈α␈terv␈α}al
␈β∞¬␈↓ β@␈ε%0␈↓ ∧l␈ε%1␈↓ ¬a␈ε%0␈↓ ππ␈ε%1
␈β∞$␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓otation␈ε(␈α
u␈ε"␈α	=␈↓ β#␈ε"[␈↓ β.␈ε(u␈↓ βS␈ε",␈↓ βc␈ε(u␈↓ ∧	␈ε"],␈↓ ∧'␈ε(v␈↓ ∧D␈ε"=␈↓ ∧r␈ε"[␈↓ ∧|␈ε(v␈↓ ¬∨␈ε",␈↓ ¬/␈ε(v␈↓ ¬Q␈ε"].␈α∂The␈α
sum␈ε(␈α
u␈ε6␈α∧λ␈↓ πG␈ε(v␈↓ πd␈ε"is␈↓ λε␈ε"[␈↓ λ⊂␈ε(u␈↓ λ<␈ε6o␈↓ λb␈ε(v␈↓ 	∧␈ε",␈↓ 	∀␈ε(u␈↓ 	@␈ε6n␈↓ 	f␈ε(v␈↓ 
λ␈ε"],␈α
where␈↓ ␈ε6o
␈β∞-␈↓ λ@␈ε'+␈↓ 	C␈ε'+␈↓ ⊂␈ε'+
␈β∞0␈↓ βB␈ε%0␈↓ βx␈ε%1␈↓ ¬∞␈ε%0␈↓ ¬@␈ε%1␈↓ λ%␈ε%0␈↓ λs␈ε%0␈↓ 	)␈ε%1␈↓ 	w␈ε%1
␈β∞O␈↓ ↓H␈ε"den␈α↓otes␈α
\lo␈α␈w␈α␈er␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
addition,"␈α∂the␈α
greatest␈α∞represen␈α␈table␈α∞n␈α␈um␈α␈ber␈α
less
␈β∞z␈↓ ↓H␈ε"than␈αor␈αequal␈αto␈αthe␈αtrue␈αsum,␈αand␈↓ ¬q␈ε6n␈↓ ε≤␈ε"is␈αde|ned␈αsimilarly␈α(see␈αexercise␈α4.2.1↑13).
␈β∂β␈↓ ¬t␈ε'+
␈β∂&␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈ε(␈αu␈ε6␈αλ␈	␈↓ βd␈ε(v␈↓ ∧α␈ε"=␈↓ ∧1␈ε"[␈↓ ∧;␈ε(u␈↓ ∧g␈ε6o␈↓ ¬
␈ε(v␈↓ ¬/␈ε",␈↓ ¬?␈ε(u␈↓ ¬j␈ε6n␈↓ ε⊂␈ε(v␈↓ ε3␈ε"];␈α
and␈αif␈↓ π=␈ε(u␈↓ πo␈ε"and␈↓ λ6␈ε(v␈↓ λd␈ε"are␈α
positiv␈α␈e,␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β∂.␈↓ ∧j␈ε;␈␈↓ ¬n␈ε;␈
␈β∂2␈↓ ∧P␈ε%0␈↓ ¬≡␈ε%1␈↓ ¬T␈ε%1␈↓ ε"␈ε%0␈↓ πR␈ε%0␈↓ λG␈ε%0
␈β∂Q␈↓ ↓H␈ε(u␈ε6␈αλ␈
␈↓ α⊃␈ε(v␈↓ α/␈ε"=␈↓ α←␈ε"[␈↓ αi␈ε(u␈↓ β∃␈ε6o␈↓ β;␈ε(v␈↓ β]␈ε",␈↓ βm␈ε(u␈↓ ∧_␈ε6n␈↓ ∧>␈ε(v␈↓ ∧a␈ε"],␈ε(␈α
u␈ε6␈αλ␈↓ ¬K␈ε(v␈↓ ¬j␈ε"=␈↓ ε→␈ε"[␈↓ ε#␈ε(u␈↓ εO␈ε6o␈↓ εu␈ε(v␈↓ π↔␈ε",␈↓ π'␈ε(u␈↓ πS␈ε6n␈↓ πy␈ε(v␈↓ λ≠␈ε"].␈α∩F␈α⎇or␈α
example,␈α
w␈α␈e␈αmigh␈α␈t
␈β∂X␈↓ β_␈ε;α␈↓ ∧≤␈ε;α
␈β∂Y␈↓ εX␈ε'/␈↓ π\␈ε'/
␈β∂]␈↓ α}␈ε%0␈↓ βL␈ε%0␈↓ ∧α␈ε%1␈↓ ∧P␈ε%1␈↓ ε8␈ε%0␈↓ πε␈ε%1␈↓ π<␈ε%1␈↓ λ
␈ε%0
␈β∂|␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈t␈↓ αc␈ε"Av␈α␈ogadro's␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αand␈↓ ¬e␈ε"Planck's␈αconstan␈α␈t␈αas
␈β⊂3␈↓ ∧≡␈ε↓α␈↓ λT␈ε↓β
␈β⊂R␈↓ βC␈ε(N␈↓ βp␈ε"=␈↓ ∧*␈ε"(24,␈αε+.60222400),␈α(24,␈αε+.60228000)␈↓ λ`␈ε",
␈β⊂t␈↓ ∧≡␈ε↓α␈↓ 	≤␈ε↓β
␈β⊃¬␈↓ βR␈ε/→
␈β⊃∪␈↓ βQ␈ε(h␈↓ βp␈ε"=␈↓ ∧*␈ε"(␈ε6␈␈ε"26,␈αε+.10544300),␈α(␈ε6␈␈ε"26,␈αε+.10545700)␈↓ 	(␈ε";
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"226␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"their␈αsum␈αand␈αproduct␈αw␈α␈ould␈αthen␈αturn␈αout␈αto␈αbe
␈βα[␈↓ ∧T␈ε↓α␈↓ 	
␈ε↓β
␈βαm␈↓ ∧	␈ε/→
␈βαz␈↓ β0␈ε(N␈↓ β[␈ε6λ␈↓ ∧π␈ε(h␈↓ ∧&␈ε"=␈↓ ∧`␈ε"(24,␈αε+.60222400),␈α(24,␈αε+.60228001)␈↓ 	⊗␈ε",
␈ββ≤␈↓ ∧T␈ε↓α␈↓ 	.␈ε↓β
␈ββ-␈↓ ∧	␈ε/→
␈ββ;␈↓ β0␈ε(N␈↓ β[␈ε6␈
␈↓ ∧π␈ε(h␈↓ ∧&␈ε"=␈↓ ∧`␈ε"(␈ε6␈␈ε"3,␈αε+.63500305),␈α(␈ε6␈␈ε"3,␈αε+.63514642)␈↓ 	:␈ε".
␈β∧∪␈↓ α␈ε"If␈α⊃w␈α␈e␈α⊂try␈α⊃to␈α⊂divide␈α⊃by␈↓ ¬ε␈ε"[␈↓ ¬⊂␈ε(v␈↓ ¬2␈ε",␈↓ ¬B␈ε(v␈↓ ¬e␈ε"]␈α⊂when␈↓ εb␈ε(v␈↓ π⊗␈ε"<␈α⊃0␈α∩<␈↓ λ%␈ε(v␈↓ λG␈ε",␈α∩there␈α⊂is␈α⊃a␈α⊂possibilit␈α␈y
␈β∧ ␈↓ ¬!␈ε%0␈↓ ¬T␈ε%1␈↓ εs␈ε%0␈↓ λ6␈ε%1
␈β∧?␈↓ ↓H␈ε"of␈α∂division␈α⊂by␈α⊂zero.␈α≤Since␈α∂the␈α⊂philosoph␈α␈y␈α⊂underlying␈α⊂in␈α␈terv␈α}al␈α⊂arithmetic␈α⊂is␈α∂to
␈β∧j␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈vide␈α	rigorous␈α	error␈α	estimates,␈α	a␈α	divide-by-zero␈α	error␈α	sh␈α↓ould␈α	be␈α	signalled␈α	in␈α	this
␈β¬∃␈↓ ↓H␈ε"case.␈α⊃Ho␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈↓ β>␈ε"o␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w␈αand␈↓ ¬⊃␈ε"under⎇o␈α␈w␈αneed␈α
n␈α↓ot␈αbe␈α
treated␈αas␈αerrors␈α
in␈αin␈α␈terv␈α}al
␈β¬@␈↓ ↓H␈ε"arithmetic,␈αif␈αspecial␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions␈αare␈αin␈α␈troduced␈αas␈αdiscussed␈αin␈αexercise␈α24.
␈β¬l␈↓ α␈ε"In␈α␈terv␈α}al␈α∂arithmetic␈α∂tak␈α␈es␈α∂only␈α∞about␈α∂t␈α␈wice␈α∂as␈α∂long␈α∂as␈α∂ordinary␈α∞arithmetic,
␈βε↔␈↓ ↓H␈ε"and␈α∪it␈α∀pro␈α␈vides␈α∪truly␈α∀reliable␈α∪error␈α∀estimates.␈α&Considering␈α∪the␈α∀di}cult␈α␈y␈α∪of
␈βεB␈↓ ↓H␈ε"mathematical␈α∩error␈α∩analyses,␈α∪this␈α∩is␈α∩indeed␈α∩a␈α∩small␈α∩price␈α∩to␈α∩pa␈α␈y.␈α"Since␈α∩the
␈βεn␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈termediate␈α∂v␈α}alues␈α∂in␈α∂a␈α⊂calculation␈α∂o$en␈α∂depend␈α⊂on␈α∂each␈α∂other,␈α⊂as␈α∂explained
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε"abo␈α␈v␈α␈e,␈α∀the␈α∪|nal␈α∪estimates␈α∪obtained␈α∪with␈α∪in␈α␈terv␈α}al␈α∪arithmetic␈α∪will␈α∪tend␈α∪to␈α∩be
␈βπD␈↓ ↓H␈ε"pessimistic;␈α∂and␈α∞iterativ␈α␈e␈α∞n␈α␈umerical␈α∞meth␈α↓ods␈α∞o$en␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞to␈α
be␈α∞redesigned␈α∞if␈α∞w␈α␈e
␈βπo␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈an␈α␈t␈α
to␈αdeal␈α
with␈αin␈α␈terv␈α}als.␈α∂The␈αprospects␈α
for␈αe{ectiv␈α␈e␈α
use␈α
of␈αin␈α␈terv␈α}al␈α
arithmetic
␈βλ~␈↓ ↓H␈ε"lo␈α↓ok␈αv␈α␈ery␈αgo␈α↓od,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈αand␈αe{orts␈αsh␈α↓ould␈αbe␈αmade␈αto␈αincrease␈αits␈αa␈α␈v␈α}ailabilit␈α␈y.
␈βλ←␈↓ ↓H␈ε2D.␈α
History␈αand␈α
bibliograph␈α␈y.␈ε"␈α∀Jules␈↓ ¬r␈ε"T␈α⎇annery's␈αclassic␈α
treatise␈αon␈α
decimal␈α
calcula-
␈β	
␈↓ ↓H␈ε"tions,␈ε/␈α
Le␈↓ αM␈ε/_␈↓ αS␈ε/c␈↓ αc␈ε/ons␈αd'Arithm␈↓ ∧2␈ε/∞␈↓ ∧3␈ε/e␈↓ ∧C␈ε/tique␈ε"␈α
(Paris:␈α∞Colin,␈α
1894),␈α
stated␈α
that␈α
positiv␈α␈e␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β	5␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈α
be␈αrounded␈α
upw␈α␈ards␈αif␈αthe␈α
|rst␈αdiscarded␈α
digit␈αis␈α5␈α
or␈αm␈α↓ore;␈αsince␈α
exactly
␈β	a␈↓ ↓H␈ε"half␈α
of␈α
the␈α
decimal␈α
digits␈α
are␈α∞5␈α
or␈α
m␈α↓ore,␈α
he␈α∞felt␈α
that␈α
this␈α
rule␈α
w␈α␈ould␈α
round␈α
up-
␈β
␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ards␈α	exactly␈α
half␈α
of␈α	the␈α
time,␈α
on␈α
the␈α
a␈α␈v␈α␈erage,␈α
so␈α	it␈α
w␈α␈ould␈α
produce␈α	compensating
␈β
7␈↓ ↓H␈ε"errors.␈α⊃The␈αidea␈αof␈α\␈↓ ∧∂␈ε"round␈α
to␈αev␈α␈en"␈αin␈α
the␈αam␈α␈biguous␈αcases␈α
seems␈αto␈αha␈α␈v␈α␈e␈αbeen
␈β
b␈↓ ↓H␈ε"men␈α␈tioned␈α∞|rst␈α∂by␈α∂James␈α∂B.␈↓ ¬≠␈ε"Scarborough␈α∂in␈α∂the␈α∂|rst␈α∞edition␈α∂of␈α∂his␈α∞pioneering
␈β
␈↓ ↓H␈ε"bo␈α↓ok␈ε/␈α
Numerical␈αMathematical␈α
Analysis␈ε"␈α(Baltim␈α↓ore:␈αJohns␈αHopkins␈αPress,␈α
1930),
␈β9␈↓ ↓H␈ε"p.␈α	2;␈α
in␈α	the␈α
second␈α	(1950)␈α	edition␈α	he␈α	ampli|ed␈α
his␈α	earlier␈α	remarks,␈α
stating␈α	that␈α	\It
␈βd␈↓ ↓H␈ε"sh␈α↓ould␈αbe␈αobvious␈αto␈αan␈α␈y␈αthinking␈αperson␈αthat␈αwhen␈αa␈α5␈αis␈αcut␈αo{,␈αthe␈αpreceding
␈β∂␈↓ ↓H␈ε"digit␈α⊂sh␈α↓ould␈α⊃be␈α⊃increased␈α⊂by␈α⊃1␈α⊃in␈α⊂only␈ε/␈α⊃half␈ε"␈α⊃the␈α⊂cases,"␈α∩and␈α⊃he␈α⊂recommended
␈β:␈↓ ↓H␈ε"round-to-ev␈α␈en␈αin␈αorder␈αto␈αachiev␈α␈e␈αthis.
␈βf␈↓ α␈ε"The␈α⊃|rst␈α∩analysis␈α⊃of␈α∩⎇oating␈α⊃poin␈α␈t␈α⊃arithmetic␈α∩w␈α␈as␈α⊃giv␈α␈en␈α⊃by␈α∩F.␈α⊃L.␈↓ 
P␈ε"Bauer
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε"and␈α
K.␈↓ αC␈ε"Samelson,␈ε/␈α∞Zeitschri$␈α∞f␈↓ ¬)␈ε/u␈↓ ¬*␈ε/∪␈↓ ¬=␈ε/r␈α∞angew␈α␈andte␈α
Math.␈α∞und␈α∞Ph␈α␈ysik␈ε2␈α∞4␈ε"␈α
(1953),␈α∞312↑
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"316.␈α→The␈α∂next␈α∂publication␈α∂w␈α␈as␈α∂n␈α↓ot␈α∂un␈α␈til␈α⊂o␈α␈v␈α␈er␈α∂|v␈α␈e␈α∂y␈α␈ears␈α∂later:␈α∩J.␈α∂W.␈↓ 
'␈ε"Carr␈α∂III,
␈β
h␈↓ ↓H␈ε/CA␈α␈CM␈ε2␈α
2␈ε",␈α5␈α(Ma␈α␈y␈α1959),␈α10↑15.␈α⊂See␈αalso␈α
P.␈αC.␈↓ π≤␈ε"Fischer,␈ε/␈αProc.␈αA␈α␈CM␈αNat.␈α
Meeting
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε213␈ε"␈α∞(Urbana,␈α∂Illin␈α↓ois,␈α∞1958),␈α∂paper␈α∂39.␈α⊗The␈α∞bo␈α↓ok␈ε/␈α∂Rounding␈α∞Errors␈α∞in␈α∞Algebraic
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε/Processes␈ε"␈α⊃(Englew␈α␈o␈α↓od␈α⊃Cli{s:␈α⊗Pren␈α␈tice-Hall,␈α∩1963),␈α∪by␈α⊃J.␈α⊃H.␈↓ 	⊗␈ε"Wilkinson,␈α∩sh␈α↓o␈α␈ws
␈β∞i␈↓ ↓H␈ε"h␈α↓o␈α␈w␈αto␈α
apply␈α
error␈αanalysis␈α
of␈α
the␈αindividual␈α
arithmetic␈αoperations␈α
to␈α
the␈αerror
␈β∂∀␈↓ ↓H␈ε"analysis␈α	of␈α	large-scale␈α
problems;␈α
see␈α	also␈α
his␈α	treatise␈α	on␈ε/␈α
The␈α	Algebraic␈α	Eigen␈α␈v␈α}alue
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε/Problem␈ε"␈α(Oxford:␈αClarendon␈αPress,␈α1965).
␈β∂k␈↓ α␈ε"More␈α	recen␈α␈t␈α
w␈α␈ork␈α	on␈α
⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α	accuracy␈α
is␈α	summarized␈α
in␈α	t␈α␈w␈α␈o␈α	importan␈α␈t
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"papers␈α∂that␈α⊂can␈α⊂be␈α⊂especially␈α∂recommended␈α⊂for␈α⊂further␈α⊂study:␈α∪W.␈α⊂M.␈↓ 
:␈ε"Kahan,
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε/Proc.␈α	IFIP␈α	Congress␈ε"␈α
(1971),␈ε2␈α
2␈ε",␈α
1214↑1239;␈α
R.␈α	P.␈↓ π4␈ε"Bren␈α␈t,␈ε/␈α
IEEE␈α
T␈α⎇rans.␈ε2␈α	C↑22␈ε"␈α	(1973),
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"601↑607.␈α⊃Both␈αpapers␈αinclude␈α
useful␈αtheory␈αand␈α
dem␈α↓onstrate␈αthat␈αit␈α
pa␈α␈ys␈αo{␈αin
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"practice.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"227
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα$␈↓ α␈ε"The␈α∞relations␈ε6␈α∂≡␈ε",␈ε6␈α∞_␈ε",␈ε6␈α∂∨␈ε",␈ε6␈α∂→␈ε"␈α∞in␈α␈troduced␈α∂in␈α∞this␈α∞section␈α∂are␈α∞similar␈α∞to␈α∞ideas
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"published␈α∞by␈α∞A.␈↓ βS␈ε"v␈α}an␈α∞Wijngaarden␈α∞in␈ε/␈α∂BIT␈ε2␈α∞6␈ε"␈α∞(1966),␈α∂66↑81.␈α⊗Theorems␈α∞A␈α∞and␈α∞B
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"abo␈α␈v␈α␈e␈α∞w␈α␈ere␈α∞inspired␈α∞by␈α∂some␈α∞related␈α∞w␈α␈ork␈α∂of␈α∞Ole␈↓ πf␈ε"M␈ ller,␈ε/␈α∂BIT␈ε2␈α∞5␈ε"␈α∂(1965),␈α∞37↑50,
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"251↑255;␈αTheorem␈α
C␈α
is␈αdue␈α
to␈αT.␈α
J.␈↓ ε
␈ε"Dekk␈α␈er,␈ε/␈α
Numer.␈α
Math.␈ε2␈α18␈ε"␈α
(1971),␈α224↑242.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"Extensions␈α⊃and␈α∩re|nemen␈α␈ts␈α⊃of␈α∩all␈α∩three␈α⊃theorems␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈α∩been␈α⊃published␈α∩by␈α⊃S.
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"Linnainmaa,␈ε/␈α∞BIT␈ε2␈α∞14␈ε"␈α
(1974),␈α∂167↑202.␈α∃W.␈α∞M.␈↓ π"␈ε"Kahan␈α∞in␈α␈troduced␈α∞Theorem␈α∞D␈α
in
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"some␈α
unpublished␈αn␈α↓otes;␈αfor␈α
a␈αcomplete␈α
pro␈α↓of␈αand␈α
further␈αcommen␈α␈tary,␈α
see␈αJ.␈α
F.
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"Reiser␈αand␈αD.␈αE.␈↓ βZ␈ε"Kn␈α␈uth,␈ε/␈αInf.␈αProc.␈αLetters␈ε2␈α3␈ε"␈α(1975),␈α84↑87,␈α164.
␈β∧}␈↓ α␈ε"Unn␈α↓ormalized␈α∂⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∂arithmetic␈α∂w␈α␈as␈α∂recommended␈α∞by␈α∂F.␈α∂L.␈α∞Bauer
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"and␈α∞K.␈α∂Samelson␈α∞in␈α∂the␈α∞article␈α∂cited␈α∞abo␈α␈v␈α␈e,␈α⊂and␈α∞it␈α∂w␈α␈as␈α∞independen␈α␈tly␈α∂used␈α∞by
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"J.␈α∂W.␈α∞Carr␈α∂III␈α∂at␈α∂the␈α∂Univ␈α␈ersit␈α␈y␈α∂of␈α∂Michigan␈α∂in␈α∞1953.␈α→Sev␈α␈eral␈α∂y␈α␈ears␈α∂later,␈α∂the
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"MANIA␈α␈C␈α∩III␈α∪computer␈α∪w␈α␈as␈α∪designed␈α∪to␈α∩include␈α∪both␈α∪kinds␈α∪of␈α∪arithmetic␈α∩in
␈βε+␈↓ ↓H␈ε"its␈α⊂hardw␈α␈are;␈α∩see␈α⊂R.␈α⊂L.␈α⊂Ashenh␈α␈urst␈α⊂and␈α⊂N.␈α⊂Metropolis,␈ε/␈α⊂JA␈α␈CM␈ε2␈α⊂6␈ε"␈α⊂(1959),␈α⊃415↑
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"428,␈ε/␈αIEEE␈α
T␈α⎇rans.␈ε2␈αEC↑12␈ε"␈α
(1963),␈α896↑901;␈α
R.␈αL.␈α
Ashenh␈α␈urst,␈ε/␈αProc.␈α
Spring␈αJoin␈α␈t
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε/Computer␈α
Conf.␈ε2␈α
21␈ε"␈α∞(1962),␈α
195↑202.␈α∀See␈α∞also␈α
H.␈α
L.␈↓ λπ␈ε"Gra␈α␈y␈α
and␈α
C.␈↓ 	[␈ε"Harrison,␈α
Jr.,
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε/Proc.␈α⊃Eastern␈α⊃Join␈α␈t␈α⊃Computer␈α⊃Conf.␈ε2␈α∩16␈ε"␈α⊃(1959),␈α∩244↑248,␈α∪and␈α⊃W.␈α⊃G.␈↓ 
8␈ε"W␈α⎇adey,
␈βπW␈↓ ↓H␈ε/JA␈α␈CM␈ε2␈α∂7␈ε"␈α⊂(1960),␈α⊃129↑139,␈α⊃for␈α∂further␈α⊂early␈α⊂discussions␈α⊂of␈α⊂unn␈α↓ormalized␈α∂arith-
␈βλβ␈↓ ↓H␈ε"metic.
␈βλ.␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α∞early␈α
dev␈α␈elopmen␈α␈ts␈α∞in␈α
in␈α␈terv␈α}al␈α∞arithmetic,␈α∞and␈α
some␈α∞m␈α↓odi|cations,␈α
see
␈βλY␈↓ ↓H␈ε"A.␈↓ ↓y␈ε"Gibb,␈ε/␈α∞CA␈α␈CM␈ε2␈α∞4␈ε"␈α
(1961),␈α∞319↑320;␈α∞B.␈α∞A.␈↓ εi␈ε"Chartres,␈ε/␈α
JA␈α␈CM␈ε2␈α∞13␈ε"␈α∞(1966),␈α
386↑403;
␈β	¬␈↓ ↓H␈ε"and␈αthe␈α
bo␈α↓ok␈ε/␈α
In␈α␈terv␈α}al␈α
Analysis␈ε"␈α
by␈α
Ram␈α↓on␈αE.␈↓ π≡␈ε"Mo␈α↓ore␈α
(Pren␈α␈tice-Hall,␈α
1966).␈α∩The
␈β	0␈↓ ↓H␈ε"subsequen␈α␈t␈α	⎇ourishing␈α	of␈α	this␈α	subject␈α	is␈α	described␈α	in␈α
Mo␈α↓ore's␈α	later␈α	bo␈α↓ok,␈ε/␈α	Meth␈α↓ods
␈β	[␈↓ ↓H␈ε/and␈αApplications␈αof␈αIn␈α␈terv␈α}al␈αAnalysis␈ε"␈α(SIAM,␈α1979).
␈β
ε␈↓ α␈ε"The␈α	bo␈α↓ok␈ε/␈α	Grundlagen␈α	des␈α
Numerischen␈α	Rechnens:␈α
Mathematische␈α	Begrund-
␈β
2␈↓ ↓H␈ε/ung␈α∂der␈α⊂Rechenarithmetik␈ε"␈α∂by␈α⊂Ulrich␈α∂Kulisch␈α⊂(Mannheim:␈α∪Bibl.␈α∂Inst.,␈α⊃1976)␈α∂is
␈β
]␈↓ ↓H␈ε"en␈α␈tirely␈α∪dev␈α␈oted␈α∪to␈α∀the␈α∪study␈α∪of␈α∪⎇oating␈α∀poin␈α␈t␈α∪arithmetic␈α∪systems;␈α↔see␈α∪also
␈βλ␈↓ ↓H␈ε"Kulisch's␈α
article␈α
in␈ε/␈αIEEE␈α
T␈α⎇rans.␈ε2␈α
C↑26␈ε"␈α(1977),␈α
610↑621,␈αand␈α
his␈αm␈α↓ore␈α
recen␈α␈t␈α
bo␈α↓ok
␈β3␈↓ ↓H␈ε"written␈α∞join␈α␈tly␈α∞with␈α∂W.␈α∞L.␈α∞Mirank␈α␈er,␈α∂en␈α␈titled␈ε/␈α∞Computer␈α∂Arithmetic␈α∞in␈α∞Theory
␈β↑␈↓ ↓H␈ε/and␈αPractice␈ε"␈α(New␈αY␈α⎇ork:␈αAcademic␈αPress,␈α1980).
␈βc␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β
5␈↓ ↓H␈ε0No␈α␈te:␈ε#␈αNorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ed␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α
arithm␈α␈etic␈αis␈αassu␈α␈med␈α
un␈α␈less␈αth␈α␈e␈αcon␈α}trary␈α
is␈αspe␈α␈ci|ed␈α␈.
␈β
h␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αide␈α␈n␈α␈tit␈α␈y␈α(7)␈αis␈αa␈αco␈α␈nseq␈α␈uen␈α␈ce␈αo␈α␈f␈α(2␈α␈)␈αt␈α␈hrou␈α␈gh␈α
(6).
␈β∞≤␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Use␈α∞id␈α␈en␈α␈tities␈α
(2)␈α∞th␈α␈rou␈α␈gh␈α
(8)␈α
to␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈α∞(␈ε)u␈ε7␈α	λ␈ε)␈α
x␈ε#␈α␈)␈ε7␈α	λ␈ε#␈α
(␈↓ 	7␈ε)v␈↓ 	Q␈ε7λ␈↓ 	|␈ε)y␈↓ 

␈ε#)␈ε7␈α∞∃␈ε)␈α
u␈ε7␈α	λ␈↓ ≠␈ε)v
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈ε)␈αx␈ε7␈α	∃␈ε#␈α	0␈αan␈α␈d␈↓ β⎇␈ε)y␈↓ ∧_␈ε7∃␈ε#␈α	0.
␈β∞w␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈αeigh␈α}t-digit␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αde␈α␈cimal␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈ε)␈αu␈ε#␈α↓,␈↓ λ
␈ε)v␈↓ λ≤␈ε#,␈αan␈α␈d␈↓ λq␈ε)w␈↓ 	∃␈ε#suc␈α␈h␈αth␈α␈at
␈β∂G␈↓ ∧g␈ε)u␈ε7␈αλ␈
␈ε#␈αλ(␈↓ ¬6␈ε)v␈↓ ¬O␈ε7␈
␈↓ ¬w␈ε)w␈↓ ε⊂␈ε#)␈ε7␈α
≤␈ε#␈α	(␈ε)u␈ε7␈αλ␈
␈↓ π≡␈ε)v␈↓ π0␈ε#)␈ε7␈απ␈
␈↓ πk␈ε)w␈↓ λ∧␈ε#,
␈β⊂↔␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
such␈α
tha␈α␈t␈αn␈α↓o␈αe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αor␈αun␈α␈de␈α␈r⎇o␈α␈w␈αo␈α␈ccur␈α␈s␈αd␈α␈ur␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈e␈αcomp␈α␈ut␈α␈ation␈α␈s.
␈β⊂J␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)10␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Is␈αit␈αp␈α␈ossible␈αto␈α
ha␈α␈v␈α}e␈α⎇o␈α␈ating␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈↓ πb␈ε)u␈ε#␈α↓,␈↓ λ
␈ε)v␈↓ λ≠␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ λp␈ε)w␈↓ 	∀␈ε#f␈α↓o␈α␈r␈αwhich␈↓ 
(␈ε#ex␈α␈pon␈α␈en␈α}t
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
d␈α␈urin␈α␈g␈αthe␈αcalcu␈α␈lation␈αof␈ε)␈αu␈ε7␈α	␈
␈ε#␈αλ(␈↓ εz␈ε)v␈↓ π∀␈ε7␈
␈↓ π=␈ε)w␈↓ πV␈ε#)␈α
b␈α␈ut␈αn␈α↓o␈α␈t␈α
d␈α␈urin␈α␈g␈αthe␈αcalcu␈α␈lation
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈α(␈ε)u␈ε7␈απ␈
␈↓ α=␈ε)v␈↓ αO␈ε#)␈ε7␈απ␈
␈↓ β
␈ε)w␈↓ β#␈ε#?
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"228␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓g␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Is␈ε)␈αu␈ε7␈α	␈↓ βd␈ε)v␈↓ ∧↓␈ε#=␈ε)␈αu␈ε7␈α	␈
␈ε#␈αλ(1␈ε7␈αλ␈↓ ¬?␈ε)v␈↓ ¬Q␈ε#)␈αan␈αiden␈α}ti␈α↓t␈α␈y␈α␈,␈α
fo␈α␈r␈↓ πR␈ε#a␈α␈ll␈α
⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈ε)␈αu␈ε#␈α
a␈α␈nd
␈βαM␈↓ ↓H␈ε)v␈↓ ↓c␈ε7≤␈ε#␈α	0␈αsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈αno␈αex␈α␈pon␈α␈en␈α}t␈αo␈α␈v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αor␈αu␈α␈nd␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αoccu␈α␈rs?
␈ββ∧␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Are␈αeithe␈α␈r␈α
o␈α␈f␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αt␈α␈w␈α␈o␈αiden␈α}ti␈α↓ties␈αv␈α⎇ali␈α↓d␈αfor␈αall␈α⎇o␈α␈ating␈αpoin␈α}t␈α
n␈α}um␈α␈-
␈ββ,␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ers␈ε)␈αu␈ε#?␈α~(a␈α␈)␈α0␈ε7␈αλ␈	␈ε#␈απ(0␈ε7␈απ␈	␈ε)␈αλu␈ε#␈α↓)␈α	=␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓;␈α→(b)␈α1␈ε7␈απ␈ε#␈αλ(1␈ε7␈απ␈ε)␈αλu␈ε#)␈α
=␈ε)␈α	u␈ε#␈α↓.
␈ββE␈↓ βS␈ε↓b
␈ββb␈↓ βU␈ε&2
␈ββg␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈1␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Let␈↓ β8␈ε)u␈↓ βx␈ε#stan␈α␈d␈αfo␈α␈r␈ε)␈αu␈ε7␈απ␈
␈ε)␈αλu␈ε#.␈α∂Find␈α
⎇o␈α␈ating␈α
bina␈α␈ry␈αn␈α}um␈α}bers␈ε)␈αu␈ε#␈αa␈α␈nd␈↓ 
π␈ε)v␈↓ 
$␈ε#su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈ββq␈↓ ↓}␈ε↓b␈↓ αb␈ε↓b␈↓ ∧.␈ε↓b
␈β∧
␈↓ α␈ε&2␈↓ αd␈ε&2␈↓ ∧0␈ε&2
␈β∧∪␈↓ ↓H␈ε#2␈α␈(␈↓ ↓c␈ε)u␈↓ α ␈ε#+␈↓ αI␈ε)v␈↓ α|␈ε#)␈α
<␈α	(␈ε)u␈ε7␈αλλ␈↓ ∧
␈ε)v␈↓ ∧≠␈ε#)␈↓ ∧H␈ε#.
␈β∧I␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧K␈↓ ↓c␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Let␈ε)␈α∂␈ε#␈α	=␈α	0.000␈α␈1;␈αwhich␈αo␈α␈f␈αthe␈αrela␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns
␈β¬≡␈↓ ββ␈ε)u␈ε7␈α
≡␈↓ βK␈ε)v␈↓ β}␈ε#(␈ε)∂␈ε#),␈ε)␈↓ ∧su␈ε7␈α
_␈↓ ¬:␈ε)v␈↓ ¬m␈ε#(␈ε)∂␈ε#),␈ε)␈↓ εcu␈ε7␈α	∨␈↓ π*␈ε)v␈↓ π]␈ε#(␈ε)∂␈ε#),␈ε)␈↓ λRu␈ε7␈α
→␈↓ 	~␈ε)v␈↓ 	M␈ε#(␈ε)∂␈ε#)
␈β¬q␈↓ ↓H␈ε#hold␈αfo␈α␈r␈αthe␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αpa␈α␈i␈α↓rs␈↓ ∧←␈ε#o␈α␈f␈αbase␈α
10,␈αex␈α␈cess␈α0,␈αeigh␈α}t-digit␈α⎇o␈α␈ating␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈?
␈βε(␈↓ ↓e␈ε#a)␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈α	(1,␈αε+.314␈α␈159␈α␈27),␈↓ ∧M␈ε)v␈↓ ∧h␈ε#=␈α
(1␈α␈,␈αε+.␈α↓3␈α␈141␈α␈600␈α␈0);
␈βεQ␈↓ ↓c␈ε#b)␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈α	(0,␈αε+.999␈α␈970␈α␈00),␈↓ ∧M␈ε)v␈↓ ∧h␈ε#=␈α
(1␈α␈,␈αε+.␈α↓1␈α␈000␈α␈003␈α␈9);
␈βεz␈↓ ↓g␈ε#c)␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈α	(24,␈α¬+␈α↓.60␈α␈225␈α␈200␈α␈),␈↓ ∧↑␈ε)v␈↓ ∧y␈ε#=␈α	(27,␈α¬+␈α↓.00␈α␈060␈α␈22␈α␈5);
␈βπ#␈↓ ↓c␈ε#d)␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈α	(24,␈α¬+␈α↓.60␈α␈225␈α␈200␈α␈),␈↓ ∧↑␈ε)v␈↓ ∧y␈ε#=␈α	(31,␈α¬+␈α↓.00␈α␈000␈α␈00␈α␈6);
␈βπL␈↓ ↓g␈ε#e)␈↓ α␈ε)u␈ε#␈α
=␈α	(24,␈α¬+␈α↓.60␈α␈225␈α␈200␈α␈),␈↓ ∧↑␈ε)v␈↓ ∧y␈ε#=␈α	(32,␈α¬+␈α↓.00␈α␈000␈α␈00␈α␈0).
␈βλβ␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈α
(33),␈αa␈α␈nd␈α
ex␈α␈plain␈α
wh␈α␈y␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈onc␈α␈l␈α↓u␈α␈sion␈α
can␈α␈not␈αb␈α␈e␈αs␈α␈treng␈α␈then␈α␈ed␈α
to␈α
the
␈βλ+␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈tion␈ε)␈αu␈ε7␈α	→␈↓ β	␈ε)w␈↓ β+␈ε#(␈↓ β6␈ε)∂␈↓ β[␈ε#+␈↓ ∧∧␈ε)∂␈↓ ∧!␈ε#).
␈βλ6␈↓ βD␈ε&1␈↓ ∧∩␈ε&2
␈βλ`␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλb␈↓ ↓S␈ε31␈α␈0.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(W␈α↓.␈α∞M␈α␈.␈↓ βt␈ε#K␈α␈aha␈α␈n.)␈α∨A␈α∞c␈α␈ertain␈α
comp␈α␈ute␈α␈r␈α∞per␈α␈f␈α↓o␈α␈rms␈α∞⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈α∞a␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c
␈β	
␈↓ ↓H␈ε#withou␈α␈t␈αp␈α␈rop␈α␈er␈αrou␈α␈nd␈α␈ing,␈αan␈α␈d,␈αin␈αfac␈α␈t,␈αits␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈n␈αrou␈α␈tine␈αignore␈α␈s
␈β	1␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈α∞b␈α␈ut␈α∞the␈α∞|␈α␈rst␈ε)␈α∞p␈ε#␈α∞m␈α↓os␈α␈t␈α∂sig␈α␈ni|ca␈α␈n␈α␈t␈α∞d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈α∞o␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞2␈ε)p␈ε#-d␈α␈igit␈α∞prod␈α␈uc␈α␈t␈↓ 	∀␈ε)f␈↓ 	5␈ε)f␈↓ 	V␈ε#.␈α∨(Th␈α␈u␈α␈s␈α∂wh␈α␈en
␈β	=␈↓ 	$␈ε,u␈↓ 	F␈ε,v
␈β	Y␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓j␈ε)f␈↓ α↔␈ε#<␈α
1/␈ε)␈α␈b␈ε#␈α↓,␈α∞th␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ast-sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈α
digit␈α
of␈ε)␈α
u␈ε7␈α
␈
␈↓ εu␈ε)v␈↓ π∀␈ε#a␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α}ys␈α
com␈α␈es␈α∞o␈α␈ut␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
zero,␈α∞d␈α␈ue␈α
to
␈β	e␈↓ ↓X␈ε,u␈↓ ↓z␈ε,v
␈β
↓␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bse␈α␈qu␈α␈en␈α␈t␈αnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation␈α␈.␈α↓)␈α~Sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈αth␈α␈i␈α↓s␈αcau␈α␈ses␈αth␈α␈e␈αm␈α↓o␈α␈n␈α↓o␈α␈tonicit␈α␈y␈αof␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈β
(␈↓ ↓H␈ε#to␈α∞fail;␈α∩i.e.,␈α⊂the␈α␈re␈α∂are␈α∞positiv␈α␈e␈α∞n␈α↓o␈α␈rmalized␈α∞⎇oa␈α␈ting␈α∞poin␈α}t␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈ε)␈α∂u␈ε#␈α↓,␈↓ 	M␈ε)v␈↓ 	←␈ε#,␈↓ 	x␈ε)w␈↓ 
 ␈ε#su␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t
␈β
P␈↓ ↓H␈ε)u␈ε#␈α	<␈↓ α∂␈ε)v␈↓ α,␈ε#b␈α␈ut␈ε)␈αu␈ε7␈αλ␈
␈↓ β,␈ε)w␈↓ βO␈ε#>␈↓ βy␈ε)v␈↓ ∧∩␈ε7␈
␈↓ ∧;␈ε)w␈↓ ∧T␈ε#.
␈βπ␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αLem␈α␈ma␈αT.
␈β?␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Carry␈αo␈α␈ut␈αth␈α␈e␈αproof␈αof␈αTh␈α␈eorem␈α
B␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓4␈α␈6)␈αwhe␈α␈n␈ε7␈αj␈↓ λ←␈ε)e␈↓ 	π␈ε7␈␈↓ 	/␈ε)e␈↓ 	M␈ε7j␈α
∃␈ε)␈α	p␈ε#.
␈βJ␈↓ λn␈ε,u␈↓ 	>␈ε,v
␈βt␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βv␈↓ ↓S␈ε31␈α␈3.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗So␈α␈me␈α⊂pro␈α␈gram␈α␈ming␈α⊂lan␈α␈gu␈α␈ages␈α⊂(an␈α␈d␈α⊂ev␈α}en␈α⊂som␈α␈e␈α⊃c␈α␈omp␈α␈uters␈α␈)␈α⊃ma␈α␈k␈α␈e␈α⊂use␈α⊂o␈α␈f
␈β≡␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α	po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c␈α	on␈α␈ly,␈α
with␈α	n␈α↓o␈α	p␈α␈ro␈α␈vision␈α	fo␈α␈r␈α
ex␈α␈act␈α	ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈s␈α
with␈α	in␈α␈te␈α␈gers.␈α∞If
␈βF␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈pera␈α␈tions␈α
on␈αin␈α}tegers␈αa␈α␈re␈αd␈α␈esired,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n,␈αof␈αco␈α␈urse␈α␈,␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈t␈αan␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈αas␈αa␈α
⎇o␈α␈ating
␈βm␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈oin␈α␈t␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er;␈α∂a␈α␈nd␈α
wh␈α␈en␈α
th␈α␈e␈α
⎇o␈α␈ating␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
o␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
sat␈α␈i␈α↓sfy␈α
th␈α␈e␈α
ba␈α␈sic␈α∞d␈α␈e|␈α␈nition␈α␈s␈α∞in
␈β
∃␈↓ ↓H␈ε#(9␈α␈),␈α
w␈α␈e␈α	k␈α␈n␈α↓o␈α}w␈α	tha␈α␈t␈α	all␈α	⎇o␈α␈ating␈αλpo␈α␈in␈α␈t␈α	o␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αλw␈α↓ill␈α	be␈αλex␈α␈act,␈α	pro␈α␈v␈α␈ided␈αλth␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	op␈α␈era␈α␈nd␈α␈s
␈β
<␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈αλthe␈α	a␈α␈nsw␈α␈er␈α	ca␈α␈n␈α	eac␈α␈h␈α	b␈α␈e␈α	repre␈α␈sen␈α␈ted␈αλex␈α␈actly␈α	with␈ε)␈α	p␈ε#␈α	sign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈t␈α	d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts.␈α∞Th␈α␈erefore←so
␈β
d␈↓ ↓H␈ε#lon␈α␈g␈α
as␈αw␈α␈e␈α
kno␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αar␈α␈en't␈αtoo␈α
l␈α↓a␈α␈rge←w␈α␈e␈αc␈α␈an␈α
ad␈α␈d,␈αsu␈α␈btra␈α␈ct,␈αor␈α
m␈α␈ultiply
␈β∞␈↓ ↓H␈ε#in␈α}tegers␈αwith␈αno␈αin␈α␈accu␈α␈racy␈α
du␈α␈e␈αto␈αrou␈α␈nd␈α␈ing␈αe␈α␈rrors.
␈β∞4␈↓ α␈ε#But␈α	sup␈α␈po␈α␈se␈α
th␈α␈at␈α	a␈α
p␈α␈rog␈α␈ramm␈α␈er␈α
w␈α␈an␈α}ts␈α
to␈α	d␈α␈etermin␈α␈e␈α
if␈ε)␈α
m␈ε#␈α	is␈α
a␈α␈n␈α	exa␈α␈ct␈α
m␈α}ultiple␈α
o␈α␈f␈ε)␈α
n␈ε#,
␈β∞\␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈ε)␈α∞m␈ε#␈α∞an␈α␈d␈ε)␈α∞n␈ε7␈α⊂≤␈ε#␈α∂0␈α∞ar␈α␈e␈α∂in␈α␈te␈α␈gers.␈α→S␈α␈up␈α␈pose␈α∞fu␈α␈rther␈α∞tha␈α␈t␈α∂a␈α∞su␈α␈bro␈α␈utine␈α∞is␈α∂a␈α}v␈α}ailab␈α␈l␈α↓e␈α∞to
␈β∞p␈↓ εS␈ε↓`
␈β∂∧␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈alculat␈α␈e␈α∞the␈α
qua␈α␈n␈α␈tit␈α␈y␈α∞ro␈α␈un␈α␈d(␈ε)u␈↓ ¬∩␈ε#mo␈α␈d␈↓ ¬V␈ε#1)␈α∞=␈ε)␈α∞u␈↓ π≥␈ε#1␈α
for␈α∞an␈α}y␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α∞⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α∞p␈α␈oin␈α␈t␈↓ 
b␈ε#n␈α}um␈α␈-
␈β∂
␈↓ εU␈ε&m␈α↓od
␈β∂+␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈er␈ε)␈α∂u␈ε#␈α↓,␈α⊂as␈α∂in␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂4.2.1↑␈α␈15.␈α≠One␈α∂g␈α␈o␈α↓od␈α∞w␈α␈a␈α␈y␈α∂to␈α∂d␈α␈etermin␈α␈e␈α∂wheth␈α␈er␈α∂or␈α∂n␈α↓o␈α␈t␈ε)␈α∂m␈ε#␈α∂i␈α↓s␈α∂a
␈β∂@␈↓ πo␈ε↓`
␈β∂S␈↓ ↓H␈ε#m␈α}ultiple␈αof␈ε)␈α
n␈ε#␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αb␈α␈e␈αto␈α
test␈αwhe␈α␈ther␈α
or␈αnot␈α(␈ε)m␈ε7␈αε␈ε)␈αλn␈ε#)␈↓ λ9␈ε#1␈α	=␈α
0␈α␈,␈αusing␈α
the␈α
assu␈α␈med
␈β∂Y␈↓ πr␈ε&m␈α↓od
␈β∂z␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e;␈α
b␈α␈ut␈αλpe␈α␈rhap␈α␈s␈αλroun␈α␈din␈α␈g␈αλerrors␈αλin␈αλthe␈αλ⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈αλca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α␈s␈α	will␈α	in␈α␈v␈α⎇ali␈α↓d␈α␈ate
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αtest␈αin␈αcerta␈α␈in␈αca␈α␈ses.
␈β⊂K␈↓ α␈ε#Find␈α
su␈α␈itab␈α␈l␈α↓e␈α
co␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈α
on␈α	the␈α
ra␈α␈ng␈α␈e␈α
of␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αv␈α⎇alue␈α␈s␈ε)␈αn␈ε7␈α	≤␈ε#␈α
0␈α
a␈α␈nd␈ε)␈α	m␈ε#,␈αsu␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈ε)␈α
m
␈β⊂←␈↓ ε(␈ε↓`
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#is␈αa␈αm␈α}ultiple␈αof␈ε)␈αn␈ε#␈αi␈α↓f␈αa␈α␈nd␈αonly␈αi␈α↓f␈α(␈ε)m␈ε7␈αλ␈ε)␈αλn␈ε#)␈↓ εr␈ε#1␈α=␈α0.␈α∩In␈αothe␈α␈r␈αw␈α␈ords,␈αsho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αi␈α↓f␈ε)␈αm
␈β⊂y␈↓ ε+␈ε&m␈α↓od
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈ε)␈α
n␈ε#␈αar␈α␈e␈αn␈α↓o␈α␈t␈αt␈α␈o␈α↓o␈αlarg␈α␈e,␈αthis␈αtest␈αis␈αv␈α}alid.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.2␈↓ 
v␈ε"229
␈β↓\␈↓ ∧X␈ε∞A␈α␈CC␈α↓URACY␈α
OF␈α
FLO␈α␈A␈α}TING␈α
POINT␈α
ARIT␈α↓HME␈α↓TIC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε314.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Fi␈α↓n␈α␈d␈α⊃a␈α∩su␈α␈itab␈α␈l␈α↓e␈ε)␈α⊃∂␈ε#␈α∩su␈α␈ch␈α⊃th␈α␈at␈α∩(␈ε)u␈ε7␈α␈
␈↓ π∞␈ε)v␈↓ π ␈ε#)␈ε7␈α␈
␈↓ πc␈ε)w␈↓ λ⊃␈ε7→␈ε)␈α∀u␈ε7␈α␈
␈ε#␈α(␈↓ 	≥␈ε)v␈↓ 	;␈ε7␈
␈↓ 	h␈ε)w␈↓ 
↓␈ε#)␈α∀(␈ε)∂␈ε#),␈α∀wh␈α␈en
␈βαK␈↓ εK␈ε"(
␈βαM␈↓ ↓H␈ε0u␈α␈nnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ed␈ε#␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis␈αbe␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αu␈α␈sed.␈↓ εW␈ε#This␈αgen␈α␈eralizes␈α(39␈α␈),␈αsinc␈α␈e␈αun␈α␈n␈α↓o␈α␈rmalized
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#m␈α}ultiplication␈απis␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλsa␈α␈me␈απas␈αλnorm␈α␈alized␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απwhen␈απth␈α␈e␈αλin␈α␈pu␈α␈t␈αλop␈α␈era␈α␈nd␈α␈s
␈ββ~␈↓ ∧[␈ε")
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε)u␈ε#,␈↓ ↓o␈ε)v␈↓ α↓␈ε#,␈αand␈↓ αV␈ε)w␈↓ αz␈ε#are␈αnorma␈α␈l␈α↓ize␈α␈d.
␈ββP␈↓ ↓;␈ε↓x
␈ββR␈↓ ↓S␈ε31␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈4␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(H.␈αBj␈↓ βS␈ε#∪␈↓ βS␈ε#o␈↓ βd␈ε#rk␈α␈.)␈α⊗Doe␈α␈s␈α
the␈α
co␈α␈mp␈α␈uted␈α	midp␈α␈oin␈α␈t␈α
o␈α␈f␈αa␈α␈n␈α
in␈α␈te␈α␈rv␈α}al␈α
alw␈α␈a␈α␈y␈α␈s␈α
l␈α↓ie␈α
b␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈ββz␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αen␈α␈dp␈α␈oin␈α␈ts?␈α→(In␈αo␈α␈ther␈αw␈α␈o␈α␈rds,␈αdo␈α␈es␈ε)␈αu␈ε7␈α
∀␈↓ ε7␈ε)v␈↓ εT␈ε#imply␈αt␈α␈hat␈ε)␈αu␈ε7␈α	∀␈ε#␈α
(␈ε)u␈ε7␈αλλ␈↓ 	⊂␈ε)v␈↓ 	!␈ε#)␈ε7␈αλ␈ε#␈απ2␈ε7␈α	∀␈↓ 
!␈ε)v␈↓ 
2␈ε#?)
␈β∧+␈↓ 	|␈ε&6
␈β∧/␈↓ ∧2␈ε"(␈↓ λ→␈ε")
␈β∧1␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(a)␈α
W␈α↓h␈α␈at␈α
is␈↓ ∧C␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧p␈ε#((␈↓ ¬ε␈ε)x␈↓ ¬0␈ε7λ␈↓ ¬[␈ε)x␈↓ ¬|␈ε#)␈ε7␈α	λ␈↓ ε:␈ε)x␈↓ ε\␈ε#)␈ε7␈α	λ␈↓ π~␈ε7↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πJ␈ε7λ␈↓ πt␈ε)x␈↓ λ2␈ε#whe␈α␈n␈ε)␈α
n␈ε#␈α∞=␈α
1␈↓ 	k␈ε#0␈↓ 
→␈ε#a␈α␈nd␈↓ 
\␈ε)x␈↓ ␈ε#=
␈β∧<␈↓ ¬_␈ε&1␈↓ ¬m␈ε&2␈↓ εM␈ε&3␈↓ λπ␈ε,n␈↓ 
n␈ε,k
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈.␈α↓1␈α␈11␈α␈111␈α␈1␈α
for␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ βI␈ε)k␈↓ β[␈ε#,␈α∞u␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
e␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α
⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
d␈α␈ecima␈α␈l␈α∞a␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α␈?␈α≥(b)␈α
Wha␈α␈t␈α
ha␈α␈pp␈α␈en␈α␈s
␈β¬␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈α
Eq␈α␈.␈α(14␈α␈)␈α
i␈α↓s␈α
u␈α␈sed␈α
to␈α	calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈te␈α
th␈α␈e␈↓ ¬n␈ε#stan␈α␈dard␈α	de␈α␈viation␈α	of␈α
the␈α␈se␈α
pa␈α␈rti␈α↓c␈α␈ular␈↓ 
≠␈ε#v␈α}a␈α␈lues␈↓ 
⎇␈ε)x␈↓ ∨␈ε#?
␈β¬␈↓ ∂␈ε,k
␈β¬'␈↓ ↓H␈ε#Wh␈α␈at␈α∞h␈α␈ap␈α␈pe␈α␈ns␈α
when␈α
Eqs.␈α
(15)␈α
an␈α␈d␈α
(␈α↓1␈α␈6)␈α
are␈α
used␈α
in␈α␈stead␈α␈?␈α≡(c)␈α
P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α
tha␈α␈t␈↓ 
∪␈ε)S␈↓ 
D␈ε7∃␈ε#␈α∞0␈α
in
␈β¬3␈↓ 
'␈ε,k
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#(1␈α␈6),␈αfo␈α␈r␈αall␈αc␈α␈h␈α↓o␈α␈i␈α↓ce␈α␈s␈αof␈↓ ∧∞␈ε)x␈↓ ∧0␈ε#,␈↓ ∧D␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ ∧q␈ε#,␈↓ ¬¬␈ε)x␈↓ ¬(␈ε#.
␈β¬[␈↓ ∧!␈ε&1␈↓ ¬_␈ε,k
␈βε¬␈↓ ↓V␈ε317.␈↓ α␈ε#[␈ε)28␈↓ α;␈ε#]␈α⊗W␈α⎇rite␈α∂a␈↓ ∧~␈ε#su␈α␈brou␈α␈tine,␈↓ ε⊂␈ε#,␈α⊂tha␈α␈t␈α∂co␈α␈mpa␈α␈res␈α∂th␈α␈e␈α∂⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂p␈α␈oin␈α␈t␈↓ 
≥␈ε#n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈α∂u
␈βεπ␈↓ βX␈ε∃MIX␈↓ ¬L␈ε∃FCMP
␈βε-␈↓ ↓H␈ε#in␈α∂loc␈α␈ation␈↓ β7␈ε#wi␈α↓t␈α␈h␈α∂the␈α∂⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α∂poin␈α}t␈α⊂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ π_␈ε)v␈↓ π9␈ε#i␈α↓n␈α∞register␈α∂A,␈α⊂a␈α␈nd␈α∂wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∂sets␈α∂the
␈βε/␈↓ αu␈ε∃ACC
␈βεU␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omp␈α␈arison␈α∂ind␈α␈icato␈α␈r␈α⊂to␈↓ ∧}␈ε#,␈↓ ¬m␈ε#,␈α⊃o␈α␈r␈↓ π+␈ε#,␈α⊃a␈α␈ccord␈α␈ing␈α∂as␈ε)␈α∂u␈ε7␈α⊃≡␈↓ 	b␈ε)v␈↓ 	t␈ε#,␈ε)␈α⊂u␈ε7␈α⊃_␈↓ 
c␈ε)v␈↓ 
u␈ε#,␈α⊃o␈α␈r
␈βεW␈↓ ∧:␈ε∃LESS␈↓ ¬_␈ε∃EQUAL␈↓ ε4␈ε∃GREATER
␈βε|␈↓ ↓H␈ε)u␈ε7␈α∨␈↓ α∀␈ε)v␈↓ α2␈ε#(␈ε)∂␈ε#);␈α∞h␈α␈ere␈ε)␈α
∂␈ε#␈αis␈α
store␈α␈d␈α
in␈αloca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈↓ π¬␈ε#as␈α
a␈αnonn␈α␈ega␈α␈tiv␈α␈e␈α
|␈α␈xe␈α␈d␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈αqu␈α␈an␈α␈tit␈α␈y
␈βε}␈↓ εα␈ε∃EPSILON
␈βπ$␈↓ ↓H␈ε#with␈α
the␈αd␈α␈ecimal␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αassu␈α␈med␈α
at␈αth␈α␈e␈αle$␈αof␈αthe␈αw␈α␈o␈α␈rd.␈α∂Assu␈α␈me␈αnorma␈α␈l␈α↓ized␈α
inp␈α␈uts.
␈βπZ␈↓ ↓V␈ε318.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗In␈αu␈α␈nnorma␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈αarith␈α␈metic␈αis␈αthere␈α
a␈αsuitab␈α␈le␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈ε)␈α∂␈ε#␈αsuch␈α
tha␈α␈t
␈βλ-␈↓ ∧⊗␈ε)u␈ε7␈απ␈
␈ε#␈αλ(␈↓ ∧d␈ε)v␈↓ ∧⎇␈ε7λ␈↓ ¬&␈ε)w␈↓ ¬?␈ε#)␈ε7␈α	→␈ε#␈α
(␈ε)u␈ε7␈αλ␈
␈↓ εM␈ε)v␈↓ ε↑␈ε#)␈ε7␈αλλ␈ε#␈απ(␈ε)u␈ε7␈αλ␈
␈↓ πh␈ε)w␈↓ λ↓␈ε#)␈α!(␈ε)␈α↓∂␈ε#␈α␈)␈α↓?
␈β	␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β	∞␈↓ ↓S␈ε31␈α␈9.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(W␈α↓.␈αM␈α␈.␈↓ βn␈ε#K␈α␈aha␈α␈n.)␈α_Consid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α
pro␈α␈cedu␈α␈re␈αfo␈α␈r␈α⎇o␈α␈ating␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αsum␈α␈-
␈β	5␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ation␈αo␈α␈f␈↓ α←␈ε)x␈↓ β↓␈ε#,␈↓ β⊂␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ β<␈ε#,␈↓ βK␈ε)x␈↓ βp␈ε#:
␈β	A␈↓ αr␈ε&1␈↓ β↑␈ε,n
␈β	␈␈↓ ↓←␈ε)s␈↓ απ␈ε#=␈↓ α2␈ε)c␈↓ αY␈ε#=␈α	0;
␈β

␈↓ ↓o␈ε&0␈↓ α@␈ε&0
␈β
5␈↓ ↓]␈ε)y␈↓ απ␈ε#=␈↓ α2␈ε)x␈↓ α\␈ε7␈	␈↓ β¬␈ε)c␈↓ βK␈ε#,␈↓ β{␈ε)s␈↓ ∧$␈ε#=␈↓ ∧O␈ε)s␈↓ ¬≡␈ε7λ␈↓ ¬G␈ε)y␈↓ ¬h␈ε#,␈↓ ε_␈ε)c␈↓ ε@␈ε#=␈α	(␈↓ εu␈ε)s␈↓ π≥␈ε7␈	␈↓ πE␈ε)s␈↓ λ
␈ε#)␈ε7␈αλ␈	␈↓ λI␈ε)y␈↓ λi␈ε#,␈↓ 	:␈ε#f␈α↓o␈α␈r␈α1␈ε7␈α	∀␈↓ 
3␈ε)k␈↓ 
N␈ε7∀␈ε)␈α
n␈ε#.
␈β
@␈↓ ↓n␈ε,k␈↓ αD␈ε,k␈↓ β∪␈ε,k␈↓ β"␈ε:␈␈ε&1␈↓ ∧␈ε,k␈↓ ∧←␈ε,k␈↓ ∧m␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ¬X␈ε,k␈↓ ε&␈ε,k␈↓ π¬␈ε,k␈↓ πU␈ε,k␈↓ πd␈ε:␈␈ε&1␈↓ λY␈ε,k
␈βα␈↓ ↓H␈ε#Let␈αth␈α␈e␈αrelativ␈α␈e␈α
errors␈αin␈αth␈α␈ese␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αb␈α␈e␈αde␈α␈|n␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αequ␈α␈ation␈α␈s
␈βO␈↓ β⊂␈ε)y␈↓ β:␈ε#=␈α	(␈↓ βp␈ε)x␈↓ ∧~␈ε7␈␈↓ ∧B␈ε)c␈↓ ¬	␈ε#)(1␈απ+␈↓ ¬`␈ε)⊃␈↓ εα␈ε#),␈↓ ε←␈ε)s␈↓ πλ␈ε#=␈α	(␈↓ π=␈ε)s␈↓ λ
␈ε#+␈↓ λ6␈ε)y␈↓ λV␈ε#)(1␈απ+␈↓ 	-␈ε)≠␈↓ 	P␈ε#),
␈βZ␈↓ β ␈ε,k␈↓ ∧α␈ε,k␈↓ ∧Q␈ε,k␈↓ ∧←␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ ¬r␈ε,k␈↓ εn␈ε,k␈↓ πM␈ε,k␈↓ π\␈ε:␈␈ε&1␈↓ λF␈ε,k␈↓ 	@␈ε,k
␈β␈␈↓ ∧\␈ε"(␈↓ π`␈ε")
␈β↓␈↓ ∧
␈ε)c␈↓ ∧1␈ε#=␈↓ ∧h␈ε#(␈↓ ∧s␈ε)s␈↓ ¬~␈ε7␈␈↓ ¬C␈ε)s␈↓ ε␈ε#)(1␈απ+␈↓ εb␈ε)␈
␈↓ π∧␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈↓ π@␈ε)y␈↓ πl␈ε#(1␈απ+␈↓ λ8␈ε)∞␈↓ λV␈ε#),
␈β
␈↓ ∧_␈ε,k␈↓ ¬β␈ε,k␈↓ ¬S␈ε,k␈↓ ¬b␈ε:␈␈ε&1␈↓ εt␈ε,k␈↓ πP␈ε,k␈↓ λF␈ε,k
␈β7␈↓ εt␈ε↓P
␈βS␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈ε7␈α	j␈↓ α0␈ε)⊃␈↓ αR␈ε7j␈ε#,␈ε7␈αεj␈↓ αs␈ε)≠␈↓ β⊗␈ε7j␈ε#,␈ε7␈αεj␈↓ β7␈ε)␈
␈↓ βY␈ε7j␈ε#␈α↓,␈ε7␈α¬j␈↓ β{␈ε)∞␈↓ ∧→␈ε7j␈α	∀␈ε)␈α
∂␈ε#.␈α∞Pro␈α␈v␈α␈e␈α	tha␈α␈t␈↓ ε≡␈ε)s␈↓ εI␈ε#=␈↓ π⎇␈ε#(1␈α¬+␈↓ λD␈ε)∩␈↓ λc␈ε#)␈↓ λn␈ε)x␈↓ 	⊃␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈ε7␈α
j␈↓ 
␈ε)∩␈↓ 
+␈ε7j␈α	∀␈ε#␈α
2␈ε)∂␈ε#␈α∧+
␈β←␈↓ αB␈ε,k␈↓ βε␈ε,k␈↓ βI␈ε,k␈↓ ∧	␈ε,k␈↓ ε.␈ε,n␈↓ λS␈ε,k␈↓ 	␈ε,k␈↓ 
≠␈ε,k
␈βg␈↓ π~␈ε&1␈ε:∀␈↓ πB␈ε,k␈↓ πQ␈ε:∀␈ε,n
␈β⎇␈↓ α∂␈ε&2
␈β
α␈↓ ↓H␈ε)O␈↓ ↓b␈ε#(␈ε)n␈↓ α↓␈ε)∂␈↓ α∨␈ε#).␈α∩[Th␈α␈eorem␈αλC␈α
sa␈α}ys␈α	th␈α␈at␈α	if␈ε)␈α
b␈ε#␈α	=␈α
2␈α	a␈α␈nd␈ε7␈αλj␈↓ εF␈ε)s␈↓ π∞␈ε7j␈α	∃␈α
j␈↓ πT␈ε)y␈↓ πu␈ε7j␈ε#␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α}v␈α␈e␈↓ 	↓␈ε)s␈↓ 	M␈ε#+␈↓ 	q␈ε)y␈↓ 
≠␈ε#=␈↓ 
F␈ε)s␈↓ 
i␈ε7␈␈↓ ∞␈ε)c
␈β
∞␈↓ εU␈ε,k␈↓ εd␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ πe␈ε,k␈↓ 	⊃␈ε,k␈↓ 	∨␈ε:␈␈ε&␈α↓1␈↓ 
α␈ε,k␈↓ 
U␈ε,k␈↓ ≤␈ε,k
␈β
*␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α␈.␈α⊗But␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈is␈α∞ex␈α␈ercise␈α
w␈α␈e␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α
to␈α
ob␈α␈tain␈α
an␈α
estima␈α␈te␈α
tha␈α␈t␈α∞is␈α∞v␈α⎇alid␈ε0␈α
ev␈α␈en␈α
wh␈α␈en
␈β
R␈↓ ↓H␈ε0⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈α
are␈α
not␈α
care␈α␈f␈α↓u␈α␈ll␈α↓y␈α
r␈α␈oun␈α␈de␈α␈d,␈ε#␈αa␈α␈ssumin␈α␈g␈α
only␈α
th␈α␈at␈α
each␈α
o␈α␈pe␈α␈ration
␈β
y␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈as␈αb␈α␈oun␈α␈de␈α␈d␈αrelativ␈α}e␈αerror.]
␈β∞0␈↓ ↓V␈ε320.␈↓ α␈ε#[␈ε)25␈↓ α;␈ε#]␈α⊗(S␈α␈.␈↓ β␈ε#Linn␈α␈ainm␈α␈aa.)␈α→Fi␈α↓n␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈ε)␈αu␈ε#,␈↓ επ␈ε)v␈↓ ε$␈ε#for␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈ε7␈αj␈ε)u␈ε7␈α↓j␈α	∃␈α
j␈↓ λ≠␈ε)v␈↓ λ-␈ε7j␈ε#␈αan␈α␈d␈α(4␈α␈7)␈αfail␈α↓s␈α␈.
␈β∞f␈↓ ↓V␈ε321.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(T.␈α∞J.␈↓ β]␈ε#Dekk␈α}er.)␈α∨Th␈α␈eore␈α␈m␈α∞C␈α∞sho␈α␈ws␈α∞ho␈α␈w␈α∞to␈α
do␈α
ex␈α␈act␈α∞a␈α␈dd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈α∞⎇o␈α␈ating
␈β∂∞␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈inar␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers.␈α∃Ex␈α␈plain␈α
ho␈α␈w␈α
to␈αdo␈ε0␈αexa␈α␈ct␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈ε#:␈α∂Ex␈α␈press␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈ε)␈α
u␈↓ 
r␈ε)v␈↓ ⊃␈ε#in
␈β∂0␈↓ β&␈ε:0␈↓ ¬→␈ε:0
␈β∂5␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α	for␈α␈m␈↓ αL␈ε)w␈↓ αh␈ε#+␈↓ β
␈ε)w␈↓ β.␈ε#,␈α
whe␈α␈re␈↓ ∧∨␈ε)w␈↓ ∧A␈ε#an␈α␈d␈↓ ¬␈ε)w␈↓ ¬*␈ε#are␈α	co␈α␈mp␈α␈uted␈αλfrom␈αλtw␈α␈o␈αλgiv␈α␈en␈αλ⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α	bin␈α␈ary␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β∂]␈↓ ↓H␈ε)u␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ α'␈ε)v␈↓ α9␈ε#,␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αon␈α␈ly␈αth␈α␈e␈αop␈α␈eration␈α␈s␈ε7␈αλ␈ε#␈α↓,␈ε7␈α␈	␈ε#,␈αa␈α␈nd␈ε7␈α
␈
␈ε#␈α↓.
␈β⊂∪␈↓ ↓V␈ε322.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Can␈↓ βF␈ε#dri$␈α⊂occu␈α␈r␈α⊂in␈α⊂⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂p␈α␈oin␈α␈t␈α⊂m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈/div␈α␈i␈α↓sion␈α␈?␈α≡Co␈α␈nsid␈α␈er␈α⊂the
␈β⊂;␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈que␈α␈nce␈↓ αQ␈ε)x␈↓ α⎇␈ε#=␈ε)␈α
u␈ε#,␈↓ βP␈ε)x␈↓ ∧5␈ε#=␈↓ ∧`␈ε)x␈↓ ¬~␈ε7␈
␈↓ ¬C␈ε)v␈↓ ¬U␈ε#,␈↓ ¬i␈ε)x␈↓ εN␈ε#=␈↓ εy␈ε)x␈↓ π[␈ε7␈↓ λ∧␈ε)v␈↓ λ⊗␈ε#,␈αgiv␈α}en␈ε)␈αu␈ε#␈αan␈α␈d␈↓ 	b␈ε)v␈↓ 	t␈ε#;␈αwh␈α␈at␈αis␈αthe
␈β⊂G␈↓ αc␈ε&0␈↓ βb␈ε&2␈ε,n␈ε&+1␈↓ ∧r␈ε&2␈ε,n␈↓ ¬|␈ε&2␈ε,n␈ε&␈α␈+␈α↓2␈↓ π␈ε&2␈ε,␈α␈n␈ε&+␈α↓1
␈β⊂c␈↓ ↓H␈ε#lar␈α␈gest␈αsu␈α␈bscrip␈α␈t␈↓ βA␈ε)k␈↓ β←␈ε#su␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧s␈ε)x␈↓ ¬∨␈ε7≤␈↓ ¬J␈ε)x␈↓ ε∨␈ε#i␈α↓s␈αp␈α␈ossible?
␈β⊂n␈↓ ¬ε␈ε,k␈↓ ¬\␈ε,k␈↓ ¬k␈ε&+2
␈β⊃ε␈↓ ¬␈␈ε↓`
␈β⊃↔␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β⊃→␈↓ ↓S␈ε32␈α␈3.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈6␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α␈e␈αo␈α␈r␈αdispro␈α}v␈α␈e:␈ε)␈αu␈ε7␈αλ␈	␈ε#␈αλ(␈ε)u␈↓ εI␈ε#1)␈α	=␈ε7␈α
b␈ε)u␈ε7c␈ε#,␈αfor␈αall␈α⎇oa␈α␈ting␈αp␈α␈oin␈α␈t␈ε)␈αu␈ε#.
␈β⊃∨␈↓ εα␈ε&m␈α↓od
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"230␈↓ 
b␈ε"4.2.2
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα%␈↓ ↓V␈ε324.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈7␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Con␈α␈si␈α↓d␈α␈er␈α	the␈α	set␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ ¬@␈ε#i␈α↓n␈α}terv␈α}a␈α␈l␈α↓s␈↓ εD␈ε#[␈↓ εN␈ε)u␈↓ εk␈ε#,␈↓ εz␈ε)u␈↓ π≤␈ε#],␈α
wh␈α␈ere␈↓ λ↔␈ε)u␈↓ λ>␈ε#a␈α␈nd␈↓ λ⎇␈ε)u␈↓ 	(␈ε#are␈α	eith␈α␈er␈α
non␈α␈zero
␈βα1␈↓ εa␈ε,l␈↓ π
␈ε,r␈↓ λ*␈ε,l␈↓ 	⊂␈ε,r
␈βαM␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αor␈αth␈α␈e␈αspec␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αsy␈α␈m␈α␈b␈α␈ols␈α+␈α↓0␈α␈,␈ε7␈α␈␈ε#0,␈α+␈ε71␈ε#␈α↓,␈ε7␈α␈1␈ε#␈α↓;␈αeac␈α␈h␈αin␈α␈ter␈α␈v␈α}al␈αm␈α␈us␈α␈t
␈βαt␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈↓ α∀␈ε)u␈↓ α;␈ε7∀␈↓ αf␈ε)u␈↓ βπ␈ε#,␈αa␈α␈nd␈↓ β\␈ε)u␈↓ ∧β␈ε#=␈↓ ∧.␈ε)u␈↓ ∧Z␈ε#is␈αall␈α↓o␈α}w␈α␈ed␈αo␈α␈nly␈αwh␈α␈en␈↓ π∩␈ε)u␈↓ π:␈ε#is␈α|n␈α␈i␈α↓te␈α
and␈α
n␈α↓o␈α␈nze␈α␈ro.␈α∂Th␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}terv␈α}a␈α␈l
␈ββ␈↓ α(␈ε,l␈↓ αy␈ε,r␈↓ βp␈ε,l␈↓ ∧A␈ε,r␈↓ π%␈ε,l
␈ββ≤␈↓ ↓H␈ε#[␈↓ ↓Q␈ε)u␈↓ ↓o␈ε#,␈↓ ↓}␈ε)u␈↓ α∨␈ε#]␈αst␈α␈and␈α␈s␈αfor␈αall␈α⎇o␈α␈ating␈α
poin␈α}t␈ε)␈αx␈ε#␈α
suc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ ε⎇␈ε)u␈↓ π$␈ε7∀␈ε)␈α	x␈ε7␈α	∀␈↓ λ∃␈ε)u␈↓ λ6␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈αw␈α␈e␈αreg␈α␈ard
␈ββ(␈↓ ↓e␈ε,l␈↓ α⊃␈ε,r␈↓ π⊃␈ε,l␈↓ λ(␈ε,r
␈ββk␈↓ ∧⊂␈ε7␈1␈ε#␈α
<␈ε7␈α
␈␈ε)x␈ε#␈α	<␈ε7␈α	␈␈ε#0␈α	<␈α
+0␈α	<␈α
+␈ε)x␈ε#␈α	<␈α	+␈ε7␈α↓1
␈β∧7␈↓ β↑␈ε"(
␈β∧9␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α
a␈α␈ll␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈ε)␈αx␈ε#.␈↓ βj␈ε#Th␈α␈u␈α␈s,␈↓ ∧I␈ε#[␈↓ ∧S␈ε#1␈α␈,␈αε2]␈αmea␈α␈ns␈α1␈ε7␈α∀␈ε)␈αx␈ε7␈α∀␈ε#␈α2;␈↓ π8␈ε#[␈↓ πB␈ε#+0,␈α¬1]␈αmean␈α␈s␈α0␈α<␈ε)␈αx␈ε7␈α∀␈ε#␈α1␈α␈;␈↓ 
H␈ε#[␈↓ 
R␈ε7␈␈ε#0,␈αε1␈α␈]
␈β∧a␈↓ ↓H␈ε#m␈α␈ean␈α␈s␈α∞0␈ε7␈α
∀␈ε)␈α∞x␈ε7␈α∞∀␈ε#␈α∞1␈α␈;␈↓ βu␈ε#[␈↓ β␈␈ε7␈␈ε#0,␈αε+0]␈α∞d␈α␈en␈α↓o␈α␈tes␈α∞th␈α␈e␈α∞sin␈α␈gle␈α∞v␈α}a␈α␈lue␈α
0;␈α∂and␈↓ λe␈ε#[␈↓ λn␈ε7␈␈α↓1␈ε#,␈αε+␈ε71␈ε#]␈α∞stand␈α␈s␈α∞fo␈α␈r
␈β¬ε␈↓ αj␈ε")
␈β¬λ␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈v␈α␈ery␈α␈thing␈α␈.␈↓ ββ␈ε#S␈α␈h␈α↓o␈α}w␈αλh␈α↓o␈α}w␈αλto␈αλde␈α␈|n␈α␈e␈αλap␈α␈pro␈α␈priate␈απarithm␈α␈etic␈αλop␈α␈eration␈α␈s␈αλon␈απall␈αλsuch␈απin␈α␈terv␈α⎇als,
␈β¬0␈↓ ↓H␈ε#withou␈α␈t␈αreso␈α␈rting␈αto␈α\o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w"␈αor␈α\u␈α␈nd␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w"␈αor␈αoth␈α␈er␈αa␈α␈n␈α↓o␈α␈malou␈α␈s␈αi␈α↓n␈α␈dica␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αex␈α␈cep␈α␈t
␈β¬X␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈en␈αd␈α␈ividin␈α␈g␈αby␈α
an␈αin␈α}terv␈α}al␈αth␈α␈at␈αinclu␈α␈des␈αze␈α␈ro.
␈βελ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε
␈↓ ↓S␈ε32␈α␈5.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Whe␈α␈n␈αp␈α␈eop␈α␈l␈α↓e␈α
spea␈α␈k␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αinac␈α␈cura␈α␈cy␈αin␈α
⎇oa␈α␈ting␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αa␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c␈αth␈α␈ey␈α
o$en
␈βε2␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈scribe␈α⊂errors␈α⊂to␈α⊃\␈α␈can␈α␈cellation␈α␈"␈α⊃th␈α␈at␈↓ ¬{␈ε#o␈α␈ccu␈α␈rs␈α⊃du␈α␈ring␈α⊂the␈α⊂sub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α⊃o␈α␈f␈α⊃ne␈α␈arly␈α⊃e␈α␈qua␈α␈l
␈βεY␈↓ ↓H␈ε#q␈α␈ua␈α␈n␈α␈tities.␈α∂Bu␈α␈t␈α
when␈ε)␈α	u␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ∧←␈ε)v␈↓ ∧z␈ε#are␈α	ap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈α	eq␈α␈ual,␈α
the␈α	di{␈α␈erenc␈α␈e␈ε)␈α
u␈ε7␈α¬␈	␈↓ 	s␈ε)v␈↓ 
∂␈ε#is␈α
o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α␈,␈αwith␈α
n␈α↓o␈αe␈α␈rror.␈α∂Wha␈α␈t␈αdo␈αth␈α␈ese␈αp␈α␈eop␈α␈le␈αreally␈αmea␈α␈n?
␈βπ3␈↓ ↓V␈ε326.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(H.␈α
G.␈↓ βw␈ε#Diam␈α↓o␈α␈nd␈α␈.)␈α↔S␈α␈up␈α␈po␈α␈se␈↓ ε&␈ε)f␈↓ ε:␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α
is␈αa␈α
str␈α␈i␈α↓ct␈α␈l␈α↓y␈α
in␈α␈creasin␈α␈g␈α
fun␈α␈ction␈α
o␈α␈n␈α
some
␈βπ[␈↓ ↓H␈ε#in␈α}terv␈α}al␈↓ αC␈ε#[␈↓ αL␈ε)x␈↓ αn␈ε#,␈↓ α⎇␈ε)x␈↓ β∨␈ε#],␈α∂a␈α␈nd␈α
l␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧6␈ε)g␈↓ ∧G␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α∂b␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α}erse␈α∞fun␈α␈ction␈α␈.␈α∨(F␈α}o␈α␈r␈α∞exa␈α␈mple,␈↓ 	T␈ε)f␈↓ 	v␈ε#an␈α␈d␈↓ 
:␈ε)g␈↓ 
X␈ε#migh␈α}t
␈βπf␈↓ α←␈ε&0␈↓ β∂␈ε&1
␈βλα␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈α\␈α␈exp␈α␈"␈αan␈α␈d␈α\␈α␈l␈α↓n␈α␈",␈αo␈α␈r␈α\ta␈α␈n"␈αan␈α␈d␈α\arc␈α␈tan␈α␈".)␈α≠If␈ε)␈αx␈ε#␈αis␈αa␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t
␈βλ"␈↓ βd␈ε#∂
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε)x␈↓ ↓v␈ε7∀␈ε)␈α
x␈ε7␈α
∀␈↓ αr␈ε)x␈↓ β∪␈ε#,␈α∂let␈↓ β]␈ε)f␈↓ βm␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α
=␈↓ ∧Q␈ε#ro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬&␈ε#(␈↓ ¬1␈ε)f␈↓ ¬E␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈))␈α↓,␈α∞a␈α␈nd␈α
if␈↓ εt␈ε)y␈↓ π∪␈ε#is␈α∞a␈α⎇oa␈α␈ting␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
such␈αtha␈α␈t
␈βλ6␈↓ ↓Z␈ε&0␈↓ β∧␈ε&1
␈βλJ␈↓ 	S␈ε#∂
␈βλR␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓[␈ε#(␈↓ ↓f␈ε)x␈↓ αλ␈ε#)␈ε7␈α∀␈↓ αI␈ε)y␈↓ αe␈ε7∀␈↓ β⊃␈ε)f␈↓ β%␈ε#(␈↓ β0␈ε)x␈↓ βQ␈ε#),␈α
let␈↓ ∧"␈ε#∂␈↓ ∧"␈ε)g␈↓ ∧3␈ε#(␈↓ ∧>␈ε)y␈↓ ∧P␈ε#)␈α
=␈↓ ¬⊃␈ε#ro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬f␈ε#(␈↓ ¬q␈ε)g␈↓ ε↓␈ε#(␈↓ ε␈ε)y␈↓ ε≡␈ε#));␈α
fu␈α␈rthe␈α␈rm␈α↓ore␈α␈,␈α
let␈ε)␈αh␈ε#␈α↓(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α=␈↓ 	0␈ε#∂␈↓ 	0␈ε)g␈↓ 	A␈ε#(␈↓ 	L␈ε)f␈↓ 	\␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)),␈αwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r
␈βλ]␈↓ ↓y␈ε&0␈↓ βB␈ε&1
␈βλy␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈is␈αis␈αde␈α␈|n␈α␈ed.␈α∂Al␈α↓t␈α␈h␈α↓ou␈α␈gh␈ε)␈α
h␈ε#␈α↓(␈ε)x␈ε#)␈αw␈α␈on␈α␈'t␈αa␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α}ys␈αbe␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈ε)␈αx␈ε#␈α␈,␈αd␈α␈ue␈αto␈αro␈α␈un␈α␈ding␈α␈,␈αw␈α␈e␈αex␈α␈pec␈α␈t
␈β	!␈↓ ↓H␈ε)h␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈αto␈αb␈α␈e␈α\n␈α␈ear"␈ε)␈α
x␈ε#.
␈β	C␈↓ ¬*␈ε,p
␈β	H␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈αif␈α
th␈α␈e␈αprec␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈↓ ¬≠␈ε)b␈↓ ¬E␈ε#i␈α↓s␈αat␈αleast␈α3␈α␈,␈α
an␈α␈d␈αi␈α↓f␈↓ πj␈ε)f␈↓ λ
␈ε#is␈α
st␈α␈ri␈α↓c␈α␈tl␈α↓y␈αc␈α␈onc␈α␈a␈α␈v␈α␈e␈αo␈α␈r␈α
strictly
␈β	j␈↓ β∀␈ε:0␈α↓0␈↓ ∧[␈ε:00
␈β	p␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}ex␈α(i.␈α↓e␈α␈.␈α↓,␈↓ β␈ε)f␈↓ β$␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈α
<␈α
0␈αor␈↓ ∧G␈ε)f␈↓ ∧k␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	>␈α
0␈αf␈α↓o␈α␈r␈αa␈α␈ll␈ε)␈αx␈ε#␈αin␈↓ π␈ε#[␈↓ π⊗␈ε)x␈↓ π7␈ε#,␈↓ πF␈ε)x␈↓ πh␈ε#]),␈αth␈α␈en␈αrep␈α␈eate␈α␈d␈αapp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αo␈α␈f
␈β	|␈↓ π(␈ε&0␈↓ πY␈ε&1
␈β
_␈↓ ↓H␈ε)h␈ε#␈αwil␈α↓l␈αbe␈ε0␈αs␈α␈table␈ε#␈αin␈αth␈α␈e␈αsen␈α␈se␈αtha␈α␈t
␈β
f␈↓ ¬!␈ε)h␈ε#(␈ε)h␈ε#␈α↓(␈ε)h␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)))␈α
=␈ε)␈α	h␈ε#␈α↓(␈ε)h␈ε#(␈ε)x␈ε#)),
␈β5␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α
all␈ε)␈αx␈ε#␈α	such␈α	tha␈α␈t␈αb␈α␈oth␈α	sides␈α
of␈α
th␈α␈is␈αe␈α␈qua␈α␈tion␈α
a␈α␈re␈α
de|␈α␈ne␈α␈d.␈α∂In␈α	oth␈α␈er␈α
w␈α␈ords␈α␈,␈αth␈α␈ere␈α
wil␈α↓l␈α
be
␈β]␈↓ ↓H␈ε#no␈α\␈α␈dri$"␈αif␈αthe␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s␈αare␈αp␈α␈rope␈α␈rl␈α↓y␈α
implem␈α␈en␈α␈ted␈α␈.
␈β	␈↓ λ7␈ε&1␈α␈06␈↓ 	|␈ε&107
␈β
␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∂␈↓ ↓S␈ε32␈α␈7.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗(W␈α↓.␈α∞M␈α␈.␈↓ βs␈ε#Kah␈α␈an.)␈α≡Let␈↓ ¬F␈ε)f␈↓ ¬Z␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈)␈α∞=␈α∞1␈α	+␈ε)␈α	x␈ε#␈α	+␈↓ πJ␈ε7↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ πz␈ε#+␈↓ λ$␈ε)x␈↓ λo␈ε#=␈↓ 	≡␈ε#(1␈ε7␈απ␈␈↓ 	j␈ε)x␈↓ 
'␈ε#)/(1␈ε7␈απ␈␈ε)␈αλx␈ε#␈α␈)
␈β1␈↓ ¬Y␈ε&2␈↓ π∞␈ε&2
␈β4␈↓ ∧i␈ε"(␈↓ ¬∧␈ε&1␈↓ π)␈ε")
␈β6␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈ε)␈α
x␈ε#␈α<␈α
1␈α␈,␈α∞a␈α␈nd␈αlet␈↓ βd␈ε)g␈↓ βt␈ε#(␈↓ β␈␈ε)y␈↓ ∧⊃␈ε#)␈α=␈↓ ∧U␈ε)f␈↓ ∧u␈ε#(␈↓ ¬≡␈ε7␈␈↓ ¬H␈ε)y␈↓ ¬h␈ε#)(␈α↓3␈αλ+␈αλ3.45␈↓ ε⎇␈ε)y␈↓ π≥␈ε#)␈↓ πA␈ε#for␈α
0␈α<␈↓ λ@␈ε)y␈↓ λ↑␈ε#<␈α1.␈α∀Ev␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈↓ 
D␈ε)g␈↓ 
U␈ε#(␈↓ 
`␈ε)y␈↓ 
q␈ε#)␈α
on
␈βG␈↓ ¬∧␈ε&3
␈βI␈↓ ¬∧␈∧I¬∧α∞
␈βX␈↓ εj␈ε:␈␈ε&␈α↓3␈↓ πL␈ε:␈␈ε&␈α↓4␈↓ λ.␈ε:␈␈ε&5␈↓ 	⊂␈ε:␈␈ε&6
␈β↑␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈ne␈α
o␈α␈r␈α
m␈α↓ore␈α\po␈α␈ck␈α␈e␈α␈t␈α
calcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tors,"␈α
for␈↓ ¬⎇␈ε)y␈↓ ε≠␈ε#=␈α
1␈↓ εZ␈ε#0␈↓ π∀␈ε#,␈α∞1␈↓ π<␈ε#0␈↓ πv␈ε#,␈α∞1␈↓ λ≥␈ε#0␈↓ λX␈ε#,␈α
1␈↓ λ␈␈ε#0␈↓ 	9␈ε#,␈α∞an␈α␈d␈α
ex␈α␈pla␈α␈i␈α↓n␈αall
␈β
∧␈↓ ¬o␈ε"(
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε#in␈α␈accu␈α␈racies␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλresults␈αλy␈α␈o␈α␈u␈αλob␈α␈tain.␈↓ ¬{␈ε#Sinc␈α␈e␈α	most␈αλpre␈α␈sen␈α␈t-d␈α␈a␈α␈y␈αλca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulato␈α␈rs␈α	d␈α␈o␈αλnot␈αλrou␈α␈nd
␈β
'␈↓ 
⊂␈ε&2␈↓ 
⎇␈ε&4
␈β
+␈↓  ␈ε")
␈β
-␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈orrectly␈α␈,␈αth␈α␈e␈α	results␈α	are␈α	o$en␈α	surp␈α␈rising.␈α∞Note␈α	tha␈α␈t␈↓ π@␈ε)g␈↓ πP␈ε#(␈ε)∂␈ε#)␈α
=␈α	10␈α␈7␈ε7␈α¬␈␈ε#␈α∧104␈α␈91.35␈↓ 
α␈ε)∂␈↓ 
$␈ε#+␈↓ 
J␈ε)O␈↓ 
d␈ε#(␈↓ 
o␈ε)∂␈↓ ␈ε#).
␈β∞)␈↓ ↓4␈ε=*␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.2.3.␈↓ α6␈ε=D␈α␈oub␈α↓le␈α␈-␈α↓P␈α␈r␈α↓e␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n␈α∞Calculati␈α↓o␈α␈n␈α↓s
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"Up␈α	to␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α	considered␈α
\single-precision"␈α
⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	arithmetic,␈α
which
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"essen␈α␈tially␈α
means␈αthat␈αthe␈α
⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αv␈α}alues␈α
w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αdealt␈α
with␈αcan␈αbe␈α
stored
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"in␈α
a␈α
single␈α∞machine␈α
w␈α␈ord.␈α∀When␈α∞single-precision␈α
⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
arithmetic␈α
does
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈αλyield␈αλsu}cien␈α␈t␈αλaccuracy␈αλfor␈αλa␈α	giv␈α␈en␈αλapplication,␈α	the␈αλprecision␈αλcan␈αλbe␈αλincreased
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"by␈αsuitable␈α
programming␈α
techniques␈α
that␈α
use␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αor␈α
m␈α↓ore␈α
w␈α␈ords␈α
of␈α
mem␈α↓ory␈αto
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈t␈αeach␈αn␈α␈um␈α␈ber.
␈β⊂m␈↓ α␈ε"Alth␈α↓ough␈α
w␈α␈e␈αshall␈α
discuss␈α
the␈α
general␈αquestion␈α
of␈α
high-precision␈α
calculations
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"in␈αSection␈α4.3,␈αit␈αis␈αappropriate␈αto␈αgiv␈α␈e␈αa␈αseparate␈αdiscussion␈αof␈αdouble-precision
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.3␈↓ 
v␈ε"231
␈β↓\␈↓ ¬{␈ε∞DOU␈α↓B␈α␈L␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"here.␈α⊂Special␈α
techniques␈αapply␈αto␈αdouble␈α
precision␈αthat␈αare␈αcomparativ␈α␈ely␈αinap-
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"propriate␈α
for␈α∞higher␈α∞precisions;␈α∂and␈α
double␈α∞precision␈α∞is␈α∞a␈α∞reasonably␈α
importan␈α␈t
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"topic␈α
in␈α
its␈α∞o␈α␈wn␈α
righ␈α␈t,␈α∞since␈α
it␈α∞is␈α
the␈α∞|rst␈α
step␈α
bey␈α␈ond␈α∞single␈α
precision␈α∞and␈α
it␈α
is
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"applicable␈αto␈αman␈α␈y␈αproblems␈αthat␈αdo␈αn␈α↓ot␈αrequire␈αextremely␈αhigh␈αprecision.
␈ββQ␈↓ α␈ε"Double-precision␈α∞calculations␈α∞are␈α∂alm␈α↓ost␈α∞alw␈α␈a␈α␈ys␈α∞required␈α∞for␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"rather␈α	than␈α
|xed␈α	poin␈α␈t␈α
arithmetic,␈α
except␈α	perhaps␈α
in␈α	statistical␈α	w␈α␈ork␈α
where␈α	|xed
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αdouble-precision␈αis␈α
comm␈α↓only␈αused␈αto␈α
calculate␈αsums␈αof␈α
squares␈αand␈αcross
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"products;␈α⊃since␈α⊂|xed␈α∂poin␈α␈t␈α⊂v␈α␈ersions␈α∂of␈α⊂double-precision␈α∂arithmetic␈α⊂are␈α∂simpler
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"than␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αv␈α␈ersions,␈αw␈α␈e␈αshall␈αcon|ne␈αour␈αdiscussion␈αhere␈αto␈αthe␈αlatter.
␈β¬)␈↓ α␈ε"Double␈αprecision␈αis␈αquite␈αfrequen␈α␈tly␈αdesired␈αn␈α↓ot␈αonly␈αto␈αextend␈α
the␈αprecision
␈β¬T␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈↓ α/␈ε"fraction␈αparts␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers,␈αbut␈αalso␈αto␈αincrease␈αthe␈αrange␈αof
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"the␈↓ αβ␈ε"exponen␈α␈t␈α	part.␈α∂Th␈α␈us␈α	w␈α␈e␈α
shall␈α	deal␈α	in␈α	this␈α
section␈α	with␈α	the␈α	follo␈α␈wing␈α	t␈α␈w␈α␈o-w␈α␈ord
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"format␈αfor␈αdouble-precision␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers␈αin␈αthe␈↓ 	≠␈ε"computer:
␈βε,␈↓ λW␈ε5MI␈α␈X
␈βεt␈↓ αY␈∧εtαYαβ2␈↓ ε`␈∧εtε`αβ2
␈βεv␈↓ αY␈∧εvαYHα␈↓ β!␈∧εvβ!Hα␈↓ βi␈∧εvβiHα␈↓ ∧1␈∧εv∧1Hα␈↓ ∧y␈∧εv∧yHα␈↓ ¬A␈∧εv¬AHα␈↓ ε	␈∧εvε	Hα␈↓ ε`␈∧εvε`Hα␈↓ π(␈∧εvπ(Hα␈↓ πp␈∧εvπpHα␈↓ λ8␈∧εvλ8Hα␈↓ 	␈∧εv	Hα␈↓ 	H␈∧εv	HHα␈↓ 
⊂␈∧εv
⊂Hα
␈βπ∧␈↓ αl␈ε6ε␈↓ β>␈ε(e␈↓ ∧ε␈ε(e␈↓ ∧K␈ε(f␈↓ ¬∪␈ε(f␈↓ ¬[␈ε(f␈↓ πB␈ε(f␈↓ λ
␈ε(f␈↓ λR␈ε(f␈↓ 	~␈ε(f␈↓ 	b␈ε(f␈↓ 
↔␈ε".␈↓ α␈ε"(1)
␈βπ=␈↓ αY␈∧π=αYαβ2␈↓ ε`␈∧π=ε`αβ2
␈βπ↑␈↓ ↓H␈ε"Here␈αλt␈α␈w␈α␈o␈αλbytes␈α	are␈αλused␈αλfor␈α	the␈αλexponen␈α␈t␈αλand␈α	eigh␈α␈t␈αλbytes␈αλare␈αλused␈α	for␈αλthe␈αλfraction.
␈βλ∧␈↓ ∧]␈ε%2
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε"The␈αexponen␈α␈t␈αis␈α\excess␈↓ ∧N␈ε(b␈↓ ∧n␈ε"/2,"␈αwhere␈ε(␈αb␈ε"␈αis␈αthe␈αbyte␈αsize.␈α⊂The␈αsign␈αwill␈αappear␈αin
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"the␈α
m␈α↓ost␈α
signi|can␈α␈t␈α
w␈α␈ord;␈α∞it␈α
is␈α∞con␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈α
to␈α
ign␈α↓ore␈α
the␈α∞sign␈α
of␈α
the␈α
other␈α
w␈α␈ord
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"completely.
␈β	␈↓ α␈ε"Our␈α	discussion␈α	of␈α	double-precision␈α	arithmetic␈α	will␈α	be␈α	quite␈αλmachine-orien␈α␈ted,
␈β	6␈↓ ↓H␈ε"because␈α∂it␈α∂is␈α⊂only␈α∂by␈α⊂studying␈α∂the␈α∂problems␈α⊂in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α∂in␈α⊂coding␈α∂these␈α∂routines
␈β	b␈↓ ↓H␈ε"that␈α∞a␈α∞person␈α∞can␈α∞properly␈α∞appreciate␈α∞the␈α∂subject.␈α⊗A␈α∞careful␈α∞study␈α∞of␈α∂the
␈β	d␈↓ 
t␈ε5MIX
␈β

␈↓ ↓H␈ε"programs␈αbelo␈α␈w␈αis␈αtherefore␈αessen␈α␈tial␈αto␈αthe␈αunderstanding␈αof␈αthe␈αmaterial.
␈β
8␈↓ α␈ε"In␈α∞this␈α∞section␈α∞w␈α␈e␈α∞shall␈α∞depart␈α∞from␈α∞the␈α∞idealistic␈α∞goals␈α∞of␈α∞accuracy␈α∞stated
␈β
c␈↓ ↓H␈ε"in␈α
the␈α
previous␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α
sections;␈α∞our␈α
double-precision␈α
routines␈α∞will␈ε/␈α
n␈α↓ot␈ε"␈α
round␈α
their
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"results,␈αand␈α
a␈αlittle␈α
bit␈αof␈αerror␈α
will␈αsometimes␈αbe␈α
allo␈α␈w␈α␈ed␈αto␈αcreep␈α
in.␈α⊂Users␈α
dare
␈β:␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ot␈α
trust␈αthese␈αroutines␈αto␈α↓o␈αm␈α␈uch.␈α⊂There␈α
w␈α␈as␈αample␈αreason␈αto␈αsqueeze␈αout␈α
ev␈α␈ery
␈βe␈↓ ↓H␈ε"possible␈α
drop␈α
of␈α
accuracy␈α
in␈α
the␈α
single-precision␈α
case,␈αbut␈α
n␈α↓o␈α␈w␈α
w␈α␈e␈α
face␈α
a␈α
di{eren␈α␈t
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε"situation:␈α≠(a)␈α
The␈α
extra␈α
programming␈α
required␈α
to␈αensure␈α
true␈α
double-precision
␈β;␈↓ ↓H␈ε"rounding␈α⊂in␈α⊂all␈α⊂cases␈α⊃is␈α⊂considerable;␈α∩fully␈α⊂accurate␈α⊃routines␈α⊂w␈α␈ould␈α⊂tak␈α␈e,␈α⊃sa␈α␈y,
␈βf␈↓ ↓H␈ε"t␈α␈wice␈α∞as␈α
m␈α␈uch␈α∞space␈α∞and␈α∞half␈α∞again␈α∞as␈α∞m␈α␈uch␈α∞m␈α↓ore␈α∞time.␈α⊗It␈α∞w␈α␈as␈α
comparativ␈α␈ely
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"easy␈α∞to␈α∞mak␈α␈e␈α∂our␈α∞single-precision␈α∂routines␈α∞perfect,␈α∂but␈α∂double␈α∞precision␈α∞brings
␈β
≡␈↓ π6␈ε↓␈
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"us␈αface␈α
to␈α
face␈αwith␈α
our␈αmachine's␈α
limitations.␈↓ πD␈ε"A␈α
similar␈αsituation␈α
occurs␈αwith
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"respect␈α∞to␈α∂other␈α∂⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α∂subroutines;␈α⊂w␈α␈e␈α∂can't␈α∞expect␈α∂the␈α∂cosine␈α∞routine
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"to␈α∞compute␈α∂round(␈↓ βs␈ε"cos␈↓ ∧)␈ε(x␈ε")␈α∂exactly␈α∂for␈α∂all␈ε(␈α∂x␈ε",␈α∂since␈α∂that␈α∂turns␈α∂out␈α∂to␈α∂be␈α∞virtually
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"impossible.␈α∪Instead,␈α∞the␈α
cosine␈α
routine␈α
sh␈α↓ould␈α
pro␈α␈vide␈α∞the␈α
best␈α
relativ␈α␈e␈α
error␈α
it
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"can␈αachiev␈α␈e␈αwith␈αreasonable␈αspeed,␈αfor␈αall␈αreasonable␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αx␈ε".␈α⊂Of␈αcourse,␈αthe
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"designer␈αof␈αthe␈αroutine␈αsh␈α↓ould␈↓ ¬&␈ε"try␈αto␈αmak␈α␈e␈αthe␈αcomputed␈αfunction␈αsatisfy␈αsimple
␈β∂.␈↓ π⊂␈ε↓`␈↓ λm␈ε↓`␈↓ 	s␈ε↓`
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"mathematical␈α∂la␈α␈ws␈α⊂whenev␈α␈er␈α⊂possible␈α⊂(e.g.,␈↓ π↔␈ε#c␈α␈os␈↓ πQ␈ε"(␈ε6␈␈ε(x␈ε")␈α⊂=␈↓ λs␈ε#cos␈↓ 	4␈ε(x␈ε",␈↓ 	b␈ε6j␈↓ 	z␈ε#cos␈↓ 
:␈ε(x␈ε6j␈α
∀␈ε"␈α
1␈↓ "␈ε",
␈β∂M␈↓ ε⎇␈ε↓↓
␈β∂Y␈↓ α↔␈ε↓`␈↓ β8␈ε↓`
␈β∂k␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α↑␈ε(x␈ε6␈α
∃␈↓ β␈␈ε(y␈↓ ∧ ␈ε"for␈α∞0␈ε6␈α∞∀␈ε(␈α∞x␈ε6␈α
∀␈↓ ¬␈␈ε(y␈↓ ε∨␈ε"<␈↓ εQ␈ε(→␈↓ εg␈ε").␈↓ π(␈ε"(b)␈α∞Single-precision␈α∞arithmetic␈α∞is
␈β∂l␈↓ α≡␈ε#c␈α␈os␈↓ β?␈ε#co␈α␈s
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"a␈α
\staple␈α∞fo␈α↓od"␈α∞that␈α∞ev␈α␈erybody␈α∞wh␈α↓o␈α
w␈α␈an␈α␈ts␈α∞to␈α∞emplo␈α␈y␈α∞⎇oating␈α∞poin␈α␈t␈α
arithmetic
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"m␈α␈ust␈αuse,␈αbut␈αdouble␈αprecision␈αis␈αusually␈αfor␈αsituations␈αwhere␈αsuch␈αclean␈αresults
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"aren't␈α
as␈αimportan␈α␈t.␈α⊂The␈α
di{erence␈αbet␈α␈w␈α␈een␈αsev␈α␈en-␈α
and␈αeigh␈α␈t-place␈αaccuracy␈α
can
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"be␈αn␈α↓oticeable,␈α
but␈αw␈α␈e␈α
rarely␈αcare␈α
about␈αthe␈α
di{erence␈αbet␈α␈w␈α␈een␈α15-␈α
and␈α16-place
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"232␈↓ 
b␈ε"4.2.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"accuracy.␈α⊂Double␈αprecision␈αis␈αm␈α↓ost␈αo$en␈αused␈αfor␈αin␈α␈termediate␈αsteps␈αduring␈αthe
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"calculation␈α
of␈α∞single-precision␈α∞results;␈α∞its␈α∞full␈α∞poten␈α␈tial␈α
isn't␈α∞needed.␈α≤(c)␈α∞It␈α
will
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"be␈αinstructiv␈α␈e␈αfor␈α
us␈αto␈αanalyze␈αthese␈α
procedures␈αin␈αorder␈α
to␈αsee␈αh␈α↓o␈α␈w␈αinaccurate
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"they␈α∂can␈α⊂be,␈α⊃since␈α⊂they␈α⊂t␈α␈ypify␈α⊂the␈α⊂t␈α␈ypes␈α∂of␈α⊂sh␈α↓ort␈α⊂cuts␈α⊂generally␈α⊂tak␈α␈en␈α⊂in␈α∂bad
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"single-precision␈αroutines␈α(see␈αexercises␈α7␈αand␈α8).
␈ββ|␈↓ α␈ε"Let␈α∂us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∂consider␈α∂addition␈α∞and␈α∂subtraction␈α∂operations␈↓ 	)␈ε"from␈α∂this␈α∞stand-
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t.␈α∃Subtraction␈α
is,␈α∞of␈α∞course,␈α∞con␈α␈v␈α␈erted␈α∞to␈α
addition␈α∞by␈α∞changing␈α
the␈α∞sign␈α
of
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞second␈α∂operand.␈α_Addition␈α∂is␈α∂performed␈α∂by␈α∞separately␈α∂adding␈α∂together␈α∞the
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"least-signi|can␈α␈t␈α⊃halv␈α␈es␈α∩and␈α∩the␈α∩m␈α↓ost-signi|can␈α␈t␈α⊃halv␈α␈es,␈α∀propagating␈α⊃\␈↓ 
4␈ε"carries"
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"appropriately.
␈β¬T␈↓ α␈ε"A␈α
di}cult␈α␈y␈α	arises,␈αh␈α↓o␈α␈w␈α␈ev␈α␈er,␈α
since␈α
w␈α␈e␈α	are␈α
doing␈↓ πc␈ε"signed-magnitude␈α	arithmetic:
␈β¬␈␈↓ ↓H␈ε"it␈αλis␈α	possible␈α	to␈α	add␈αλthe␈α	least-signi|can␈α␈t␈α	halv␈α␈es␈α	and␈α	to␈αλget␈α	the␈α	wrong␈α	sign␈αλ(namely,
␈βε*␈↓ ↓H␈ε"when␈αthe␈αsigns␈αof␈αthe␈αoperands␈αare␈αopposite␈αand␈αthe␈αleast-signi|can␈α␈t␈αhalf␈αof␈αthe
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"smaller␈α
operand␈α∞is␈α∞bigger␈α∞than␈α∞the␈α
least-signi|can␈α␈t␈α∞half␈α∞of␈α∞the␈α∞larger␈α
operand).
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"The␈αλsimplest␈αλsolution␈α	is␈αλto␈αλan␈α␈ticipate␈α	the␈αλcorrect␈αλsign;␈α
so␈αλin␈αλstep␈α	A2␈αλ(cf.␈αλAlgorithm
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"4.2.1A),␈α
w␈α␈e␈αn␈α↓ot␈α
only␈α
assume␈α
that␈↓ ¬a␈ε(e␈↓ ε∂␈ε6∃␈↓ ε>␈ε(e␈↓ ε←␈ε",␈α
w␈α␈e␈α
also␈α
assume␈αthat␈ε6␈α
j␈ε(u␈ε6j␈α∃␈αj␈↓ 
-␈ε(v␈↓ 
@␈ε6j␈ε".␈α∩This
␈βπ8␈↓ ¬q␈ε+u␈↓ εN␈ε+v
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"means␈αw␈α␈e␈αcan␈αbe␈αsure␈αthat␈αthe␈α|nal␈αsign␈αwill␈αbe␈αthe␈αsign␈αof␈ε(␈αu␈ε"␈α␈.␈α⊂In␈αother␈αrespects,
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"double-precision␈αaddition␈αis␈αv␈α␈ery␈αm␈α␈uch␈αlik␈α␈e␈αits␈αsingle-precision␈αcoun␈α␈terpart,␈αonly
␈βλ.␈↓ ↓H␈ε"ev␈α␈erything␈αis␈αdone␈αt␈α␈wice.
␈βλe␈↓ ↓H␈ε2Program␈α
A␈ε"␈α∞(␈ε/Double-precision␈α∞addition␈ε")␈ε2.␈ε"␈α≤The␈α∞subroutine␈↓ 	C␈ε"adds␈α∞a␈α
double-
␈βλg␈↓ λW␈ε5DFA␈α␈DD
␈β	⊂␈↓ ↓H␈ε"precision␈α⊂⎇oating␈α⊃poin␈α␈t␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ ¬Q␈ε(v␈↓ ¬d␈ε",␈α∩ha␈α␈ving␈α⊂the␈α⊃form␈α⊂(1),␈α∩to␈α⊃a␈α⊂double-precision
␈β	;␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α⊂u␈ε",␈α⊃assuming␈α⊂that␈↓ εW␈ε(v␈↓ εz␈ε"is␈α⊂initially␈α⊂in␈α⊂rAX␈α⊂(i.e.,␈α⊃registers␈α⊂A
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"and␈α∂X),␈α⊂and␈α∂that␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∂is␈α∂initially␈α∂stored␈α⊂in␈α∂locations␈↓ λ<␈ε"and␈↓ 	Q␈ε".␈α→The␈α∂answ␈α␈er
␈β	i␈↓ πt␈ε5ACC␈↓ 	¬␈ε5ACCX
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"appears␈α
both␈αin␈α
rAX␈α
and␈αin␈α
(␈↓ ¬C␈ε",␈↓ ε#␈ε").␈α⊂The␈α
subroutine␈↓ 	+␈ε"subtracts␈↓ 
E␈ε(v␈↓ 
b␈ε"from
␈β
∀␈↓ ¬
␈ε5ACC␈↓ ¬X␈ε5ACC␈α␈X␈↓ λB␈ε5DFS␈α␈UB
␈β
=␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈αunder␈αthe␈αsame␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tions.
␈β
h␈↓ α␈ε"Both␈α∪input␈α∀operands␈α∪are␈α∪assumed␈α∀to␈α∪be␈α∪n␈α↓ormalized,␈α∃and␈α∀the␈α∪answ␈α␈er␈α∪is
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalized.␈α∂The␈α
last␈α
portion␈α
of␈α
this␈α
program␈α
is␈α
a␈α	double-precision␈α
n␈α↓ormalization
␈β?␈↓ ↓H␈ε"procedure␈α	that␈α	is␈α
used␈α	by␈α
other␈α	subroutines␈α	of␈α
this␈α	section.␈α∂Exercise␈α
5␈α	sh␈α↓o␈α␈ws␈α	h␈α↓o␈α␈w
␈βj␈↓ ↓H␈ε"to␈αimpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αprogram␈αsigni|can␈α␈tly.
␈β ␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈1␈↓ α.␈ε5ABS␈↓ β3␈ε5E␈α␈QU␈↓ ∧⊃␈ε51:5␈↓ ¬t␈ε#Field␈αd␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈αa␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e
␈βG␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈2␈↓ α.␈ε5SIGN␈↓ β3␈ε5E␈α␈QU␈↓ ∧⊃␈ε50:0␈↓ ¬t␈ε#Field␈αd␈α␈e|n␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈αsign
␈βo␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈3␈↓ α.␈ε5EXPD␈↓ β3␈ε5E␈α␈QU␈↓ ∧⊃␈ε51:2␈↓ ¬t␈ε#Dou␈α␈ble-p␈α␈recision␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t␈α|␈α␈eld
␈β
⊗␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈4␈↓ α.␈ε5DFSUB␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5TEMP␈↓ ¬t␈ε#Dou␈α␈ble-p␈α␈recision␈α
sub␈α␈traction␈α␈:
␈β
>␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈5␈↓ β3␈ε5L␈α␈DAN␈↓ ∧⊃␈ε5TEMP␈↓ ¬t␈ε#Ch␈α␈ang␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈↓ πW␈ε)v␈↓ πi␈ε#.
␈β
f␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈6␈↓ α.␈ε5DFADD␈↓ β3␈ε5S␈α␈TJ␈↓ ∧⊃␈ε5EXITDF␈↓ ¬t␈ε#Dou␈α␈ble-p␈α␈recision␈α
add␈α␈iti␈α↓o␈α␈n:
␈β∞
␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈7␈↓ β3␈ε5C␈α␈MPA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC(AB␈α␈S)␈↓ ¬t␈ε#Com␈α␈pa␈α␈re␈ε7␈αj␈ε)␈α↓u␈ε7j␈ε#␈αwi␈α↓th␈ε7␈α
j␈↓ λλ␈ε)v␈↓ λ~␈ε7j␈ε#.
␈β∞5␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈8␈↓ β3␈ε5J␈α␈G␈↓ ∧⊃␈ε51F
␈β∞\␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈9␈↓ β3␈ε5J␈α␈L␈↓ ∧⊃␈ε52F
␈β∂∧␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈0␈↓ β3␈ε5C␈α␈MPX␈↓ ∧⊃␈ε5ACCX(A␈α␈BS)
␈β∂,␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈1␈↓ β3␈ε5J␈α␈LE␈↓ ∧⊃␈ε52F
␈β∂S␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈2␈↓ α.␈ε51H␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ARG␈↓ ¬t␈ε#If␈ε7␈αj␈ε)u␈ε7␈α↓j␈ε#␈α	<␈ε7␈α
j␈↓ εx␈ε)v␈↓ π
␈ε7j␈ε#,␈αi␈α↓n␈α}terch␈α␈an␈α␈ge␈ε)␈αu␈ε7␈α
$␈↓ 	!␈ε)v␈↓ 	3␈ε#.
␈β∂{␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈3␈↓ β3␈ε5S␈α␈TX␈↓ ∧⊃␈ε5ARGX
␈β⊂"␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈4␈↓ β3␈ε5L␈α␈DA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC
␈β⊂J␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈5␈↓ β3␈ε5L␈α␈DX␈↓ ∧⊃␈ε5ACCX
␈β⊂r␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈6␈↓ β3␈ε5E␈α␈NT1␈↓ ∧⊃␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε#(␈↓ ε=␈ε#an␈α␈d␈↓ πM␈ε#are␈α
i␈α↓n␈α
con␈α␈secu␈α␈ti␈α↓v␈α}e
␈β⊂t␈↓ ¬␈␈ε∃ACC␈↓ ε}␈ε∃ACCX
␈β⊃→␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈7␈↓ β3␈ε5M␈α␈OVE␈↓ ∧⊃␈ε5ARG(2)␈↓ ε6␈ε#l␈α↓o␈α␈cation␈α␈s.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.3␈↓ 
v␈ε"233
␈β↓\␈↓ ¬{␈ε∞DOU␈α↓B␈α␈L␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα&␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈8␈↓ α.␈ε52H␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5TEMP␈↓ ¬t␈ε#No␈α}w␈↓ ε␈␈ε#h␈α␈as␈αth␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er.
␈βα(␈↓ εA␈ε∃ACC
␈βαN␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈9␈↓ β3␈ε5L␈α␈D1N␈↓ ∧⊃␈ε5TEMP(E␈α␈XPD)␈↓ ¬t␈ε#rI␈↓ ε␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈α	␈␈↓ εr␈ε)e␈↓ π⊂␈ε#.
␈βαY␈↓ π␈ε,v
␈βαu␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈0␈↓ β3␈ε5L␈α␈D2␈↓ ∧⊃␈ε5ACC(EX␈α␈PD)␈↓ ¬t␈ε#rI␈↓ ε␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ εP␈ε)e␈↓ εp␈ε#.
␈ββ↓␈↓ ε←␈ε,u
␈ββ≥␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈1␈↓ β3␈ε5I␈α␈NC1␈↓ ∧⊃␈ε50,2␈↓ ¬t␈ε#rI␈↓ ε␈ε#1␈ε7␈α	␈ ␈↓ εP␈ε)e␈↓ εx␈ε7␈␈↓ π ␈ε)e␈↓ π>␈ε#.
␈ββ(␈↓ ε←␈ε,u␈↓ π/␈ε,v
␈ββD␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈2␈↓ β3␈ε5S␈α␈LAX␈↓ ∧⊃␈ε52␈↓ ¬t␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.
␈ββl␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈3␈↓ β3␈ε5S␈α␈RAX␈↓ ∧⊃␈ε51,1␈↓ ¬t␈ε#S␈α␈cale␈αrigh␈α}t.
␈β∧∀␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈4␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ARG␈↓ ¬t␈ε#0␈↓ ε∞␈ε)v␈↓ ε7␈ε)v␈↓ ε←␈ε)v␈↓ πλ␈ε)v
␈β∧∨␈↓ ε≡␈ε&1␈↓ εG␈ε&2␈↓ εp␈ε&3␈↓ π→␈ε&4
␈β∧;␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈5␈↓ β3␈ε5S␈α␈TX␈↓ ∧⊃␈ε5ARGX␈↓ π~␈ε)v␈↓ πC␈ε)v␈↓ πl␈ε)v␈↓ λ∃␈ε)v␈↓ λ>␈ε)v
␈β∧G␈↓ π+␈ε&5␈↓ πT␈ε&6␈↓ π|␈ε&7␈↓ λ%␈ε&8␈↓ λN␈ε&9
␈β∧c␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈6␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ARGX(S␈α␈IGN)␈↓ ¬t␈ε#S␈α␈tore␈αtru␈α␈e␈αsign␈αin␈α
bot␈α␈h␈αha␈α␈lv␈α␈es.
␈β¬
␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈7␈↓ β3␈ε5L␈α␈DA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC
␈β¬2␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈8␈↓ β3␈ε5L␈α␈DX␈↓ ∧⊃␈ε5ACCX
␈β¬Z␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈9␈↓ β3␈ε5S␈α␈LAX␈↓ ∧⊃␈ε52␈↓ ¬t␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.
␈βε↓␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈0␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε)u␈↓ ε ␈ε)u␈↓ εL␈ε)u␈↓ εw␈ε)u␈↓ π#␈ε)u
␈βε
␈↓ επ␈ε&1␈↓ ε3␈ε&2␈↓ ε←␈ε&3␈↓ π␈ε&4␈↓ π7␈ε&5
␈βε)␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈1␈↓ β3␈ε5S␈α␈LAX␈↓ ∧⊃␈ε54
␈βεP␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈2␈↓ β3␈ε5E␈α␈NTX␈↓ ∧⊃␈ε51
␈βεx␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈3␈↓ β3␈ε5S␈α␈TX␈↓ ∧⊃␈ε5EXPO␈↓ εA␈ε7␈ ␈ε#␈α
1␈α
(␈α↓s␈α␈ee␈αbe␈α␈l␈α↓o␈α}w␈α↓).
␈βεz␈↓ ¬t␈ε∃EXPO
␈βπ ␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈4␈↓ β3␈ε5S␈α␈RC␈↓ ∧⊃␈ε51␈↓ ¬t␈ε#1␈↓ ε∞␈ε)u␈↓ ε:␈ε)u␈↓ εe␈ε)u␈↓ π⊃␈ε)u
␈βπ+␈↓ ε!␈ε&5␈↓ εM␈ε&6␈↓ εy␈ε&7␈↓ π%␈ε&8
␈βπG␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈5␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε51F(SIG␈α␈N)␈↓ ¬t␈ε#A␈αtrick␈α␈,␈αsee␈α
comm␈α␈en␈α␈ts␈αin␈αte␈α␈xt.
␈βπo␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈6␈↓ β3␈ε5A␈α␈DD␈↓ ∧⊃␈ε5ARGX(0␈α␈:4)␈↓ ¬t␈ε#Ad␈α␈d␈α0␈↓ εV␈ε)v␈↓ ε␈␈ε)v␈↓ π(␈ε)v␈↓ πP␈ε)v␈↓ πp␈ε#.
␈βπz␈↓ εf␈ε&5␈↓ π∂␈ε&6␈↓ π8␈ε&7␈↓ πa␈ε&8
␈βλ⊗␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈7␈↓ β3␈ε5S␈α␈RAX␈↓ ∧⊃␈ε54
␈βλ>␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈8␈↓ α.␈ε51H␈↓ β3␈ε5D␈α␈ECA␈↓ ∧⊃␈ε51␈↓ ¬t␈ε#Rec␈α␈o␈α␈v␈α␈er␈αfro␈α␈m␈αinserte␈α␈d␈α1.␈α→(Sign␈α
v␈α}a␈α␈ri␈α↓e␈α␈s)
␈βλf␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈9␈↓ β3␈ε5A␈α␈DD␈↓ ∧⊃␈ε5ACC(0:␈α␈4)␈↓ ¬t␈ε#Ad␈α␈d␈αm␈α↓o␈α␈st␈αsi␈α↓g␈α␈ni|␈α␈can␈α}t␈αhalv␈α␈e␈α␈s.
␈β	
␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈0␈↓ β3␈ε5A␈α␈DD␈↓ ∧⊃␈ε5ARG␈↓ ¬t␈ε#(Ov␈α}er⎇o␈α}w␈αc␈α␈annot␈αo␈α␈ccu␈α␈r)
␈β	<␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈1␈↓ α.␈ε5DNORM␈↓ β3␈ε5J␈α␈ANZ␈↓ ∧⊃␈ε51F␈↓ ¬t␈ε#No␈α␈rmalization␈α
rou␈α␈tine:
␈β	d␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈2␈↓ β3␈ε5J␈α␈XNZ␈↓ ∧⊃␈ε51F␈↓ ¬t␈ε)f␈↓ ε%␈ε#in␈αrAX,␈↓ π≥␈ε)e␈↓ πJ␈ε#=␈↓ λ@␈ε#+␈↓ λi␈ε#rI␈↓ 	↓␈ε#2.
␈β	f␈↓ πu␈ε∃EXPO
␈β	o␈↓ ε∧␈ε,w␈↓ π+␈ε,w
␈β
␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈3␈↓ α.␈ε5DZERO␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε#If␈↓ ε∃␈ε)f␈↓ εD␈ε#=␈α
0␈α␈,␈αset␈↓ πH␈ε)e␈↓ πu␈ε7␈ ␈ε#␈α	0.
␈β
↔␈↓ ε&␈ε,w␈↓ πV␈ε,w
␈β
3␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈4␈↓ β3␈ε5J␈α␈MP␈↓ ∧⊃␈ε59F
␈β
Z␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈5␈↓ α.␈ε52H␈↓ β3␈ε5S␈α␈LAX␈↓ ∧⊃␈ε51␈↓ ¬t␈ε#No␈α␈rmalize␈αto␈αle$.
␈βα␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈6␈↓ β3␈ε5D␈α␈EC2␈↓ ∧⊃␈ε51
␈β*␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈7␈↓ α.␈ε51H␈↓ β3␈ε5C␈α␈MPA␈↓ ∧⊃␈ε5=0=(1:␈α␈1)␈↓ ¬t␈ε#Is␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈αby␈α␈te␈αzero␈α␈?
␈βQ␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈8␈↓ β3␈ε5J␈α␈E␈↓ ∧⊃␈ε52B
␈βy␈↓ ↓l␈ε)4␈α␈9␈↓ β3␈ε5S␈α␈RAX␈↓ ∧⊃␈ε52␈↓ ¬t␈ε#(Ro␈α␈un␈α␈ding␈α
omitted␈α␈)
␈β ␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈0␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC
␈βH␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈1␈↓ β3␈ε5L␈α␈DA␈↓ ∧⊃␈ε5EXPO␈↓ ¬t␈ε#Com␈α␈pu␈α␈te␈α|n␈α␈al␈αex␈α␈pon␈α␈en␈α}t.
␈βp␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈2␈↓ β3␈ε5I␈α␈NCA␈↓ ∧⊃␈ε50,2
␈β
↔␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈3␈↓ β3␈ε5J␈α␈AN␈↓ ∧⊃␈ε5EXPUND␈↓ ¬t␈ε#Is␈αit␈αneg␈α␈ativ␈α␈e?
␈β
?␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈4␈↓ β3␈ε5S␈α␈TA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC(EX␈α␈PD)
␈β
f␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈5␈↓ β3␈ε5C␈α␈MPA␈↓ ∧⊃␈ε5=1(3:3␈α␈)=␈↓ ¬t␈ε#Is␈αit␈αm␈α↓ore␈α
than␈α
t␈α␈w␈α␈o␈αby␈α␈tes?
␈β∞∞␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈6␈↓ β3␈ε5J␈α␈L␈↓ ∧⊃␈ε58F
␈β∞6␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈7␈↓ α.␈ε5EXPOVD␈↓ β3␈ε5H␈α␈LT␈↓ ∧⊃␈ε520
␈β∞]␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈8␈↓ α.␈ε5EXPUND␈↓ β3␈ε5H␈α␈LT␈↓ ∧⊃␈ε510
␈β∂¬␈↓ ↓l␈ε)5␈α␈9␈↓ α.␈ε58H␈↓ β3␈ε5L␈α␈DA␈↓ ∧⊃␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε#Bring␈α
answ␈α␈er␈αin␈α}to␈αrA.
␈β∂,␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈0␈↓ α.␈ε59H␈↓ β3␈ε5S␈α␈TX␈↓ ∧⊃␈ε5ACCX
␈β∂T␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈1␈↓ α.␈ε5EXITDF␈↓ β3␈ε5J␈α␈MP␈↓ ∧⊃␈ε5*␈↓ ¬t␈ε#Exit␈αfrom␈α
sub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈e.
␈β∂|␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈2␈↓ α.␈ε5ARG␈↓ β3␈ε5C␈α␈ON␈↓ ∧⊃␈ε50
␈β⊂#␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈3␈↓ α.␈ε5ARGX␈↓ β3␈ε5C␈α␈ON␈↓ ∧⊃␈ε50
␈β⊂K␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈4␈↓ α.␈ε5ACC␈↓ β3␈ε5C␈α␈ON␈↓ ∧⊃␈ε50␈↓ ¬t␈ε#⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αacc␈α␈um␈α␈u␈α␈lator
␈β⊂r␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈5␈↓ α.␈ε5ACCX␈↓ β3␈ε5C␈α␈ON␈↓ ∧⊃␈ε50
␈β⊃~␈↓ ↓l␈ε)6␈α␈6␈↓ α.␈ε5EXPO␈↓ β3␈ε5C␈α␈ON␈↓ ∧⊃␈ε50␈↓ ¬t␈ε#Part␈αo␈α␈f␈α\␈α␈ra␈α␈w␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t"
␈β⊃!␈↓ λq␈∧⊃!λq≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"234␈↓ 
b␈ε"4.2.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ α␈ε"When␈α⊂the␈α⊃least-signi|can␈α␈t␈α⊂halv␈α␈es␈α⊂are␈α⊂added␈α⊂together␈α⊃in␈α⊂this␈α⊂program,␈α⊃an
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"extra␈α⊂digit␈α⊂\1"␈α⊂is␈α⊂inserted␈α⊃at␈α⊂the␈α⊂le$␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂w␈α␈ord␈α⊃that␈α⊂is␈α⊂kn␈α↓o␈α␈wn␈α⊂to␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e␈α⊂the
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"correct␈α⊃sign.␈α"A$er␈α⊃the␈α∩addition,␈α∪this␈α∩byte␈α∩can␈α∩be␈α⊃0,␈α∀1,␈α∪or␈α⊃2,␈α∀depending␈α⊃on
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞circumstances,␈α∂and␈α∞all␈α∞three␈α∂cases␈α∞are␈α∞handled␈α∂sim␈α␈ultaneously␈α∞in␈α∞this␈α∞w␈α␈a␈α␈y.
␈ββQ␈↓ ↓H␈ε"(Compare␈αthis␈αwith␈α
the␈αrather␈α
cum␈α␈bersome␈αmeth␈α↓od␈αof␈α
complemen␈α␈tation␈αthat␈αis
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"used␈αin␈αProgram␈α4.2.1A.)
␈β∧(␈↓ α␈ε"It␈α
is␈αw␈α␈orth␈α
n␈α↓oting␈αthat␈α
register␈αA␈α
can␈α
be␈αzero␈α
a$er␈αthe␈α
instruction␈αon␈α
line␈α
40
␈β∧S␈↓ ↓H␈ε"has␈α	been␈α
performed;␈α
and,␈α
because␈α
of␈α	the␈α
w␈α␈a␈α␈y␈↓ πG␈ε"de|nes␈α
the␈α	sign␈α
of␈α	a␈α
zero␈α	result,
␈β∧U␈↓ π¬␈ε5MI␈α␈X
␈β∧}␈↓ ↓H␈ε"the␈αaccum␈α␈ulator␈α
con␈α␈tains␈αthe␈α
correct␈αsign␈α
that␈αis␈α
to␈αbe␈αattached␈α
to␈αthe␈α
result␈↓ ⊗␈ε"if
␈β¬)␈↓ ↓H␈ε"register␈αX␈α
is␈α
n␈α↓onzero.␈α∪If␈α
lines␈α39␈α
and␈α
40␈α
w␈α␈ere␈α
in␈α␈terchanged,␈α
the␈α
program␈αw␈α␈ould
␈β¬U␈↓ ↓H␈ε"be␈αincorrect,␈αev␈α␈en␈αth␈α↓ough␈αboth␈αinstructions␈αare␈α\␈↓ λβ␈ε""!
␈β¬W␈↓ πK␈ε5AD␈α␈D
␈βε
␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α∞let␈α
us␈α∞consider␈↓ ∧S␈ε"double-precision␈α
m␈α␈ultiplication.␈α∃The␈α
product␈α∞has␈α
four
␈βε8␈↓ ↓H␈ε"componen␈α␈ts,␈α	sh␈α↓o␈α␈wn␈α	schematically␈αλin␈α	Fig.␈α	4.␈α∞Since␈α	w␈α␈e␈α	need␈αλonly␈α	the␈α	le$m␈α↓ost␈αλeigh␈α␈t
␈βεc␈↓ ↓H␈ε"bytes,␈αit␈αis␈αcon␈α␈v␈α␈enien␈α␈t␈αto␈αw␈α␈ork␈αonly␈αwith␈αthe␈αdigits␈αto␈αthe␈αle$␈αof␈αthe␈αv␈α␈ertical␈αline
␈βπ∂␈↓ ↓H␈ε"in␈α
the␈αdiagram,␈αand␈αthis␈αmeans␈α
in␈αparticular␈αthat␈αw␈α␈e␈α
need␈αn␈α↓ot␈αev␈α␈en␈αcompute␈α
the
␈βπ:␈↓ ↓H␈ε"product␈αof␈αthe␈αt␈α␈w␈α␈o␈αleast-signi|can␈α␈t␈αhalv␈α␈es.
␈βπ␈␈↓ ↓H␈ε2Program␈α	M␈ε"␈α	(␈ε/Double-precision␈α	m␈α␈ultiplication␈ε")␈ε2.␈ε"␈α⊂The␈α	input␈α	and␈α	output␈α	con␈α␈v␈α␈en␈α␈tions
␈βλ*␈↓ ↓H␈ε"for␈αthis␈αsubroutine␈αare␈αthe␈αsame␈αas␈αfor␈αProgram␈αA.
␈βλm␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈1␈↓ α.␈ε5BYTE␈↓ β ␈ε5EQ␈α␈U␈↓ β}␈ε51(4:4)␈↓ ¬t␈ε#Byte␈α
si␈α↓z␈α␈e
␈β	∀␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈2␈↓ α.␈ε5QQ␈↓ β ␈ε5EQ␈α␈U␈↓ β}␈ε5BYTE*BY␈α␈TE/2␈↓ ¬t␈ε#Exc␈α␈ess␈αof␈αd␈α␈oub␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈αex␈α␈po␈α␈nen␈α}t
␈β	<␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈3␈↓ α.␈ε5DFMUL␈↓ β ␈ε5ST␈α␈J␈↓ β}␈ε5EXITDF␈↓ ¬t␈ε#Dou␈α␈ble-p␈α␈recision␈α
m␈α␈ultiplication␈α␈:
␈β	d␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈4␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5TEMP
␈β
␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈5␈↓ β ␈ε5SL␈α␈AX␈↓ β}␈ε52␈↓ ¬t␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.
␈β
3␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈6␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5ARG␈↓ ¬t␈ε)v
␈β
>␈↓ ε∧␈ε,m
␈β
Z␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈7␈↓ β ␈ε5ST␈α␈X␈↓ β}␈ε5ARGX␈↓ ¬t␈ε)v
␈β
f␈↓ ε∧␈ε,l
␈βα␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈8␈↓ β ␈ε5LD␈α␈A␈↓ β}␈ε5TEMP(EX␈α␈PD)
␈β*␈↓ ↓l␈ε)0␈α␈9␈↓ β ␈ε5AD␈α␈D␈↓ β}␈ε5ACC(EXP␈α␈D)
␈βQ␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈0␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5EXPO␈↓ εA␈ε7␈ ␈↓ εl␈ε)e␈↓ π∪␈ε#+␈↓ π<␈ε)e␈↓ πZ␈ε#.
␈βS␈↓ ¬t␈ε∃EXPO
␈β]␈↓ εz␈ε,u␈↓ πJ␈ε,v
␈βy␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈1␈↓ β ␈ε5EN␈α␈T2␈↓ β}␈ε5-QQ␈↓ ¬t␈ε#rI␈↓ ε␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈α	␈␈↓ π∀␈ε#.
␈β{␈↓ εr␈ε∃QQ
␈β ␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈2␈↓ β ␈ε5LD␈α␈A␈↓ β}␈ε5ACC
␈βH␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈3␈↓ β ␈ε5LD␈α␈X␈↓ β}␈ε5ACCX
␈βp␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈4␈↓ β ␈ε5SL␈α␈AX␈↓ β}␈ε52␈↓ ¬t␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈α
exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.
␈β
↔␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈5␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε)u
␈β
#␈↓ επ␈ε,m
␈β
?␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈6␈↓ β ␈ε5ST␈α␈X␈↓ β}␈ε5ACCX␈↓ ¬t␈ε)u
␈β
J␈↓ επ␈ε,l
␈β
f␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈7␈↓ β ␈ε5MU␈α␈L␈↓ β}␈ε5ARGX␈↓ ¬t␈ε)u␈↓ ε(␈ε7α␈↓ εQ␈ε)v
␈β
r␈↓ επ␈ε,m␈↓ εa␈ε,l
␈β∞∞␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈8␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5TEMP
␈β∞6␈↓ ↓l␈ε)1␈α␈9␈↓ β ␈ε5LD␈α␈A␈↓ β}␈ε5ARG(ABS␈α␈)
␈β∞]␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈0␈↓ β ␈ε5MU␈α␈L␈↓ β}␈ε5ACCX(AB␈α␈S)␈↓ ¬t␈ε7j␈↓ ¬⎇␈ε)v␈↓ ε.␈ε7α␈↓ εW␈ε)u␈↓ εt␈ε7j
␈β∞i␈↓ ε∞␈ε,m␈↓ εj␈ε,l
␈β∂¬␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈1␈↓ β ␈ε5SR␈α␈A␈↓ β}␈ε51␈↓ ¬t␈ε#0␈ε)␈α	x␈αλx␈α	x␈α	x
␈β∂,␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈2␈↓ β ␈ε5AD␈α␈D␈↓ β}␈ε5TEMP(1:␈α␈4)␈↓ ¬t␈ε#(Ov␈α}er⎇o␈α}w␈αc␈α␈annot␈αo␈α␈ccu␈α␈r)
␈β∂T␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈3␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5TEMP
␈β∂|␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈4␈↓ β ␈ε5LD␈α␈A␈↓ β}␈ε5ARG
␈β⊂#␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈5␈↓ β ␈ε5MU␈α␈L␈↓ β}␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε)v␈↓ ε%␈ε7α␈↓ εN␈ε)u
␈β⊂/␈↓ ε∧␈ε,m␈↓ εa␈ε,m
␈β⊂K␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈6␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5TEMP(SI␈α␈GN)␈↓ ¬t␈ε#S␈α␈tore␈αtru␈α␈e␈αsign␈αo␈α␈f␈αresult.
␈β⊂r␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈7␈↓ β ␈ε5ST␈α␈A␈↓ β}␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε#No␈α}w␈αp␈α␈rep␈α␈are␈αto␈αa␈α␈dd␈α
all␈αth␈α␈e
␈β⊃~␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈8␈↓ β ␈ε5ST␈α␈X␈↓ β}␈ε5ACCX␈↓ ε6␈ε#part␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈αto␈α␈geth␈α␈er.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.3␈↓ 
v␈ε"235
␈β↓\␈↓ ¬{␈ε∞DOU␈α↓B␈α␈L␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα"␈↓ ¬n␈ε(u␈↓ ε∩␈ε(u␈↓ ε6␈ε(u␈↓ εZ␈ε(u␈↓ ε}␈ε(u␈↓ πF␈ε(u␈↓ πj␈ε(u␈↓ λ∞␈ε(u␈↓ λ3␈ε"0␈↓ λW␈ε"0␈↓ λ|␈ε"=␈↓ 	*␈ε(u␈↓ 	c␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ 
≡␈ε(u
␈βα/␈↓ 	?␈ε+m␈↓ 
3␈ε+l
␈βαO␈↓ ¬o␈ε(v␈↓ ε∪␈ε(v␈↓ ε7␈ε(v␈↓ ε[␈ε(v␈↓ ε␈␈ε(v␈↓ πG␈ε(v␈↓ πk␈ε(v␈↓ λ∂␈ε(v␈↓ λ3␈ε"0␈↓ λW␈ε"0␈↓ λ|␈ε"=␈↓ 	*␈ε(v␈↓ 	`␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ 
≠␈ε(v
␈βα\␈↓ 	<␈ε+m␈↓ 
,␈ε+l
␈βαx␈↓ ¬o␈∧αx¬oαα{␈↓ 	9␈ε%2
␈βαz␈↓ ¬≡␈∧αz¬≡-α
␈βα}␈↓ ¬n␈ε(x␈↓ ε∩␈ε(x␈↓ ε6␈ε(x␈↓ εZ␈ε(x␈↓ ε}␈ε(x␈↓ πF␈ε(x␈↓ πk␈ε"0␈↓ λ∂␈ε"0␈↓ λ3␈ε"0␈↓ λW␈ε"0␈↓ λ|␈ε"=␈↓ 	*␈ε(∂␈↓ 	J␈ε(u␈↓ 	r␈ε6α␈↓ 
≡␈ε(v
␈ββ
␈↓ 	←␈ε+l␈↓ 
/␈ε+l
␈ββ'␈↓ ¬≡␈∧β'¬≡-α
␈ββ+␈↓ ∧⊗␈ε(x␈↓ ∧:␈ε(x␈↓ ∧↑␈ε(x␈↓ ¬α␈ε(x␈↓ ¬'␈ε(x␈↓ ¬n␈ε(x␈↓ ε∩␈ε(x␈↓ ε6␈ε(x␈↓ ε[␈ε"0␈↓ ε␈␈ε"0␈↓ λ|␈ε"=␈ε(␈α
∂␈↓ 	9␈ε(u␈↓ 	r␈ε6α␈↓ 
≡␈ε(v
␈ββ7␈↓ 	N␈ε+m␈↓ 
/␈ε+l
␈ββT␈↓ ¬≡␈∧βT¬≡-α
␈ββX␈↓ ∧⊗␈ε(x␈↓ ∧:␈ε(x␈↓ ∧↑␈ε(x␈↓ ¬α␈ε(x␈↓ ¬'␈ε(x␈↓ ¬n␈ε(x␈↓ ε∩␈ε(x␈↓ ε6␈ε(x␈↓ ε[␈ε"0␈↓ ε␈␈ε"0␈↓ λ|␈ε"=␈ε(␈α
∂␈↓ 	9␈ε(u␈↓ 	a␈ε6α␈↓ 

␈ε(v
␈ββd␈↓ 	N␈ε+l␈↓ 
≡␈ε+m
␈β∧↓␈↓ ¬≡␈∧∧↓¬≡-α
␈β∧¬␈↓ α>␈ε(x␈↓ αb␈ε(x␈↓ βε␈ε(x␈↓ β*␈ε(x␈↓ βN␈ε(x␈↓ ∧⊗␈ε(x␈↓ ∧:␈ε(x␈↓ ∧↑␈ε(x␈↓ ¬α␈ε(x␈↓ ¬'␈ε(x␈↓ λ|␈ε"=␈↓ 	*␈ε(u␈↓ 	c␈ε6α␈↓ 
∂␈ε(v
␈β∧⊃␈↓ 	?␈ε+m␈↓ 
!␈ε+m
␈β∧-␈↓ α?␈∧∧-α?αε+
␈β∧/␈↓ ¬≡␈∧∧/¬≡-α
␈β∧3␈↓ α;␈ε(w␈↓ α←␈ε(w␈↓ ββ␈ε(w␈↓ β'␈ε(w␈↓ βK␈ε(w␈↓ ∧∪␈ε(w␈↓ ∧7␈ε(w␈↓ ∧[␈ε(w␈↓ ∧␈␈ε(w␈↓ ¬#␈ε(w␈↓ ¬k␈ε(w␈↓ ε∂␈ε(w␈↓ ε3␈ε(w␈↓ εW␈ε(w␈↓ ε{␈ε(w␈↓ πC␈ε(w␈↓ πk␈ε"0␈↓ λ∂␈ε"0␈↓ λ3␈ε"0␈↓ λW␈ε"0
␈β∧{␈↓ αL␈ε3Fig.␈α4.␈ε#␈α~Do␈α␈ub␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sion␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αo␈α␈f␈αe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t-b␈α␈yte␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈arts.
␈βεα␈↓ ↓l␈ε)2␈α␈9␈↓ β ␈ε5LD␈α␈A␈↓ β}␈ε5ACCX(0:␈α␈4)␈↓ ¬t␈ε#0␈ε)␈α	x␈αλx␈α	x␈α	x
␈βε)␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈0␈↓ β ␈ε5AD␈α␈D␈↓ β}␈ε5TEMP␈↓ ¬t␈ε#(Ov␈α}er⎇o␈α}w␈αc␈α␈annot␈αo␈α␈ccu␈α␈r)
␈βεQ␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈1␈↓ β ␈ε5SR␈α␈AX␈↓ β}␈ε54
␈βεx␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈2␈↓ β ␈ε5AD␈α␈D␈↓ β}␈ε5ACC␈↓ ¬t␈ε#(Ov␈α}er⎇o␈α}w␈αc␈α␈annot␈αo␈α␈ccu␈α␈r)
␈βπ ␈↓ ↓l␈ε)3␈α␈3␈↓ β ␈ε5JM␈α␈P␈↓ β}␈ε5DNORM␈↓ ¬t␈ε#No␈α␈rmalize␈αan␈α␈d␈αe␈α␈xit.
␈βπ'␈↓ λ9␈∧π'λ9≠∂
␈βπe␈↓ α␈ε"Note␈α
the␈αcareful␈α
treatmen␈α␈t␈α
of␈αsigns␈α
in␈αthis␈α
program,␈α
and␈α
n␈α↓ote␈αalso␈α
the␈αfact
␈βλ⊂␈↓ ↓H␈ε"that␈αthe␈α
range␈α
of␈α
exponen␈α␈ts␈α
mak␈α␈es␈α
it␈αimpossible␈α
to␈α
compute␈α
the␈α
|nal␈αexponen␈α␈t
␈βλ<␈↓ ↓H␈ε"using␈α∞an␈α∞index␈α
register.␈α⊗Program␈α∞M␈α∞is␈α∞perhaps␈α∞to␈α↓o␈α∞slipsh␈α↓od␈α∞in␈α∞accuracy,␈α∞since
␈βλg␈↓ ↓H␈ε"it␈αthro␈α␈ws␈αa␈α␈w␈α␈a␈α␈y␈αall␈αthe␈αinformation␈αto␈αthe␈αrigh␈α␈t␈αof␈αthe␈αv␈α␈ertical␈αline␈αin␈αFig.␈α4;␈αthis
␈β	∩␈↓ ↓H␈ε"can␈α
mak␈α␈e␈αthe␈αleast␈αsigni|can␈α␈t␈αbyte␈α
as␈αm␈α␈uch␈αas␈α2␈αin␈α
error.␈α⊂A␈αlittle␈αm␈α↓ore␈α
accuracy
␈β	=␈↓ ↓H␈ε"can␈αbe␈αachiev␈α␈ed␈αas␈αdiscussed␈αin␈αexercise␈α4.
␈β	w␈↓ α␈ε"Double-precision␈α
⎇oating␈α	division␈α
is␈α
the␈α	m␈α↓ost␈α
di}cult␈α	routine,␈αor␈α	at␈α
least␈α	the
␈β
"␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ost␈αfrigh␈α␈tening␈αprospect␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αencoun␈α␈tered␈αso␈αfar␈αin␈αthis␈αchapter.␈α⊂Actually,
␈β
M␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αn␈α↓ot␈α
terribly␈αcomplicated,␈αonce␈αw␈α␈e␈αsee␈α
h␈α↓o␈α␈w␈αto␈αdo␈αit;␈αlet␈αus␈αwrite␈α
the␈αn␈α␈um␈α␈bers
␈β
x␈↓ ↓H␈ε"to␈α∂be␈α∂divided␈α∂in␈α∂the␈α∞form␈α∂(␈↓ ∧}␈ε(u␈↓ ¬9␈ε"+␈ε(␈α
∂␈↓ ¬v␈ε(u␈↓ ε⊗␈ε")/(␈↓ ε@␈ε(v␈↓ εx␈ε"+␈ε(␈α
∂␈↓ π4␈ε(v␈↓ πQ␈ε"),␈α⊂where␈ε(␈α∂∂␈ε"␈α∂is␈α∂the␈α∞reciprocal␈α∂of
␈β¬␈↓ ¬∪␈ε+m␈↓ ε␈ε+l␈↓ εR␈ε+m␈↓ πF␈ε+l
␈β$␈↓ ↓H␈ε"the␈αw␈α␈ord␈αsize␈αof␈αthe␈αcomputer,␈αand␈αwhere␈↓ ε`␈ε(v␈↓ π→␈ε"is␈αassumed␈αto␈αbe␈αn␈α↓ormalized.␈α∂The
␈β0␈↓ εq␈ε+m
␈βO␈↓ ↓H␈ε"fraction␈αcan␈αn␈α↓o␈α␈w␈αbe␈αexpanded␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β"␈↓ ¬P␈ε↓∩␈↓ π8␈ε↓∪
␈β$␈↓ αe␈ε(u␈↓ β≡␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ βY␈ε(u␈↓ ∧9␈ε(u␈↓ ∧r␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ ¬,␈ε(u␈↓ εF␈ε"1
␈β0␈↓ αz␈ε+m␈↓ βn␈ε+l␈↓ ∧N␈ε+m␈↓ ¬A␈ε+l
␈β<␈↓ ∧π␈ε"=
␈βP␈↓ αe␈∧Pαeα↓∀␈↓ ∧9␈∧P∧9α↓∀␈↓ ¬j␈∧P¬jα↓J
␈βU␈↓ αh␈ε(v␈↓ β≡␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ βY␈ε(v␈↓ ∧l␈ε(v␈↓ ¬j␈ε"1␈αλ+␈ε(␈αλ∂␈ε"(␈↓ εK␈ε(v␈↓ εh␈ε"/␈↓ εz␈ε(v␈↓ π(␈ε")
␈βb␈↓ αz␈ε+m␈↓ βj␈ε+l␈↓ ∧⎇␈ε+m␈↓ ε]␈ε+l␈↓ π␈ε+m
␈β
∧␈↓ ¬P␈ε↓␈ ␈↓ λS␈ε%2␈↓ 	H␈ε↓!
␈β
∂␈↓ ε<␈ε↓∩␈↓ πλ␈ε↓∪␈↓ πq␈ε↓∩␈↓ λ=␈ε↓∪
␈β
⊂␈↓ ∧9␈ε(u␈↓ ∧r␈ε"+␈ε(␈αλ∂␈↓ ¬,␈ε(u␈↓ ε←␈ε(v␈↓ λ∀␈ε(v
␈β
≤␈↓ ∧N␈ε+m␈↓ ¬A␈ε+l␈↓ εp␈ε+l␈↓ λ%␈ε+l
␈β
 ␈↓ πa␈ε%2
␈β
(␈↓ ∧π␈ε"=␈↓ ¬g␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλ∂␈↓ π&␈ε"+␈↓ πR␈ε(∂␈↓ λl␈ε6␈␈↓ 	_␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	←␈ε".␈↓ α␈ε"(2)
␈β
<␈↓ ∧9␈∧
<∧9α↓∀␈↓ εV␈∧
<εVα.␈↓ λ␈∧
<λα.
␈β
B␈↓ ∧l␈ε(v␈↓ εV␈ε(v␈↓ λ␈ε(v
␈β
N␈↓ ∧⎇␈ε+m␈↓ εh␈ε+m␈↓ λ≥␈ε+m
␈β∞"␈↓ ↓H␈ε"Since␈α∞0␈ε6␈α∞∀␈α∞j␈↓ β∧␈ε(v␈↓ β!␈ε6j␈ε"␈α
<␈α∞1␈α∂and␈α∞1/␈ε(b␈ε6␈α∞∀␈α∞j␈↓ ¬P␈ε(v␈↓ ¬}␈ε6j␈ε"␈α∞<␈α∞1,␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈ε6␈α∞j␈↓ λ	␈ε(v␈↓ λ&␈ε"/␈↓ λ8␈ε(v␈↓ λf␈ε6j␈ε"␈α∞<␈ε(␈α∞b␈ε",␈α∂and␈α∞the␈α∞error
␈β∞.␈↓ β∃␈ε+l␈↓ ¬b␈ε+m␈↓ λ≠␈ε+l␈↓ λJ␈ε+m
␈β∞G␈↓ ¬G␈ε%2
␈β∞M␈↓ ↓H␈ε"from␈α
dropping␈α
terms␈α
in␈α␈v␈α␈olving␈↓ ¬9␈ε(∂␈↓ ¬e␈ε"can␈α∞be␈α
disregarded.␈α∀Our␈α
meth␈α↓od␈α
therefore␈α
is
␈β∞x␈↓ ↓H␈ε"to␈αcompute␈↓ β∧␈ε(w␈↓ β@␈ε"+␈ε(␈αε∂␈↓ βy␈ε(w␈↓ ∧(␈ε"=␈α
(␈↓ ∧b␈ε(u␈↓ ¬→␈ε"+␈ε(␈αε∂␈↓ ¬R␈ε(u␈↓ ¬r␈ε")/␈↓ ε⊂␈ε(v␈↓ ε=␈ε",␈αand␈αthen␈αto␈αsubtract␈ε(␈α∂␈ε"␈αtimes␈↓ 
~␈ε(w␈↓ 
P␈ε(v␈↓ 
m␈ε"/␈↓ 
␈␈ε(v
␈β∂∧␈↓ β≥␈ε+m␈↓ ∧∩␈ε+l␈↓ ∧v␈ε+m␈↓ ¬g␈ε+l␈↓ ε!␈ε+m␈↓ 
4␈ε+m␈↓ 
b␈ε+l␈↓ ⊂␈ε+m
␈β∂#␈↓ ↓H␈ε"from␈αthe␈αresult.
␈β∂O␈↓ α␈ε"In␈αthe␈α
follo␈α␈wing␈αprogram,␈αlines␈α
27↑32␈αdo␈α
the␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αhalf␈α
of␈αa␈↓ 	.␈ε"double-precision
␈β∂z␈↓ ↓H␈ε"addition,␈α
using␈α	an␈α↓other␈α
meth␈α↓od␈α
for␈α	forcing␈α
the␈α
appropriate␈α	sign␈α
as␈α
an␈α	alternativ␈α␈e
␈β⊂&␈↓ ↓H␈ε"to␈αthe␈αtrick␈αof␈αProgram␈αA.
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε2Program␈αD␈ε"␈α(␈ε/Double-precision␈αdivision␈ε")␈ε2.␈ε"␈α_This␈αprogram␈αadheres␈αto␈αthe␈αsame␈αcon-
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"v␈α␈en␈α␈tions␈αas␈αPrograms␈αA␈αand␈αM.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"236␈↓ 
b␈ε"4.2.3
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα&␈↓ ↓R␈ε)01␈↓ α∃␈ε5DFDIV␈↓ β→␈ε5STJ␈↓ βx␈ε5EXIT␈α␈DF␈↓ εL␈ε#Dou␈α␈ble-p␈α␈recision␈αd␈α␈ivision:
␈βαN␈↓ ↓R␈ε)02␈↓ β→␈ε5JOV␈↓ βx␈ε5OFLO␈↓ εL␈ε#Ensu␈α␈re␈αo␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈αis␈αo␈α␈{.
␈βαu␈↓ ↓R␈ε)03␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5TEMP
␈ββ≥␈↓ ↓R␈ε)04␈↓ β→␈ε5SLAX␈↓ βx␈ε52␈↓ εL␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈αe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t.
␈ββD␈↓ ↓R␈ε)05␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5ARG␈↓ εL␈ε)v
␈ββP␈↓ ε\␈ε,m
␈ββl␈↓ ↓R␈ε)06␈↓ β→␈ε5STX␈↓ βx␈ε5ARGX␈↓ εL␈ε)v
␈ββx␈↓ ε\␈ε,l
␈β∧∀␈↓ ↓R␈ε)07␈↓ β→␈ε5LDA␈↓ βx␈ε5ACC(␈α␈EXPD)
␈β∧;␈↓ ↓R␈ε)08␈↓ β→␈ε5SUB␈↓ βx␈ε5TEMP␈α␈(EXPD)
␈β∧c␈↓ ↓R␈ε)09␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5EXPO␈↓ π→␈ε7␈ ␈↓ πD␈ε)e␈↓ πk␈ε7␈␈↓ λ∀␈ε)e␈↓ λ2␈ε#.
␈β∧e␈↓ εL␈ε∃EXPO
␈β∧n␈↓ πR␈ε,u␈↓ λ"␈ε,v
␈β¬
␈↓ ↓R␈ε)10␈↓ β→␈ε5ENT2␈↓ βx␈ε5QQ+1␈↓ εL␈ε#rI␈↓ εd␈ε#2␈ε7␈α	␈ ␈↓ πR␈ε#+␈αλ1␈α␈.
␈β¬␈↓ π)␈ε∃QQ
␈β¬2␈↓ ↓R␈ε)11␈↓ β→␈ε5LDA␈↓ βx␈ε5ACC
␈β¬Z␈↓ ↓R␈ε)12␈↓ β→␈ε5LDX␈↓ βx␈ε5ACCX
␈βε↓␈↓ ↓R␈ε)13␈↓ β→␈ε5SLAX␈↓ βx␈ε52␈↓ εL␈ε#Remo␈α␈v␈α␈e␈αe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t.
␈βε)␈↓ ↓R␈ε)14␈↓ β→␈ε5SRAX␈↓ βx␈ε51␈↓ εL␈ε#(Cf.␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈M)
␈βεP␈↓ ↓R␈ε)15␈↓ β→␈ε5DIV␈↓ βx␈ε5ARG␈↓ εL␈ε#If␈αo␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w,␈αit␈αi␈α↓s␈αd␈α␈etect␈α␈ed␈αb␈α␈elo␈α␈w.
␈βεx␈↓ ↓R␈ε)16␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5ACC␈↓ εL␈ε)w
␈βπ∧␈↓ εd␈ε,m
␈βπ ␈↓ ↓R␈ε)17␈↓ β→␈ε5SLAX␈↓ βx␈ε55␈↓ εL␈ε#Use␈αrem␈α␈aind␈α␈er␈αin␈αfurth␈α␈er␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isi␈α↓o␈α␈n.
␈βπG␈↓ ↓R␈ε)18␈↓ β→␈ε5DIV␈↓ βx␈ε5ARG
␈βπo␈↓ ↓R␈ε)19␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5ACCX␈↓ εL␈ε7ε␈↓ εm␈ε)w
␈βπz␈↓ π¬␈ε,l
␈βλ⊗␈↓ ↓R␈ε)20␈↓ β→␈ε5LDA␈↓ βx␈ε5ARGX␈α␈(1:4)
␈βλ>␈↓ ↓R␈ε)21␈↓ β→␈ε5ENTX␈↓ βx␈ε50
␈βλ`␈↓ πI␈ε&4␈↓ λc␈ε&5
␈βλf␈↓ ↓R␈ε)22␈↓ β→␈ε5DIV␈↓ βx␈ε5ARG(␈α␈ABS)␈↓ εL␈ε#rA␈↓ εz␈ε7␈ ␈α
bj␈↓ π;␈ε)b␈↓ πY␈ε)v␈↓ πs␈ε#/␈↓ λ∧␈ε)v␈↓ λ-␈ε7j␈α↓c␈ε#/␈↓ λT␈ε)b␈↓ λr␈ε#.
␈βλq␈↓ πi␈ε,l␈↓ λ∀␈ε,m
␈β	
␈↓ ↓R␈ε)23␈↓ β→␈ε5JOV␈↓ βx␈ε5DVZR␈α␈OD␈↓ εL␈ε#Did␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈i␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αca␈α␈use␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w?
␈β	5␈↓ ↓R␈ε)24␈↓ β→␈ε5MUL␈↓ βx␈ε5ACC(␈α␈ABS)␈↓ εL␈ε#rAX␈↓ π∩␈ε7␈ ␈α
j␈↓ πF␈ε)w␈↓ πw␈ε)v␈↓ λ∩␈ε#/␈ε)␈α␈b␈↓ λ1␈ε)v␈↓ λZ␈ε7j␈ε#␈α↓,␈αap␈α␈pro␈α}xima␈α␈tely.
␈β	@␈↓ π↑␈ε,m␈↓ λλ␈ε,l␈↓ λA␈ε,m
␈β	\␈↓ ↓R␈ε)25␈↓ β→␈ε5SRAX␈↓ βx␈ε54␈↓ εL␈ε#Mu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αby␈ε)␈α
b␈ε#␈α↓,␈αan␈α␈d␈αsa␈α}v␈α␈e
␈β
∧␈↓ ↓R␈ε)26␈↓ β→␈ε5SLC␈↓ βx␈ε55␈↓ π∂␈ε#th␈α␈e␈αlead␈α␈ing␈αb␈α␈yte␈αin␈α
rX.
␈β
,␈↓ ↓R␈ε)27␈↓ β→␈ε5SUB␈↓ βx␈ε5ACCX␈α␈(ABS)␈↓ εL␈ε#Su␈α␈bt␈α␈ract␈ε7␈αj␈↓ π↑␈ε)w␈↓ λ␈ε7j␈ε#.
␈β
7␈↓ πv␈ε,l
␈β
S␈↓ ↓R␈ε)28␈↓ β→␈ε5DECA␈↓ βx␈ε51␈↓ εL␈ε#F␈α⎇orce␈αmin␈α}us␈αsign␈α␈.
␈β
{␈↓ ↓R␈ε)29␈↓ β→␈ε5SUB␈↓ βx␈ε5WM1
␈β"␈↓ ↓R␈ε)30␈↓ β→␈ε5JOV␈↓ βx␈ε5*+2␈↓ εL␈ε#If␈αn␈α↓o␈αo␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w,␈αcarry␈α
on␈α␈e␈αm␈α↓ore
␈βJ␈↓ ↓R␈ε)31␈↓ β→␈ε5INCX␈↓ βx␈ε51␈↓ π∂␈ε#to␈α
up␈α␈per␈αh␈α␈alf.
␈βr␈↓ ↓R␈ε)32␈↓ β→␈ε5SLC␈↓ βx␈ε55␈↓ εL␈ε#(No␈α␈w␈↓ π$␈ε#rA␈↓ πR␈ε7∀␈ε#␈α
0␈α␈)
␈β→␈↓ ↓R␈ε)33␈↓ β→␈ε5ADD␈↓ βx␈ε5ACC(␈α␈ABS)␈↓ εL␈ε#rA␈↓ εz␈ε7␈ ␈α
j␈↓ π.␈ε)w␈↓ π←␈ε7j␈αλ␈␈απj␈↓ λ"␈ε#rA␈↓ λG␈ε7j␈ε#.
␈β%␈↓ πF␈ε,m
␈βA␈↓ ↓R␈ε)34␈↓ β→␈ε5STA␈↓ βx␈ε5ACC(␈α␈ABS)␈↓ εL␈ε#(No␈α␈w␈↓ π$␈ε#rA␈↓ πR␈ε7∃␈ε#␈α
0␈α␈)
␈βh␈↓ ↓R␈ε)35␈↓ β→␈ε5LDA␈↓ βx␈ε5ACC␈↓ εL␈ε)w␈↓ πλ␈ε#with␈αco␈α␈rrect␈αsign
␈βt␈↓ εd␈ε,m
␈β
⊂␈↓ ↓R␈ε)36␈↓ β→␈ε5JMP␈↓ βx␈ε5DNOR␈α␈M␈↓ εL␈ε#Norm␈α␈alize␈αan␈α␈d␈αex␈α␈it.
␈β
8␈↓ ↓R␈ε)37␈↓ α∃␈ε5DVZROD␈↓ β→␈ε5HLT␈↓ βx␈ε530␈↓ εL␈ε#Unnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ed␈αo␈α␈r␈αzero␈αd␈α␈ivisor
␈β
←␈↓ ↓R␈ε)38␈↓ α∃␈ε51H␈↓ β→␈ε5EQU␈↓ βx␈ε51(1:␈α␈1)
␈β∞π␈↓ ↓R␈ε)39␈↓ α∃␈ε5WM1␈↓ β→␈ε5CON␈↓ βx␈ε51B-1␈α␈,BYTE-1(1:␈α␈1)␈↓ εL␈ε#W␈α}o␈α␈rd␈αsize␈αm␈α␈i␈α↓n␈α}us␈αo␈α␈ne
␈β∞∞␈↓ 	≥␈∧∞∞	≥≠∂
␈β∞B␈↓ α␈ε"Here␈α∩is␈α⊃a␈α∩table␈α⊃of␈α⊃the␈α∩appro␈α␈ximate␈α⊃a␈α␈v␈α␈erage␈α∩computation␈α⊃times␈α∩for␈α⊃these
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε"double-precision␈α
subroutines,␈α
compared␈α
to␈α
the␈α
single-precision␈α
subroutines␈αthat
␈β∂→␈↓ ↓H␈ε"appear␈αin␈αSection␈α4.2.1:
␈β∂`␈↓ ¬-␈ε"Single␈αp␈↓ ε+␈ε"recision␈↓ πi␈ε"Double␈αp␈↓ λw␈ε"recision
␈β⊂⊗␈↓ βπ␈ε"Addition␈↓ επ␈ε"45␈↓ ε+␈ε".5␈ε(u␈↓ λS␈ε"84␈↓ λw␈ε(u
␈β⊂B␈↓ βπ␈ε"Subtraction␈↓ επ␈ε"49␈↓ ε+␈ε".5␈ε(u␈↓ λS␈ε"88␈↓ λw␈ε(u
␈β⊂m␈↓ βπ␈ε"Multiplication␈↓ επ␈ε"48␈↓ ε+␈ε(u␈↓ λA␈ε"109␈↓ λw␈ε(u
␈β⊃_␈↓ βπ␈ε"Division␈↓ επ␈ε"52␈↓ ε+␈ε(u␈↓ λA␈ε"126␈↓ λw␈ε".5␈ε(u
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.3␈↓ 
v␈ε"237
␈β↓\␈↓ ¬{␈ε∞DOU␈α↓B␈α␈L␈α↓E-PRECISION␈α
CALCUL␈α↓A␈α⎇T␈α↓IONS
␈βα$␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈α
extension␈α
of␈α
the␈α
meth␈α↓ods␈α
of␈α
this␈α
section␈α
to␈↓ πh␈ε"triple-precision␈α	⎇oating␈α
poin␈α␈t
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"fraction␈αparts,␈αsee␈αY.␈↓ ∧≡␈ε"Ik␈α␈ebe,␈ε/␈αCA␈α␈CM␈ε2␈α8␈ε"␈α(1965),␈α175↑177.
␈ββ\␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈β∧.␈↓ 
#␈ε&1
␈β∧1␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)16␈↓ α;␈ε#]␈α⊗T␈α⎇ry␈α
th␈α␈e␈α
do␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈α␈-␈α↓p␈α␈recision␈αdivision␈α
te␈α␈chn␈α␈ique␈α
b␈α␈y␈α
h␈α␈and␈α␈,␈α∞with␈ε)␈α
∂␈ε#␈α
=␈↓ 
J␈ε#,␈α∞wh␈α␈en
␈β∧A␈↓ 
∂␈ε&1␈α␈000
␈β∧D␈↓ 
∂␈∧∧D
∂α8
␈β∧V␈↓ ∧T␈ε"(
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈ividin␈α␈g␈αλ1␈α␈800␈α␈00␈απby␈απ3␈α␈141␈α␈59.␈↓ ∧`␈ε#Th␈α␈us,␈αλlet␈αλ(␈↓ ¬s␈ε)u␈↓ ε∨␈ε#,␈↓ ε.␈ε)u␈↓ εL␈ε#)␈α	=␈α
(.18␈α␈0,␈αε.00␈α␈0)␈αλa␈α␈nd␈απ(␈↓ λv␈ε)v␈↓ 	 ␈ε#,␈↓ 	.␈ε)v␈↓ 	I␈ε#)␈α	=␈α
(.31␈α␈4,␈αε.15␈α␈9),
␈β∧d␈↓ εε␈ε,m␈↓ εB␈ε,l␈↓ 	ε␈ε,m␈↓ 	?␈ε,l
␈β∧}␈↓ 

␈ε")
␈β¬␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈αu␈α␈sing␈αth␈α␈e␈αmethod␈α
sug␈α␈gested␈α
in␈αth␈α␈e␈αtext␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈α(2).
␈β¬6␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)20␈↓ α;␈ε#]␈α⊗W␈α⎇ou␈α␈l␈α↓d␈αit␈αbe␈αa␈αgood␈αid␈α␈ea␈αto␈αinsert␈αth␈α␈e␈αin␈α␈structio␈α␈n␈α\␈↓ 	#␈ε#"␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αlines␈α30
␈β¬8␈↓ λ=␈ε∃ENTX␈α⊃0
␈β¬↑␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α31␈α
o␈α␈f␈α∞Prog␈α␈ram␈α
M␈↓ ∧
␈ε#,␈α∞in␈α
ord␈α␈er␈α
to␈α
k␈α}eep␈αun␈α␈w␈α␈a␈α␈n␈α␈ted␈αi␈α↓n␈α␈form␈α␈ation␈α
le$␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
in␈α
reg␈α␈i␈α↓ste␈α␈r␈α
X
␈βε¬␈↓ ↓H␈ε#fro␈α␈m␈αin␈α␈terferin␈α␈g␈αwith␈αth␈α␈e␈αaccu␈α␈rac␈α␈y␈αof␈αth␈α␈e␈αresults?
␈βε;␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Exp␈α␈l␈α↓a␈α␈i␈α↓n␈α
wh␈α␈y␈↓ ∧>␈ε#o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αca␈α␈nnot␈αocc␈α␈ur␈αd␈α␈uring␈α
P␈α↓ro␈α␈gra␈α␈m␈αM.
␈βεq␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)22␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈α⊃should␈α⊃Prog␈α␈ram␈α⊃M␈α⊃be␈α⊃ch␈α␈an␈α␈ged␈α⊃so␈α⊃th␈α␈at␈α⊃ex␈α␈tra␈α⊃accu␈α␈racy␈α⊃is␈α⊃ach␈α␈iev␈α␈ed␈α␈,
␈βπ→␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈ssen␈α␈tially␈αb␈α␈y␈αmo␈α␈vin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αv␈α␈er␈α␈ti␈α↓c␈α␈al␈αl␈α↓in␈α␈e␈αin␈αFig.␈α4␈αo␈α}v␈α␈er␈αto␈α
the␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αo␈α␈ne␈αp␈α␈osition␈α␈?␈α∂S␈α␈pecify
␈βπ@␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈l␈α↓l␈α
c␈α␈ha␈α␈nge␈α␈s␈α
tha␈α␈t␈α
are␈α	requ␈α␈ired,␈α
a␈α␈nd␈α	de␈α␈termine␈α	the␈α	di{␈α␈erenc␈α␈e␈α
in␈α	exec␈α␈ution␈α	time␈α	cau␈α␈sed␈α	by
␈βπh␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈ese␈αch␈α␈an␈α␈ges.
␈βλ≤␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βλ≡␈↓ ↓c␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)24␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Ho␈α␈w␈α	shou␈α␈l␈α↓d␈αλP␈α↓ro␈α␈gram␈α	A␈α	be␈α	c␈α␈han␈α␈ged␈αλso␈α	tha␈α␈t␈α
e␈α␈xtra␈α	ac␈α␈cura␈α␈cy␈α	is␈α	ach␈α␈i␈α↓e␈α␈v␈α␈ed␈α␈,␈α
essen␈α␈-
␈βλF␈↓ ↓H␈ε#tia␈α␈l␈α↓ly␈αby␈αw␈α␈ork␈α␈ing␈αwi␈α↓t␈α␈h␈α
a␈αn␈α␈i␈α↓n␈α␈e-by␈α␈te␈α
a␈α␈ccu␈α␈m␈α␈ula␈α␈tor␈α
in␈α␈stead␈αof␈αan␈αeigh␈α}t-byt␈α␈e␈α
ac␈α␈cum␈α}ulato␈α␈r
␈βλm␈↓ ↓H␈ε#to␈α
th␈α␈e␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
of␈αth␈α␈e␈α
dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αp␈α␈oin␈α␈t?␈α∞Sp␈α␈ecify␈α
all␈αch␈α␈an␈α␈ges␈α
tha␈α␈t␈αa␈α␈re␈αre␈α␈quired␈α␈,␈αan␈α␈d␈α
de␈α␈termine
␈β	∃␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αd␈α␈i␈α↓{␈α␈eren␈α␈ce␈αin␈αex␈α␈ecu␈α␈tion␈αtime␈αc␈α␈aus␈α␈ed␈αb␈α␈y␈αthe␈α␈se␈αch␈α␈ang␈α␈es.
␈β	K␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Assu␈α␈me␈αtha␈α␈t␈αthe␈αdo␈α␈ub␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈αsub␈α␈rou␈α␈ti␈α↓n␈α␈es␈αof␈αthis␈αsection␈α
and␈α
the␈αsing␈α␈l␈α↓e␈α␈-
␈β	s␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈recision␈↓ αP␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈es␈α	o␈α␈f␈α	S␈α␈ection␈αλ4␈α␈.␈α↓2␈α␈.1␈α	a␈α␈re␈αλbein␈α␈g␈αλused␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλsame␈αλma␈α␈i␈α↓n␈αλp␈α␈rog␈α␈ram.␈α∞W␈α⎇ri␈α↓te␈αλa
␈β
~␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈bro␈α␈utin␈α␈e␈αth␈α␈at␈αco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rts␈αa␈αs␈α␈i␈α↓n␈α␈gle-pr␈α␈ecisi␈α↓o␈α␈n␈α⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
poin␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αin␈α␈to␈α
dou␈α␈ble-p␈α␈recision
␈β
B␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈rm␈α(1␈α␈),␈αand␈αwrite␈αanoth␈α␈er␈αsu␈α␈br␈α␈outin␈α␈e␈αth␈α␈at␈αcon␈α}v␈α␈erts␈αa␈αdo␈α␈ub␈α␈l␈α↓e-p␈α␈recision␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αp␈α␈oin␈α}t
␈β
i␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α⊂i␈α↓n␈α}to␈α⊂si␈α↓n␈α␈gle-p␈α␈recision␈α⊂form␈α⊂(repo␈α␈rting␈α⊂ex␈α␈pon␈α␈en␈α}t␈α⊃o␈α␈v␈α}er⎇o␈α}w␈α⊃or␈α⊂un␈α␈de␈α␈r⎇o␈α␈w␈α⊂if␈α⊃the
␈β⊃␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈on␈α␈v␈α}ersion␈αis␈αimp␈α␈ossible).
␈βE␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βG␈↓ ↓c␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)M3␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Esti␈α↓m␈α␈ate␈αthe␈↓ ∧B␈ε#accu␈α␈rac␈α␈y␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αd␈α␈oub␈α␈le-pre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αsub␈α␈rout␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αsection␈α␈,
␈βo␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α|␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈s␈↓ βY␈ε)∞␈↓ βv␈ε#,␈↓ ∧
␈ε)∞␈↓ ∧'␈ε#,␈αand␈↓ ∧|␈ε)∞␈↓ ¬$␈ε#on␈αth␈α␈e␈αrelativ␈α}e␈αerrors
␈βz␈↓ βf␈ε&1␈↓ ∧_␈ε&2␈↓ ¬
␈ε&3
␈β!␈↓ αZ␈ε↓␈␈↓ ε↓␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ 
¬␈ε↓␈
␈β7␈↓ αZ␈ε↓␈␈↓ ε↓␈ε↓␈␈↓ ε↑␈ε↓␈␈↓ 
¬␈ε↓␈
␈β?␈↓ αf␈ε"(␈↓ ∧y␈ε")␈↓ εj␈ε"(␈↓ λ⎇␈ε")
␈βA␈↓ αr␈ε#(␈ε)u␈ε7␈αλλ␈↓ β@␈ε)v␈↓ βR␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈ε#␈απ(␈ε)u␈ε#␈αλ+␈↓ ∧\␈ε)v␈↓ ∧n␈ε#)␈↓ ¬¬␈ε#/␈α␈(␈ε)u␈ε#␈αλ+␈↓ ¬d␈ε)v␈↓ ¬v␈ε#)␈↓ ε
␈ε#,␈↓ εv␈ε#(␈ε)u␈ε7␈αλ␈
␈↓ πE␈ε)v␈↓ πV␈ε#)␈ε7␈αλ␈␈ε#␈αλ(␈ε)u␈ε7␈αλα␈↓ λ`␈ε)v␈↓ λr␈ε#)␈↓ 		␈ε#/(␈ε)u␈ε7␈αλα␈↓ 	h␈ε)v␈↓ 	z␈ε#)␈↓ 
⊃␈ε#,
␈βW␈↓ ∧{␈ε↓␈␈↓ πc␈ε↓␈
␈βm␈↓ ∧{␈ε↓␈␈↓ πc␈ε↓␈
␈βu␈↓ ¬π␈ε"(␈↓ ε{␈ε")
␈βw␈↓ ¬∪␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε7␈απ␈↓ ¬b␈ε)v␈↓ ¬t␈ε#)␈ε7␈απ␈␈ε#␈αλ(␈ε)u␈ε#/␈↓ ε↑␈ε)v␈↓ εp␈ε#)␈↓ ππ␈ε#/␈α␈(␈ε)␈α↓u␈ε#/␈↓ πG␈ε)v␈↓ πX␈ε#)␈↓ πo␈ε#.
␈β
W␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Esti␈α↓m␈α␈ate␈αthe␈αac␈α␈cura␈α␈cy␈αof␈α
t␈α␈he␈α\imp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ed␈α␈"␈αdo␈α␈ub␈α␈l␈α↓e␈α␈-␈α↓p␈α␈recision␈αsu␈α␈bro␈α␈utin␈α␈es␈α
o␈α␈f
␈β
␈␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α␈s␈α4␈α
an␈α␈d␈α5,␈αin␈αth␈α␈e␈αsense␈α
of␈αexe␈α␈rcise␈α7.
␈β∞5␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)M4␈α␈2␈↓ α\␈ε#]␈α⊗T.␈α∞J.␈↓ βQ␈ε#D␈α↓e␈α␈kk␈α}er␈α∞[␈ε0Nu␈α␈mer.␈α∞M␈α␈ath␈α␈.␈ε3␈α∞18␈ε#␈α
(19␈α␈71␈α␈)␈α↓,␈α∞22␈α␈4↑2␈α␈42␈α␈]␈α∞ha␈α␈s␈α∞su␈α␈gge␈α␈sted␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓te␈α␈r-
␈β∞\␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈ativ␈α␈e␈αapp␈α␈roa␈α␈ch␈αt␈α␈o␈αdo␈α␈ub␈α␈le␈αpre␈α␈ci␈α↓s␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈αba␈α␈sed␈αe␈α␈n␈α␈tirely␈αo␈α␈n␈αsing␈α␈le-prec␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈α⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αbin␈α␈ary
␈β∂∧␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.␈α∞F␈α⎇or␈αλexa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α
Th␈α␈eor␈α␈em␈αλ4.2.2C␈αλstate␈α␈s␈α	t␈α␈hat␈ε)␈αλu␈ε#␈αα+␈↓ λ∀␈ε)v␈↓ λ/␈ε#=␈↓ λY␈ε)w␈↓ λt␈ε#+␈↓ 	↔␈ε)r␈↓ 	&␈ε#,␈α	w␈α↓h␈α␈ere␈↓ 
⊗␈ε)w␈↓ 
8␈ε#=␈ε)␈α
u␈ε7␈ααλ␈↓ ≠␈ε)v
␈β∂&␈↓ 	h␈ε,p
␈β∂,␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈↓ α
␈ε)r␈↓ α&␈ε#=␈α(␈ε)u␈ε7␈α	␈	␈↓ β$␈ε)w␈↓ β=␈ε#)␈ε7␈α	λ␈↓ β{␈ε)v␈↓ ∧␈ε#,␈α∞if␈ε7␈α
j␈ε)u␈ε7␈α↓j␈α∃␈α
j␈↓ ¬-␈ε)v␈↓ ¬>␈ε7j␈ε#␈α∞a␈α␈nd␈αth␈α␈e␈α
rad␈α␈ix␈α
is␈α
2␈α␈;␈α∞here␈ε7␈αj␈↓ λI␈ε)r␈↓ λX␈ε7j␈α∀␈α
j␈↓ 	$␈ε)w␈↓ 	=␈ε7j␈ε#/␈↓ 	W␈ε#2␈↓ 	w␈ε#,␈α∞s␈α␈o␈α
th␈α␈e␈α
pa␈α␈ir
␈β∂S␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)w␈↓ ↓l␈ε#,␈↓ ↓{␈ε)r␈↓ α
␈ε#)␈α
m␈α␈a␈α␈y␈α
b␈α␈e␈α
c␈α␈onsid␈α␈ered␈αa␈α
d␈α␈ou␈α␈ble-p␈α␈recision␈αv␈α␈ersion␈αo␈α␈f␈ε)␈α
u␈ε#␈α	+␈↓ λ4␈ε)v␈↓ λF␈ε#.␈α∀T␈α⎇o␈α
a␈α␈dd␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
su␈α␈ch␈αpa␈α␈i␈α↓r␈α␈s
␈β∂u␈↓ αλ␈ε:0␈↓ β␈ε:0␈↓ ∧3␈ε:0␈↓ ¬E␈ε,p␈↓ ε>␈ε:0␈↓ πM␈ε,p
␈β∂{␈↓ ↓H␈ε#(␈ε)u␈ε#,␈↓ ↓u␈ε)u␈↓ α⊃␈ε#)␈ε7␈α	λ␈ε#␈αλ(␈↓ αY␈ε)v␈↓ αk␈ε#,␈↓ αz␈ε)v␈↓ β∀␈ε#),␈α
where␈ε7␈αj␈↓ ∧ ␈ε)u␈↓ ∧<␈ε7j␈α∀␈αj␈ε)u␈ε7j␈ε#␈α↓/␈↓ ¬4␈ε#2␈↓ ¬a␈ε#a␈α␈nd␈ε7␈αj␈↓ ε,␈ε)v␈↓ εF␈ε7j␈α∀␈αj␈↓ π⊃␈ε)v␈↓ π#␈ε7j␈ε#/␈↓ π=␈ε#2␈↓ πi␈ε#an␈α␈d␈ε7␈αj␈ε)u␈ε7␈α↓j␈α∃␈αj␈↓ 	∩␈ε)v␈↓ 	$␈ε7j␈ε#,␈α
Dek␈α␈k␈α␈er␈αsu␈α␈ggest␈α␈s
␈β⊂≥␈↓ π1␈ε:0␈↓ π␈␈ε:0
␈β⊂"␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈omp␈α␈uting␈ε)␈αλu␈ε#␈αβ+␈↓ β$␈ε)v␈↓ β?␈ε#=␈↓ βi␈ε)w␈↓ ∧¬␈ε#+␈↓ ∧(␈ε)r␈↓ ∧@␈ε#(exa␈α␈ctly),␈α
t␈α␈hen␈ε)␈αλs␈ε#␈α	=␈α	(␈↓ εj␈ε)r␈↓ ε{␈ε7λ␈↓ π∨␈ε)v␈↓ π:␈ε#)␈ε7␈ααλ␈↓ πk␈ε)u␈↓ λ⊂␈ε#(an␈αλap␈α␈pro␈α}ximat␈α␈e␈α	rem␈α␈aind␈α␈er),
␈β⊂H␈↓ ¬∂␈ε"(␈↓ λ⊗␈ε")
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α
|n␈α␈all␈α↓y␈α
retu␈α␈rning␈α
the␈αv␈α⎇alue␈↓ ¬≠␈ε)w␈↓ ¬;␈ε7λ␈ε)␈αλs␈ε#,␈α(␈↓ ε∪␈ε)w␈↓ ε4␈ε7␈	␈ε#␈απ(␈↓ εg␈ε)w␈↓ πλ␈ε7λ␈ε)␈αλs␈ε#␈α␈))␈ε7␈αλλ␈ε)␈αλs␈↓ λ"␈ε#.
␈β⊂r␈↓ α␈ε#St␈α␈ud␈α␈y␈αthe␈αaccu␈α␈rac␈α␈y␈αan␈α␈d␈αe␈α␈}cienc␈α␈y␈αof␈αth␈α␈is␈αap␈α␈proa␈α␈ch␈αwhen␈αi␈α↓t␈αi␈α↓s␈αu␈α␈sed␈αrecu␈α␈rsi␈α↓v␈α}ely␈αto
␈β⊃~␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈rod␈α␈uce␈↓ αE␈ε#qua␈α␈dru␈α␈ple-p␈α␈recision␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"238␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα→␈↓ ¬|␈ε=T␈α⎇able␈α
1
␈βαF␈↓ α"␈ε$EM␈α↓PIRICAL␈α⊂DA␈α⎇T␈α}A␈α⊂F␈α␈OR␈α∂OPE␈α↓RAND␈α∂AL␈α↓IGNMENTS␈α⊂BEFORE␈α⊂ADDITION
␈βαx␈↓ ∧h␈∧αx∧h(α
␈βα{␈↓ βF␈ε7j␈↓ βO␈ε)e␈↓ βv␈ε7␈␈↓ ∧∨␈ε)e␈↓ ∧=␈ε7j␈↓ ¬␈ε)b␈ε#␈α	=␈α
2␈↓ ε ␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	10␈↓ πF␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	16␈↓ λl␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	64
␈ββπ␈↓ β]␈ε,u␈↓ ∧-␈ε,v
␈ββ ␈↓ ∧h␈∧β ∧hλα
␈ββ'␈↓ β%␈∧β'β%αε+
␈ββ(␈↓ ∧h␈∧β(∧hλα
␈ββ0␈↓ ∧h␈∧β0∧h(α
␈ββ3␈↓ β}␈ε#0␈↓ ¬⊗␈ε#0.33␈↓ ε4␈ε#0.47␈↓ πZ␈ε#0.47␈↓ 	␈ε#0.56
␈ββW␈↓ ∧h␈∧βW∧h(α
␈ββZ␈↓ β}␈ε#1␈↓ ¬⊗␈ε#0.12␈↓ ε4␈ε#0.23␈↓ πZ␈ε#0.26␈↓ 	␈ε#0.27
␈ββ␈␈↓ ∧h␈∧β␈∧h(α
␈β∧α␈↓ β}␈ε#2␈↓ ¬⊗␈ε#0.09␈↓ ε4␈ε#0.11␈↓ πZ␈ε#0.10␈↓ 	␈ε#0.04
␈β∧'␈↓ ∧h␈∧∧'∧h(α
␈β∧*␈↓ β}␈ε#3␈↓ ¬⊗␈ε#0.07␈↓ ε4␈ε#0.03␈↓ πZ␈ε#0.02␈↓ 	␈ε#0.02
␈β∧N␈↓ ∧h␈∧∧N∧h(α
␈β∧Q␈↓ β}␈ε#4␈↓ ¬⊗␈ε#0.07␈↓ ε4␈ε#0.01␈↓ πZ␈ε#0.01␈↓ 	␈ε#0.02
␈β∧v␈↓ ∧h␈∧∧v∧h(α
␈β∧y␈↓ β}␈ε#5␈↓ ¬⊗␈ε#0.04␈↓ ε4␈ε#0.01␈↓ πZ␈ε#0.02␈↓ 	␈ε#0.00
␈β¬≥␈↓ ∧h␈∧¬≥∧h(α
␈β¬ ␈↓ βZ␈ε#o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α5␈↓ ¬⊗␈ε#0.28␈↓ ε4␈ε#0.13␈↓ πZ␈ε#0.11␈↓ 	␈ε#0.09
␈β¬E␈↓ ∧h␈∧¬E∧hλα
␈β¬L␈↓ β%␈∧¬Lβ%αε+
␈β¬M␈↓ ∧h␈∧¬M∧hλα
␈β¬U␈↓ ∧h␈∧¬U∧h(α
␈β¬X␈↓ βP␈ε#a␈α␈v␈α}erage␈↓ ¬∨␈ε#3␈α␈.␈α↓1␈↓ ε<␈ε#0.9␈↓ πb␈ε#0.8␈↓ 	λ␈ε#0.5
␈βεc␈↓ ↓H␈ε=4␈α␈.2.4.␈↓ α6␈ε=D␈α␈i␈α↓str␈α↓ibut␈α↓ion␈α
of␈α
Floati␈α↓ng␈α
P␈α␈oin␈α↓t␈α
Nu␈α↓mbers
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"In␈αorder␈αto␈αanalyze␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αbeha␈α␈vior␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αarithmetic␈αalgorithms
␈βπW␈↓ ↓H␈ε"(and␈α∪in␈α∪particular␈α∀to␈α∪determine␈α∪their␈α∀a␈α␈v␈α␈erage␈α∪running␈α∀time),␈α∃w␈α␈e␈α∪need␈α∪some
␈βλα␈↓ ↓H␈ε"statistical␈α
information␈αthat␈αallo␈α␈ws␈αus␈αto␈α
determine␈αh␈α↓o␈α␈w␈αo$en␈αv␈α}arious␈αcases␈α
arise.
␈βλ-␈↓ ↓H␈ε"The␈αpurpose␈αof␈αthis␈αsection␈αis␈αto␈αdiscuss␈αthe␈αempirical␈αand␈αtheoretical␈αproperties
␈βλX␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αdistribution␈αof␈α⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈bers.
␈β	&␈↓ ↓H␈ε2A.␈α
Addition␈α∞and␈α
subtraction␈α∞routines.␈ε"␈α≤The␈α∞execution␈α
time␈α∞for␈α
a␈α∞⎇oating␈α
poin␈α␈t
␈β	Q␈↓ ↓H␈ε"addition␈α	or␈αλsubtraction␈α	depends␈α	largely␈↓ ε/␈ε"on␈α	the␈α	initial␈α	di{erence␈α	of␈α	exponen␈α␈ts,␈α	and
␈β	|␈↓ ↓H␈ε"also␈αλon␈αλthe␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈αλof␈αλn␈α↓ormalization␈αλsteps␈α	required␈αλ(to␈αλthe␈α	le$␈αλor␈αλto␈αλthe␈α	righ␈α␈t).␈α∞No
␈β
(␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈αis␈αkn␈α↓o␈α␈wn␈αto␈αgiv␈α␈e␈αa␈αgo␈α↓od␈αtheoretical␈αm␈α↓odel␈αthat␈αtells␈αwhat␈αcharacteristics␈αto
␈β
S␈↓ ↓H␈ε"expect,␈α
but␈α	extensiv␈α␈e␈α
empirical␈α	in␈α␈v␈α␈estigations␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
been␈α	made␈α
by␈α	D.␈α
W.␈↓ 
(␈ε"Sw␈α␈eeney
␈β
}␈↓ ↓H␈ε"[␈ε/IBM␈αSystems␈αJ.␈ε2␈α4␈ε"␈α(1965),␈α31↑42].
␈β+␈↓ α␈ε"By␈αmeans␈αof␈αa␈αspecial␈αtracing␈αroutine,␈αSw␈α␈eeney␈αran␈αsix␈α\t␈α␈ypical"␈αlarge-scale
␈βV␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈umerical␈αprograms,␈αselected␈αfrom␈αsev␈α␈eral␈αdi{eren␈α␈t␈αcomputing␈αlaboratories,␈αand
␈βα␈↓ ↓H␈ε"examined␈α∞each␈α∂⎇oating␈α∞addition␈α∞or␈α∂subtraction␈α∞operation␈α∂v␈α␈ery␈α∞carefully.␈α↔Ov␈α␈er
␈β-␈↓ ↓H␈ε"250,000␈α	⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α	addition-subtractions␈α
w␈α␈ere␈α	in␈α␈v␈α␈olv␈α␈ed␈α
in␈α	gathering␈α
this␈α	data.
␈βX␈↓ ↓H␈ε"About␈α∞one␈α∂out␈α∂of␈α∂ev␈α␈ery␈α∂ten␈α∂instructions␈α∞executed␈α∂by␈α∂the␈α∂tested␈α∂programs␈α∞w␈α␈as
␈β
β␈↓ ↓H␈ε"either␈↓ β¬␈ε"or␈↓ β⎇␈ε".
␈β
¬␈↓ α.␈ε5FA␈α␈DD␈↓ β1␈ε5FSUB
␈β
0␈↓ α␈ε"Let␈αus␈αconsider␈αsubtraction␈αto␈αbe␈αaddition␈αpreceded␈αby␈αnegating␈αthe␈αsecond
␈β
[␈↓ ↓H␈ε"operand;␈α∪therefore␈α⊃w␈α␈e␈α⊃ma␈α␈y␈α∩giv␈α␈e␈α⊃all␈α⊃the␈α⊃statistics␈α⊃as␈α⊃if␈α⊃w␈α␈e␈α⊃w␈α␈ere␈α⊃merely␈α⊃doing
␈β∞π␈↓ ↓H␈ε"addition.␈α⊂Sw␈α␈eeney's␈αresults␈αcan␈αbe␈αsummarized␈αas␈αfollo␈α␈ws:
␈β∞4␈↓ α␈ε"One␈α
of␈α∞the␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
operands␈α∞to␈α
be␈α
added␈α
w␈α␈as␈α∞found␈α
to␈α
be␈α∞equal␈α
to␈α
zero␈α
about
␈β∞←␈↓ ↓H␈ε"9␈α∞percen␈α␈t␈α∂of␈α∞the␈α∂time,␈α∂and␈α∞this␈α∂w␈α␈as␈α∞usually␈α∂the␈α∞accum␈α␈ulator␈α∂(␈↓ 	`␈ε").␈α_The␈α∞other
␈β∞a␈↓ 	(␈ε5ACC
␈β∂
␈↓ ↓H␈ε"91␈α
percen␈α␈t␈α∞of␈α
the␈α∞cases␈α
split␈α∞about␈α
equally␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α
operands␈α
of␈α∞the␈α
same␈α∞or␈α
of
␈β∂5␈↓ ↓H␈ε"opposite␈α∂signs,␈α∂and␈α∂about␈α∂equally␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂cases␈α∞where␈ε6␈α∂j␈ε(u␈ε6j␈α∂∀␈α∂j␈↓ 	7␈ε(v␈↓ 	J␈ε6j␈ε"␈α∞or␈ε6␈α∂j␈↓ 
≠␈ε(v␈↓ 
.␈ε6j␈α∂∀␈α∂j␈ε(u␈ε6␈α␈j␈ε".
␈β∂`␈↓ ↓H␈ε"The␈αcomputed␈αansw␈α␈er␈αw␈α␈as␈αzero␈αabout␈α1.4␈αpercen␈α␈t␈αof␈αthe␈αtime.
␈β⊂
␈↓ α␈ε"The␈α∂di{erence␈α∂bet␈α␈w␈α␈een␈α∂exponen␈α␈ts␈α∂had␈α∂a␈α∂beha␈α␈vior␈α∂appro␈α␈ximately␈α∂giv␈α␈en␈α∞by
␈β⊂9␈↓ ↓H␈ε"the␈α
probabilities␈α∞sh␈α↓o␈α␈wn␈α∞in␈α
T␈α⎇able␈α∞1,␈α∞for␈α
v␈α}arious␈α∞radices␈ε(␈α∞b␈ε".␈α∃(The␈α∞\o␈α␈v␈α␈er␈α
5"␈α∞line␈α
of
␈β⊂d␈↓ ↓H␈ε"that␈α
table␈α∞includes␈α∞essen␈α␈tially␈α∞all␈α∞of␈α
the␈α∞cases␈α∞when␈α∞one␈α∞operand␈α
w␈α␈as␈α∞zero,␈α∞but
␈β⊃∂␈↓ ↓H␈ε"the␈α\a␈α␈v␈α␈erage"␈αline␈αdoes␈αn␈α↓ot␈αinclude␈αthese␈αcases.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"239
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βα→␈↓ ¬|␈ε=T␈α⎇able␈α
2
␈βαF␈↓ αb␈ε$EMP␈α↓IRICAL␈α⊃DA␈α⎇T␈α}A␈α⊂FOR␈α⊂NORMALI␈α↓Z␈α␈A␈α}TION␈α⊂AF␈α↓TER␈α⊃ADDITI␈α↓O␈α␈N
␈βαx␈↓ ¬π␈∧αx¬π(α
␈βα{␈↓ ¬*␈ε)b␈ε#␈α	=␈α
2␈↓ ε?␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	10␈↓ πe␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	16␈↓ 	␈ε)b␈ε#␈α
=␈α	64
␈ββ ␈↓ ¬π␈∧β ¬πλα
␈ββ'␈↓ βε␈∧β'βεαεi
␈ββ(␈↓ ¬π␈∧β(¬πλα
␈ββ0␈↓ ¬π␈∧β0¬π(α
␈ββ3␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α1␈↓ ¬5␈ε#0.20␈↓ εS␈ε#0.07␈↓ πy␈ε#0.06␈↓ 	∨␈ε#0.03
␈ββW␈↓ ¬π␈∧βW¬π(α
␈ββZ␈↓ β'␈ε#No␈αsh␈α␈i$␈↓ ¬5␈ε#0.59␈↓ εS␈ε#0.80␈↓ πy␈ε#0.82␈↓ 	∨␈ε#0.87
␈ββ␈␈↓ ¬π␈∧β␈¬π(α
␈β∧α␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αl␈α↓e␈α␈$␈α1␈↓ ¬5␈ε#0.07␈↓ εS␈ε#0.08␈↓ πy␈ε#0.07␈↓ 	∨␈ε#0.06
␈β∧'␈↓ ¬π␈∧∧'¬π(α
␈β∧*␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αl␈α↓e␈α␈$␈α2␈↓ ¬5␈ε#0.03␈↓ εS␈ε#0.02␈↓ πy␈ε#0.01␈↓ 	∨␈ε#0.01
␈β∧N␈↓ ¬π␈∧∧N¬π(α
␈β∧Q␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αl␈α↓e␈α␈$␈α3␈↓ ¬5␈ε#0.02␈↓ εS␈ε#0.00␈↓ πy␈ε#0.01␈↓ 	∨␈ε#0.00
␈β∧v␈↓ ¬π␈∧∧v¬π(α
␈β∧y␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αl␈α↓e␈α␈$␈α4␈↓ ¬5␈ε#0.02␈↓ εS␈ε#0.01␈↓ πy␈ε#0.00␈↓ 	∨␈ε#0.01
␈β¬≥␈↓ ¬π␈∧¬≥¬π(α
␈β¬ ␈↓ β'␈ε#S␈α␈hi$␈αl␈α↓e␈α␈$␈α>4␈↓ ¬5␈ε#0.06␈↓ εS␈ε#0.02␈↓ πy␈ε#0.02␈↓ 	∨␈ε#0.02
␈βε≤␈↓ α␈ε"When␈ε(␈α∂u␈ε"␈α∞and␈↓ βb␈ε(v␈↓ ∧∧␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞the␈α∂same␈α∞sign␈α∂and␈α∂are␈α∞n␈α↓ormalized,␈α∂then␈ε(␈α∂u␈ε"␈α	+␈↓ 
1␈ε(v␈↓ 
R␈ε"either
␈βεG␈↓ ↓H␈ε"requires␈αone␈α
shi$␈αto␈α
the␈ε/␈αrigh␈α␈t␈ε"␈α(for␈α
fraction␈αo␈α␈v␈α␈er⎇o␈α␈w),␈α
or␈αn␈α↓o␈α
n␈α↓ormalization␈αshi$s
␈βεs␈↓ ↓H␈ε"whatev␈α␈er.␈α∃When␈ε(␈α∞u␈ε"␈α
and␈↓ ∧I␈ε(v␈↓ ∧j␈ε"ha␈α␈v␈α␈e␈α∞opposite␈α
signs,␈α∂w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞zero␈α∞or␈α∞m␈α↓ore␈ε/␈α∞le$␈ε"␈α
shi$s
␈βπ≡␈↓ ↓H␈ε"during␈αthe␈αn␈α↓ormalization.␈α⊂T␈α⎇able␈α2␈αgiv␈α␈es␈αthe␈αobserv␈α␈ed␈αn␈α␈um␈α␈ber␈αof␈αshi$s␈αrequired;
␈βπI␈↓ ↓H␈ε"the␈α⊃last␈α⊃line␈α⊃of␈α⊃that␈α⊃table␈α⊃includes␈α⊃all␈α⊃cases␈α⊃where␈α⊃the␈α⊃result␈α⊂w␈α␈as␈α⊃zero.␈α∨The
␈βπt␈↓ ↓H␈ε"a␈α␈v␈α␈erage␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈α
of␈α
le$␈α
shi$s␈α
per␈↓ ¬G␈ε"n␈α↓ormalization␈α
w␈α␈as␈α
about␈α
0.9␈α
when␈ε(␈α
b␈ε"␈α
=␈α
2;␈α
about
␈βλ∨␈↓ ↓H␈ε"0.2␈αwhen␈ε(␈αb␈ε"␈α
=␈α
10␈αor␈α16;␈αand␈αabout␈α0.1␈αwhen␈ε(␈αb␈ε"␈α
=␈α
64.
␈βλ↑␈↓ ↓H␈ε2B.␈α	The␈α
fraction␈α	parts.␈ε"␈α⊃F␈α⎇urther␈α
analysis␈α	of␈α
⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α
routines␈α
can␈α	be␈α
based␈α	on
␈β		␈↓ ↓H␈ε"the␈ε/␈αstatistical␈α
distribution␈α
of␈α
the␈α
fraction␈αparts␈ε"␈α
of␈α
randomly␈α
ch␈α↓osen␈αn␈α↓ormalized
␈β	5␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α	poin␈α␈t␈α
n␈α␈um␈α␈bers.␈α⊂In␈α	this␈α
case␈α
the␈α
facts␈α
are␈α
quite␈α
surprising,␈α
and␈α
there␈α
is␈α	an
␈β	`␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈teresting␈αtheory␈αthat␈αaccoun␈α␈ts␈αfor␈αthe␈αun␈α␈usual␈αphen␈α↓omena␈αthat␈αare␈αobserv␈α␈ed.
␈β
␈↓ α␈ε"F␈α⎇or␈αcon␈α␈v␈α␈enience␈αlet␈αus␈αtemporarily␈αassume␈αthat␈αw␈α␈e␈αare␈αdealing␈αwith␈α⎇oating
␈β
6␈↓ ↓H␈ε/decimal␈ε"␈α∞(i.e.,␈α∂radix␈α∞10)␈↓ ∧?␈ε"arithmetic;␈α⊂m␈α↓odi|cations␈α∞of␈α∂the␈α∞follo␈α␈wing␈α∞discussion␈α∞to
␈β
a␈↓ ↓H␈ε"an␈α␈y␈α∞other␈α∞positiv␈α␈e␈α∞in␈α␈teger␈α∞base␈ε(␈α∞b␈ε"␈α∞will␈α∞be␈α∞v␈α␈ery␈α∞straigh␈α␈tforw␈α␈ard.␈α⊗Suppose␈α∞w␈α␈e␈α∞are
␈βπ␈↓ 	∩␈ε+e
␈β
␈↓ ↓H␈ε"giv␈α␈en␈α∩a␈α∪\random"␈α∪positiv␈α␈e␈α∪n␈α↓ormalized␈α∩n␈α␈um␈α␈ber␈α∪(␈ε(e␈ε",␈↓ π}␈ε(f␈↓ λ∀␈ε")␈α∃=␈α∃1␈↓ 	␈ε"0␈↓ 	-␈ε6↓␈↓ 	D␈ε(f␈↓ 	Y␈ε".␈α%Since␈↓ 
l␈ε(f␈↓ ∀␈ε"is
␈β8␈↓ ↓H␈ε"n␈α↓ormalized,␈α⊂w␈α␈e␈α⊂kn␈α↓o␈α␈w␈α⊂that␈α∂its␈α⊂leading␈α∂digit␈α⊂is␈α⊂1,␈α⊂2,␈α⊃3,␈α⊂4,␈α⊃5,␈α⊃6,␈α⊂7,␈α⊃8,␈α⊂or␈α⊂9,␈α⊂and
␈βc␈↓ ↓H␈ε"it␈α∞seems␈α∂natural␈α∂to␈α∂assume␈α∂that␈α∂each␈α∞of␈α∂these␈α∂nine␈α∂possible␈α∂leading␈α∂digits␈α∞will
␈β∞␈↓ ↓H␈ε"occur␈αabout␈αone-nin␈α␈th␈αof␈αthe␈αtime.␈α∂But,␈αin␈αfact,␈αthe␈αbeha␈α␈vior␈αin␈αpractice␈αis␈αquite
␈β9␈↓ ↓H␈ε"di{eren␈α␈t.␈α∩F␈α⎇or␈α
example,␈α
the␈α
leading␈α
digit␈α
tends␈α
to␈α
be␈α
equal␈α
to␈α
1␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α
30␈αpercen␈α␈t
␈βe␈↓ ↓H␈ε"of␈αthe␈αtime!
␈β
⊂␈↓ α␈ε"One␈α∪w␈α␈a␈α␈y␈α∪to␈α∩test␈α∪the␈α∪assertion␈α∩just␈α∪made␈α∪is␈α∪to␈α∩tak␈α␈e␈α∪a␈α∪table␈α∪of␈α∩ph␈α␈ysical
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈ts␈αλ(e.g.,␈α
the␈αλspeed␈α	of␈αλligh␈α␈t,␈α
the␈αλacceleration␈α	of␈α	gra␈α␈vit␈α␈y)␈αλfrom␈α	some␈αλstandard
␈β
f␈↓ ↓H␈ε"reference.␈α→If␈α∂w␈α␈e␈α∂lo␈α↓ok␈α∂at␈α∂the␈ε/␈α∂Handbo␈α↓ok␈α∂of␈α∞Mathematical␈α∂F␈α⎇unctions␈ε"␈α∂(U.S.␈α∂Dept
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"of␈α⊂Commerce,␈α⊃1964),␈α⊃for␈α⊂example,␈α⊃w␈α␈e␈α⊃|nd␈α⊂that␈α⊂8␈α⊂of␈α⊂the␈α⊂28␈α⊂di{eren␈α␈t␈α⊂ph␈α␈ysical
␈β∞=␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈ts␈α
giv␈α␈en␈α
in␈α∞T␈α⎇able␈α
2.3,␈α∞roughly␈α
29␈α
percen␈α␈t,␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α
leading␈α
digit␈α∞equal␈α
to␈α
1.
␈β∞h␈↓ ↓H␈ε"The␈α
decimal␈αv␈α}alues␈α
of␈ε(␈α
n␈ε"!␈α
for␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αn␈ε6␈α∀␈ε"␈α100␈α
include␈α
exactly␈α
30␈α
en␈α␈tries␈αbeginning
␈β∂
␈↓ ε∩␈ε+n
␈β∂∪␈↓ ↓H␈ε"with␈α
1;␈α
so␈α
do␈α∞the␈α
decimal␈α
v␈α}alues␈α
of␈↓ ε␈ε"2␈↓ ε3␈ε"and␈α
of␈↓ π%␈ε(F␈↓ πQ␈ε",␈α
for␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αn␈ε6␈α∀␈ε"␈α100.␈α∪W␈α⎇e␈α
migh␈α␈t
␈β∂∨␈↓ π=␈ε+n
␈β∂>␈↓ ↓H␈ε"also␈αtry␈αlo␈α↓oking␈αat␈αcensus␈αreports,␈αor␈αa␈αF␈α⎇armer's␈αAlmanack␈α(but␈αn␈α↓ot␈αa␈αteleph␈α↓one
␈β∂i␈↓ ↓H␈ε"directory).
␈β⊂∃␈↓ α␈ε"In␈αthe␈α
da␈α␈ys␈αbefore␈αpock␈α␈et␈α
calculators,␈αthe␈α
pages␈αin␈αw␈α␈ell-used␈α
tables␈αof␈αloga-
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"rithms␈α	tended␈α	to␈αλget␈α	quite␈α	dirt␈α␈y␈α	in␈α	the␈α	fron␈α␈t,␈α
while␈α	the␈α	last␈α	pages␈αλsta␈α␈y␈α␈ed␈α	relativ␈α␈ely
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"clean␈α	and␈α
neat.␈α∂This␈α
phen␈α↓omen␈α↓on␈α	w␈α␈as␈α
apparen␈α␈tly␈α	|rst␈α
men␈α␈tioned␈α
in␈α	prin␈α␈t␈α
by␈α	the
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"American␈α∞astron␈α↓omer␈α
Sim␈α↓on␈↓ ¬≠␈ε"New␈α␈com␈α␈b␈α∞[␈ε/Amer.␈α∞J.␈α∞Math.␈ε2␈α⊗4␈ε"␈α∞(1881),␈α∞39↑40],␈α∞wh␈α↓o
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"240␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"ga␈α␈v␈α␈e␈αgo␈α↓od␈αgrounds␈αfor␈αbelieving␈αthat␈αthe␈αleading␈αdigit␈ε(␈αd␈ε"␈α
occurs␈αwith␈αprobabilit␈α␈y
␈βαO␈↓ ↓H␈ε"log␈↓ α⊗␈ε"(1␈α	+␈α
1/␈ε(d␈ε").␈α⊗The␈α∂same␈α∞distribution␈α∞w␈α␈as␈α∞disco␈α␈v␈α␈ered␈α∞empirically,␈α∂man␈α␈y␈α∞y␈α␈ears
␈βα←␈↓ ↓v␈ε%10
␈βαz␈↓ ↓H␈ε"later,␈α
by␈α
F␈α⎇rank␈↓ βF␈ε"Benford,␈α
wh␈α↓o␈α
reported␈α
the␈α∞results␈α
of␈α
20,229␈α
observ␈α}ations␈α
tak␈α␈en
␈ββ&␈↓ ↓H␈ε"from␈αdi{eren␈α␈t␈αsources␈α[␈ε/Proc.␈αAmer.␈αPhilosophical␈αSoc.␈ε2␈α78␈ε"␈α(1938),␈α551↑572].
␈ββQ␈↓ α␈ε"In␈αorder␈αto␈α
accoun␈α␈t␈αfor␈αthis␈↓ ¬F␈ε"leading-digit␈αla␈α␈w,␈↓ πa␈ε"let's␈α
tak␈α␈e␈αa␈αcloser␈αlo␈α↓ok␈αat␈αthe
␈ββ|␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈a␈α␈y␈α
w␈α␈e␈αwrite␈α
n␈α␈um␈α␈bers␈α
in␈α⎇oating␈α
poin␈α␈t␈αn␈α↓otation.␈α∂If␈αw␈α␈e␈α
tak␈α␈e␈αan␈α␈y␈α
positiv␈α␈e␈α
n␈α␈um␈α␈ber
␈β∧'␈↓ ↓H␈ε(u␈ε"␈α␈,␈α⊃its␈α⊂leading␈α⊂digits␈α⊂are␈α⊃determined␈α⊂by␈α⊂the␈α⊂v␈α}alue␈α⊂(␈↓ πz␈ε"log␈↓ λN␈ε(u␈ε"␈α␈)␈↓ λt␈ε"mod␈↓ 	>␈ε"1:␈α∀The␈α⊂leading
␈β∧7␈↓ λ(␈ε%10
␈β∧R␈↓ ↓H␈ε"digit␈αis␈αless␈αthan␈ε(␈αd␈ε"␈αif␈αand␈αonly␈αif
␈β¬∞␈↓ ∧u␈ε"(␈↓ ¬↓␈ε"log␈↓ ¬U␈ε(u␈ε"␈α␈)␈↓ ¬{␈ε"mod␈↓ εE␈ε"1␈α
<␈↓ π∂␈ε"log␈↓ πc␈ε(d␈ε"␈α↓,␈↓ α␈ε"(1)
␈β¬≡␈↓ ¬/␈ε%10␈↓ π=␈ε%10
␈β¬C␈↓ βE␈ε%(␈↓ βO␈ε%log␈↓ ∧↔␈ε+u␈ε%)␈↓ ∧8␈ε%mod␈↓ ∧v␈ε%1
␈β¬I␈↓ ↓H␈ε"since␈α10␈↓ αD␈ε(f␈↓ αs␈ε"=␈α
1␈↓ β3␈ε"0␈↓ ¬ε␈ε".
␈β¬P␈↓ βv␈ε'1␈α↓0
␈β¬V␈↓ αU␈ε+u
␈β¬t␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈α	if␈α	w␈α␈e␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈α	a␈αλ\random"␈α	positiv␈α␈e␈α	n␈α␈um␈α␈ber␈↓ π<␈ε(U␈↓ πY␈ε",␈α
ch␈α↓osen␈α	from␈α	some␈αλreasonable
␈βε ␈↓ ↓H␈ε"distribution␈α∂that␈α∂migh␈α␈t␈α∂occur␈α∂in␈α∂nature,␈α∂w␈α␈e␈α∂migh␈α␈t␈α∂expect␈α∂that␈α∂(␈↓ 	M␈ε"log␈↓ 
!␈ε(U␈↓ 
>␈ε")␈↓ 
P␈ε"mod␈↓ ~␈ε"1
␈βε/␈↓ 	{␈ε%10
␈βεK␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈ould␈α∞be␈α∂uniformly␈α∂distributed␈α∞bet␈α␈w␈α␈een␈α∂zero␈α∞and␈α∂one,␈α∂at␈α∂least␈α∂to␈α∞a␈α∂v␈α␈ery␈α∞go␈α↓od
␈βεp␈↓ πa␈ε%2
␈βεt␈↓ λl␈ε6p
␈βεv␈↓ ↓H␈ε"appro␈α␈ximation.␈α≠(Similarly,␈α∞w␈α␈e␈α
expect␈↓ ε-␈ε(U␈↓ εP␈ε"mod␈↓ π~␈ε"1,␈↓ πD␈ε(U␈↓ πx␈ε"mod␈↓ λB␈ε"1,␈↓ 	
␈ε(U␈↓ 	/␈ε"+␈↓ 	[␈ε(→␈↓ 	w␈ε"mod␈↓ 
A␈ε"1,␈α
etc.,
␈βεw␈↓ 	
␈∧εw	
αh
␈βπ!␈↓ ↓H␈ε"to␈α⊂be␈α⊃uniformly␈α⊂distributed.␈α≡W␈α⎇e␈α⊂expect␈α⊂a␈α⊃roulette␈α⊂wheel␈α⊃to␈α⊂be␈α⊃un␈α␈biased,␈α⊃for
␈βπL␈↓ ↓H␈ε"essen␈α␈tially␈α∞the␈α
same␈α∞reason.)␈α≥Therefore␈α∞by␈α∞(1)␈α∞the␈α∞leading␈α∞digit␈α∞will␈α∞be␈α∞1␈α
with
␈βπx␈↓ ↓H␈ε"probabilit␈α␈y␈↓ β¬␈ε"log␈↓ βY␈ε"2␈ε6␈α∩→␈ε"␈α∩30.103␈α⊃percen␈α␈t;␈α∀it␈α⊃will␈α⊃be␈α⊃2␈α⊃with␈α⊃probabilit␈α␈y␈↓ 
↔␈ε"log␈↓ 
k␈ε"3␈ε6␈α␈
␈βλπ␈↓ β3␈ε%10␈↓ 
E␈ε%10
␈βλ#␈↓ ↓H␈ε"log␈↓ α≤␈ε"2␈ε6␈α
→␈ε"␈α
17.609␈α∞percen␈α␈t;␈α∂and,␈α∂in␈α∞general,␈α∞if␈↓ π∃␈ε(r␈↓ π4␈ε"is␈α∞an␈α␈y␈α∞real␈α∞v␈α}alue␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α∞1␈α∞and
␈βλ3␈↓ ↓v␈ε%10
␈βλN␈↓ ↓H␈ε"10,␈αw␈α␈e␈αough␈α␈t␈αto␈αha␈α␈v␈α␈e␈α10␈↓ ∧?␈ε(f␈↓ ∧s␈ε6∀␈↓ ¬!␈ε(r␈↓ ¬>␈ε"appro␈α␈ximately␈↓ π,␈ε"log␈↓ λ␈ε(r␈↓ λ≤␈ε"of␈αthe␈αtime.
␈βλZ␈↓ ∧P␈ε+U
␈βλ↑␈↓ πZ␈ε%10
␈βλy␈↓ α␈ε"An␈α↓other␈α∂w␈α␈a␈α␈y␈α⊂to␈α∂explain␈α∂this␈α⊂la␈α␈w␈α∂is␈α∂to␈α∂sa␈α␈y␈α⊂that␈α∂a␈α∂random␈α⊂v␈α}alue␈↓ 
→␈ε(U␈↓ 
E␈ε"sh␈α↓ould
␈β	$␈↓ ↓H␈ε"appear␈αat␈αa␈αrandom␈αpoin␈α␈t␈αon␈αa␈↓ ¬5␈ε"slide␈αrule,␈αaccording␈αto␈αthe␈αuniform␈αdistribution,
␈β	P␈↓ ↓H␈ε"since␈α
the␈αdistance␈αfrom␈αthe␈αle$␈α
end␈αof␈αa␈αslide␈αrule␈α
to␈αthe␈αposition␈αof␈↓ 	n␈ε(U␈↓ 
⊗␈ε"is␈α
propor-
␈β	{␈↓ ↓H␈ε"tional␈α⊂to␈α⊂(␈↓ αn␈ε"log␈↓ βB␈ε(U␈↓ β←␈ε")␈↓ βq␈ε"mod␈↓ ∧;␈ε"1.␈α≥The␈α⊃analogy␈α⊂bet␈α␈w␈α␈een␈α⊂slide␈α⊃rules␈α⊂and␈α⊂⎇oating␈α⊂poin␈α␈t
␈β
␈↓ β≤␈ε%10
␈β
&␈↓ ↓H␈ε"calculation␈αis␈αv␈α␈ery␈αclose␈αwhen␈αm␈α␈ultiplication␈αand␈αdivision␈αare␈αbeing␈αconsidered.
␈β
Q␈↓ α␈ε"The␈αfact␈α
that␈αleading␈α
digits␈αtend␈α
to␈αbe␈α
small␈αis␈α
importan␈α␈t␈αto␈α
k␈α␈eep␈αin␈αmind;
␈β
|␈↓ ↓H␈ε"it␈αmak␈α␈es␈α
the␈αm␈α↓ost␈αobvious␈α
techniques␈αof␈α
\a␈α␈v␈α␈erage␈αerror"␈α
estimation␈αfor␈α⎇oating
␈β(␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈α
calculations␈α
in␈α␈v␈α}alid.␈α∀The␈α
relativ␈α␈e␈α
error␈α
due␈α
to␈α∞rounding␈α
is␈α
usually␈α
a␈α
little
␈βS␈↓ ↓H␈ε"m␈α↓ore␈αthan␈αexpected.
␈β}␈↓ α␈ε"Of␈αcourse,␈αit␈αma␈α␈y␈αjustly␈αbe␈αsaid␈αthat␈αthe␈αheuristic␈αargumen␈α␈t␈αabo␈α␈v␈α␈e␈αdoes␈αn␈α↓ot
␈β)␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α	stated␈α	la␈α␈w.␈α∂It␈α	merely␈α	sh␈α↓o␈α␈ws␈α	us␈α
a␈α	plausible␈α	reason␈α	wh␈α␈y␈α	the␈α	leading␈α	digits
␈βT␈↓ ↓H␈ε"beha␈α␈v␈α␈e␈α	the␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α	they␈α
do.␈α∂An␈α
in␈α␈teresting␈α	approach␈α
to␈α	the␈α
analysis␈α	of␈α
leading␈α	digits
␈β
␈↓ ↓H␈ε"has␈αbeen␈αsuggested␈αby␈αR.␈↓ ∧b␈ε"Hamming:␈αLet␈ε(␈αp␈ε"(␈↓ εp␈ε(r␈↓ π␈ε")␈αbe␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αthat␈α10␈↓ 
/␈ε(f␈↓ 
d␈ε6∀␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε",
␈β
␈↓ 
A␈ε+U
␈β
+␈↓ ↓H␈ε"where␈αλ1␈ε6␈α
∀␈↓ αv␈ε(r␈↓ β⊃␈ε6∀␈ε"␈α
10␈αλand␈↓ ∧.␈ε(f␈↓ ∧a␈ε"is␈αλthe␈α	n␈α↓ormalized␈αλfraction␈α	part␈αλof␈αλa␈α	random␈αλn␈α↓ormalized
␈β
7␈↓ ∧?␈ε+U
␈β
V␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈αpoin␈α␈t␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ ∧(␈ε(U␈↓ ∧E␈ε".␈α⊂If␈αw␈α␈e␈αthink␈αof␈αrandom␈αquan␈α␈tities␈αin␈αthe␈αreal␈αw␈α␈orld,␈αw␈α␈e
␈β∞↓␈↓ ↓H␈ε"observ␈α␈e␈α∞that␈α∂they␈α∞are␈α∂measured␈α∞in␈α∂terms␈α∞of␈α∂arbitrary␈α∞units;␈α⊂and␈α∂if␈α∞w␈α␈e␈α∂w␈α␈ere␈α∞to
␈β∞,␈↓ ↓H␈ε"change␈α
the␈α∞de|nition␈α∞of␈α∞a␈α∞meter␈α
or␈α∞a␈α∞gram,␈α∞man␈α␈y␈α∞of␈α∞the␈α∞fundamen␈α␈tal␈α
ph␈α␈ysical
␈β∞X␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈ts␈αλw␈α␈ould␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλdi{eren␈α␈t␈α	v␈α}alues.␈α∞Suppose␈α	then␈αλthat␈αλall␈αλof␈α	the␈αλn␈α␈um␈α␈bers␈αλin␈αλthe
␈β∂β␈↓ ↓H␈ε"univ␈α␈erse␈αare␈αsuddenly␈αm␈α␈ultiplied␈αby␈αa␈αconstan␈α␈t␈αfactor␈ε(␈αc␈ε";␈αour␈αuniv␈α␈erse␈αof␈αrandom
␈β∂.␈↓ ↓H␈ε"⎇oating␈α
poin␈α␈t␈α
quan␈α␈tities␈αsh␈α↓ould␈α
be␈α
essen␈α␈tially␈αunchanged␈α
by␈α
this␈α
transformation,
␈β∂Y␈↓ ↓H␈ε"so␈ε(␈αp␈ε"(␈↓ α∩␈ε(r␈↓ α"␈ε")␈αsh␈α↓ould␈αn␈α↓ot␈αbe␈αa{ected.
␈β⊂∧␈↓ α␈ε"Multiplying␈α∂ev␈α␈erything␈α∞by␈ε(␈α∂c␈ε"␈α∞has␈α∂the␈α∂e{ect␈α∞of␈α∂transforming␈α∞(␈↓ 	M␈ε"log␈↓ 
!␈ε(U␈↓ 
>␈ε")␈↓ 
P␈ε"mod␈↓ ~␈ε"1
␈β⊂∀␈↓ 	{␈ε%10
␈β⊂0␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈to␈α∞(␈↓ α∨␈ε"log␈↓ αs␈ε(U␈↓ β~␈ε"+␈↓ βG␈ε"log␈↓ ∧≠␈ε(c␈ε")␈↓ ∧<␈ε"mod␈↓ ¬ε␈ε"1.␈α↔It␈α∞is␈α∂n␈α↓o␈α␈w␈α∞time␈α∞to␈α∞set␈α∂up␈α∞form␈α␈ulas␈α∞that␈α∞describe
␈β⊂?␈↓ αM␈ε%10␈↓ βu␈ε%10
␈β⊂[␈↓ ↓H␈ε"the␈αdesired␈αbeha␈α␈vior;␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassume␈αthat␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
c␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
10.␈α⊂By␈αde|nition,
␈β⊃⊗␈↓ β5␈ε(p␈ε"(␈↓ βS␈ε(r␈↓ βc␈ε")␈α
=␈↓ ∧'␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ε-␈ε"(␈↓ ε9␈ε"log␈↓ π
␈ε(U␈↓ π+␈ε")␈↓ π=␈ε"mod␈↓ λπ␈ε"1␈ε6␈α
∀␈↓ λQ␈ε"log␈↓ 	%␈ε(r␈↓ 	5␈ε".
␈β⊃&␈↓ εg␈ε%1␈α↓0␈↓ λ␈␈ε%10
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"241
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"By␈αour␈αassumption,␈αw␈α␈e␈αsh␈α↓ould␈αalso␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βαm␈↓ α%␈ε(p␈ε"(␈↓ αC␈ε(r␈↓ αT␈ε")␈↓ αj␈ε"=␈↓ β_␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈↓ ¬≡␈ε"(␈↓ ¬*␈ε"log␈↓ ¬}␈ε(U␈↓ ε#␈ε"+␈↓ εO␈ε"log␈↓ π#␈ε(c␈ε")␈↓ πD␈ε"mod␈↓ λ∞␈ε"1␈ε6␈α
∀␈↓ λX␈ε"log␈↓ 	,␈ε(r
␈βα⎇␈↓ ¬X␈ε%10␈↓ ε⎇␈ε%10␈↓ 	ε␈ε%10
␈ββ_␈↓ β_␈ε↓8
␈ββ1␈↓ β6␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈α(␈↓ ¬H␈ε"log␈↓ ε≤␈ε(U␈↓ ε?␈ε"mod␈↓ π	␈ε"1)␈ε6␈α
∀␈↓ π←␈ε"log␈↓ λ3␈ε(r␈↓ λL␈ε6␈␈↓ λx␈ε"log␈↓ 	L␈ε(c
␈ββ9␈↓ β_␈ε↓>
␈ββA␈↓ ¬v␈ε%10␈↓ λ
␈ε%10␈↓ 	&␈ε%10
␈ββC␈↓ β_␈ε↓>
␈ββN␈↓ β_␈ε↓>
␈ββY␈↓ β_␈ε↓>
␈ββd␈↓ β_␈ε↓>
␈ββo␈↓ β_␈ε↓<
␈ββr␈↓ ∧8␈ε"or␈↓ ∧d␈ε"(␈↓ ∧p␈ε"log␈↓ ¬D␈ε(U␈↓ ¬g␈ε"mod␈↓ ε1␈ε"1)␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈↓ πM␈ε"log␈↓ λ!␈ε(c␈ε",␈↓ 	αif␈ε(␈αc␈ε6␈α∀␈↓ 	l␈ε(r␈↓ 	|␈ε";
␈β∧α␈↓ ¬≡␈ε%10␈↓ π{␈ε%10
␈β∧_␈↓ αj␈ε"=
␈β∧/␈↓ β_␈ε↓>
␈β∧:␈↓ β_␈ε↓>
␈β∧>␈↓ β6␈ε"probabilit␈α␈y␈αthat␈α(␈↓ ¬H␈ε"log␈↓ ε≤␈ε(U␈↓ ε?␈ε"mod␈↓ π	␈ε"1)␈ε6␈α
∀␈↓ π←␈ε"log␈↓ λ3␈ε(r␈↓ λL␈ε"+␈αλ1␈ε6␈αλ␈␈↓ 	>␈ε"log␈↓ 
∩␈ε(c
␈β∧E␈↓ β_␈ε↓>
␈β∧N␈↓ ¬v␈ε%10␈↓ λ
␈ε%10␈↓ 	l␈ε%10
␈β∧P␈↓ β_␈ε↓>
␈β∧[␈↓ β_␈ε↓>
␈β∧e␈↓ β_␈ε↓:
␈β∧␈␈↓ ∧≡␈ε"and␈↓ ∧d␈ε"(␈↓ ∧p␈ε"log␈↓ ¬D␈ε(U␈↓ ¬g␈ε"mod␈↓ ε1␈ε"1)␈ε6␈α
∃␈ε"␈α
1␈ε6␈αλ␈␈↓ πM␈ε"log␈↓ λ!␈ε(c␈ε",␈↓ 	αif␈ε(␈αc␈ε6␈α∃␈↓ 	l␈ε(r␈↓ 	|␈ε";
␈β¬∞␈↓ ¬≡␈ε%10␈↓ π{␈ε%10
␈β¬C␈↓ β_␈ε↓(
␈β¬H␈↓ β5␈ε(p␈ε"(␈↓ βS␈ε(r␈↓ βc␈ε"/␈ε(c␈ε"␈α↓)␈αλ+␈αλ1␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλp␈ε"(10/␈ε(c␈ε"),␈↓ εL␈ε"if␈ε(␈αc␈ε6␈α
∀␈↓ π5␈ε(r␈↓ πF␈ε";
␈β¬g␈↓ αj␈ε"=␈↓ α␈ε"(2)
␈βεε␈↓ β5␈ε(p␈ε"(10␈↓ βw␈ε(r␈↓ ∧π␈ε"/␈ε(c␈ε"␈α↓)␈ε6␈αλ␈␈ε(␈αλp␈ε"(10/␈ε(c␈ε"),␈↓ εL␈ε"if␈ε(␈αc␈ε6␈α
∃␈↓ π5␈ε(r␈↓ πF␈ε".
␈βεV␈↓ ↓H␈ε"Let␈α∞us␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∂extend␈α∞the␈α∂function␈ε(␈α∞p␈ε"(␈↓ ¬r␈ε(r␈↓ εβ␈ε")␈α∞to␈α∞v␈α}alues␈α∂outside␈α∞the␈α∂range␈α∞1␈ε6␈α∞∀␈↓ 
.␈ε(r␈↓ 
L␈ε6∀␈ε"␈α∞10,
␈βε{␈↓ βF␈ε+n
␈βπ↓␈↓ ↓H␈ε"by␈αde|ning␈ε(␈α
p␈ε"(1␈↓ β4␈ε"0␈↓ βZ␈ε(r␈↓ βk␈ε")␈α=␈ε(␈αp␈ε"(␈↓ ∧O␈ε(r␈↓ ∧`␈ε")␈αλ+␈ε(␈α	n␈ε";␈α
then␈α
if␈αw␈α␈e␈α
replace␈α
10/␈ε(c␈ε"␈α
by␈ε(␈α
d␈ε",␈α
the␈α
last␈αequation
␈βπ,␈↓ ↓H␈ε"of␈α(2)␈αma␈α␈y␈αbe␈αwritten
␈βπW␈↓ ¬≥␈ε(p␈ε"(␈↓ ¬;␈ε(r␈↓ ¬L␈ε(d␈ε")␈α
=␈ε(␈α
p␈ε"(␈↓ ε@␈ε(r␈↓ εQ␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλp␈ε"(␈ε(d␈ε").␈↓ α␈ε"(3)
␈βλ_␈↓ ↓H␈ε"If␈αour␈αassumption␈αabout␈αin␈α␈v␈α}ariance␈αof␈αthe␈αdistribution␈α
under␈αm␈α␈ultiplication␈αby␈αa
␈βλD␈↓ ↓H␈ε"constan␈α␈t␈α
factor␈α
is␈α
v␈α}alid,␈α∞then␈α
Eq.␈α
(3)␈α
m␈α␈ust␈α∞h␈α↓old␈α
for␈α
all␈↓ λ/␈ε(r␈↓ λL␈ε">␈α0␈α
and␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αd␈ε6␈α∀␈ε"␈α10.
␈βλo␈↓ ↓H␈ε"The␈αfacts␈αthat␈ε(␈αp␈ε"(1)␈α
=␈α
0,␈ε(␈αp␈ε"(10)␈α
=␈α
1␈αn␈α↓o␈α␈w␈αimply␈αthat
␈β	%␈↓ βw␈ε↓␈␈↓ ∧y␈ε↓↓␈↓ εw␈ε↓␈␈↓ λ&␈ε↓↓
␈β	1␈↓ ∧_␈ε+n␈↓ ¬d␈ε+n␈↓ π_␈ε+n␈↓ 
	␈ε+n
␈β	<␈↓ ∧e␈ε+n␈↓ πe␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β	=␈↓ ∧⊃␈ε6p␈↓ ¬]␈ε6p␈↓ π⊃␈ε6p␈↓ 
α␈ε6p
␈β	@␈↓ ∧/␈∧	@∧/α$␈↓ ¬{␈∧	@¬{α$␈↓ π/␈∧	@π/α$␈↓ 
 ␈∧	@
 α$
␈β	C␈↓ α∃␈ε"1␈α
=␈ε(␈α
p␈ε"(10)␈α
=␈ε(␈α
p␈↓ ∧¬␈ε"(␈↓ ∧/␈ε"10␈↓ ∧Y␈ε")␈↓ ¬⊃␈ε"=␈ε(␈α
p␈ε"(␈↓ ¬{␈ε"10␈↓ ε%␈ε")␈αλ+␈ε(␈αλp␈↓ π¬␈ε"(␈↓ π/␈ε"10␈↓ πY␈ε")␈↓ λ>␈ε"=␈↓ λl␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	 ␈ε"=␈ε(␈α
np␈ε"(␈↓ 
 ␈ε"10␈↓ 
J␈ε");
␈β
⊃␈↓ ∧x␈ε+m␈ε%␈α␈/␈ε+␈α↓n
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε"hence␈α∂w␈α␈e␈α⊂deduce␈α⊂that␈ε(␈α⊂p␈ε"(1␈↓ ∧f␈ε"0␈↓ ¬6␈ε")␈α⊂=␈ε(␈α⊂m␈ε"/␈ε(n␈ε"␈α⊂for␈α⊂all␈α∂positiv␈α␈e␈α⊂in␈α␈tegers␈ε(␈α⊂m␈ε"␈α⊂and␈ε(␈α∂n␈ε".␈α≠If
␈β
B␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α∞n␈α↓o␈α␈w␈α∂decide␈α∞to␈α∂require␈α∂that␈ε(␈α∞p␈ε"␈α∂is␈α∞con␈α␈tin␈α␈uous,␈α⊂w␈α␈e␈α∞are␈α∂forced␈α∞to␈α∂conclude␈α∞that
␈β
m␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"(␈↓ ↓f␈ε(r␈↓ ↓v␈ε")␈α
=␈↓ α:␈ε"log␈↓ β∞␈ε(r␈↓ β∨␈ε",␈αand␈αthis␈αis␈αthe␈αdesired␈αla␈α␈w.
␈β
⎇␈↓ αh␈ε%10
␈β_␈↓ α␈ε"Alth␈α↓ough␈αλthis␈αλargumen␈α␈t␈α	ma␈α␈y␈αλbe␈αλm␈α↓ore␈αλcon␈α␈vincing␈α	than␈αλthe␈αλ|rst␈αλone,␈α	it␈αλdoesn't
␈βD␈↓ ↓H␈ε"really␈αh␈α↓old␈αup␈α
under␈αscrutin␈α␈y␈α
if␈αw␈α␈e␈αstick␈α
to␈αcon␈α␈v␈α␈en␈α␈tional␈α
n␈α↓otions␈αof␈αprobabilit␈α␈y.
␈βo␈↓ ↓H␈ε"The␈α⊂traditional␈α⊃w␈α␈a␈α␈y␈α⊃to␈α⊃mak␈α␈e␈α⊂the␈α⊃abo␈α␈v␈α␈e␈α⊃argumen␈α␈t␈α⊃rigorous␈α⊂is␈α⊃to␈α⊃assume␈α⊂that
␈β~␈↓ ↓H␈ε"there␈α
is␈αsome␈αunderlying␈αdistribution␈α
of␈αn␈α␈um␈α␈bers␈↓ πJ␈ε(F␈↓ πf␈ε"(␈ε(u␈ε")␈αsuch␈α
that␈αa␈αgiv␈α␈en␈α
positiv␈α␈e
␈βE␈↓ ↓H␈ε"n␈α␈um␈α␈ber␈↓ αI␈ε(U␈↓ αq␈ε"is␈ε6␈α∀␈ε(␈α
u␈ε"␈αwith␈αprobabilit␈α␈y␈↓ ¬k␈ε(F␈↓ επ␈ε"(␈ε(u␈ε");␈αthen␈αthe␈αprobabilit␈α␈y␈αof␈αconcern␈αto␈αus␈αis
␈βr␈↓ ¬-␈ε↓X
␈βu␈↓ ¬g␈ε↓␈␈↓ λ"␈ε↓↓
␈β
␈↓ εA␈ε+m␈↓ πz␈ε+m
␈β
∀␈↓ ∧:␈ε(p␈ε"(␈↓ ∧X␈ε(r␈↓ ∧i␈ε")␈α
=␈↓ ¬u␈ε(F␈↓ ε⊃␈ε"(1␈↓ ε/␈ε"0␈↓ ε]␈ε(r␈↓ εn␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ π.␈ε(F␈↓ πJ␈ε"(1␈↓ πh␈ε"0␈↓ λ⊗␈ε")␈↓ λ0␈ε",␈↓ α␈ε"(4)
␈β
D␈↓ ¬8␈ε+m
␈β
t␈↓ ↓H␈ε"summed␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α	all␈α	v␈α}alues␈ε6␈α	␈1␈ε"␈α
<␈ε(␈α
m␈ε"␈α	<␈ε6␈α
1␈ε".␈α∂Our␈α	assumptions␈α	about␈α	scale␈α	in␈α␈v␈α}ariance
␈β∞∨␈↓ ↓H␈ε"and␈αcon␈α␈tin␈α␈uit␈α␈y␈αha␈α␈v␈α␈e␈αled␈αus␈αto␈αconclude␈αthat
␈β∞n␈↓ ¬J␈ε(p␈ε"(␈↓ ¬h␈ε(r␈↓ ¬x␈ε")␈α
=␈↓ ε<␈ε"log␈↓ π⊂␈ε(r␈↓ π!␈ε".
␈β∞}␈↓ εj␈ε%10
␈β∂<␈↓ ↓H␈ε"Using␈αthe␈αsame␈αargumen␈α␈t,␈αw␈α␈e␈αcould␈α\pro␈α␈v␈α␈e"␈αthat
␈β∂i␈↓ ∧C␈ε↓X
␈β∂l␈↓ ∧⎇␈ε↓␈␈↓ π∂␈ε↓↓
␈β⊂β␈↓ ¬B␈ε+m␈↓ εf␈ε+m
␈β⊂␈↓ ¬␈ε(F␈↓ ¬'␈ε"(␈↓ ¬3␈ε(b␈↓ ¬↑␈ε(r␈↓ ¬o␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε/␈ε(F␈↓ εK␈ε"(␈↓ εW␈ε(b␈↓ πβ␈ε")␈↓ π'␈ε"=␈↓ πU␈ε"log␈↓ λ↔␈ε(r␈↓ λ'␈ε",␈↓ α␈ε"(5)
␈β⊂≠␈↓ λβ␈ε+b
␈β⊂;␈↓ ∧O␈ε+m
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"for␈α
each␈α
in␈α␈teger␈ε(␈α
b␈ε6␈α∃␈ε"␈α2,␈α∞when␈α
1␈ε6␈α∀␈↓ ¬n␈ε(r␈↓ ε␈ε6∀␈ε(␈αb␈ε".␈α∪But␈α∞there␈ε/␈α
is␈ε"␈α
n␈α↓o␈α
distribution␈α
function
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε(F␈↓ ↓p␈ε"that␈αsatis|es␈αthis␈αequation␈αfor␈αall␈αsuch␈ε(␈αb␈ε"␈αand␈↓ π7␈ε(r␈↓ πH␈ε"!␈α→(See␈αexercise␈α7.)
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"242␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"One␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α
out␈α
of␈α
the␈αdi}cult␈α␈y␈α
is␈α
to␈α
regard␈α
the␈α
logarithm␈α
la␈α␈w␈ε(␈α
p␈ε"(␈↓ 	I␈ε(r␈↓ 	Z␈ε")␈α
=␈↓ 
≡␈ε"log␈↓ 
r␈ε(r␈↓ ␈ε"as
␈βα2␈↓ 
L␈ε%10
␈βαM␈↓ ↓H␈ε"only␈α
a␈αv␈α␈ery␈α
close␈ε/␈α
appro␈α␈ximation␈ε"␈α
to␈α
the␈α
true␈α
distribution.␈α∪The␈α
true␈αdistribution
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"itself␈αma␈α␈y␈αperhaps␈αbe␈α
changing␈αas␈αthe␈αuniv␈α␈erse␈αexpands,␈α
becoming␈αa␈αbetter␈αand
␈ββ$␈↓ ↓H␈ε"better␈α⊃appro␈α␈ximation␈α⊃as␈α∩time␈α⊃goes␈α∩on;␈α∀and␈α⊃if␈α⊃w␈α␈e␈α∩replace␈α⊃10␈α∩by␈α⊃an␈α⊃arbitrary
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"base␈ε(␈α
b␈ε"␈α↓,␈α∞the␈α∞appro␈α␈ximation␈α∞migh␈α␈t␈α∞be␈α
less␈α∞accurate␈α∞(at␈α∞an␈α␈y␈α∞giv␈α␈en␈α∞time)␈α∞as␈ε(␈α
b␈ε"␈α∞gets
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"larger.␈α∂An␈α↓other␈α
rather␈α
appealing␈α	w␈α␈a␈α␈y␈α
to␈α
resolv␈α␈e␈α
the␈α
dilemma,␈α
by␈α
abandoning␈α	the
␈β∧%␈↓ ↓H␈ε"traditional␈α
idea␈α
of␈α
a␈α
distribution␈α
function,␈α∞has␈α
been␈α
suggested␈α
by␈α
R.␈α
A.␈↓ 
B␈ε"Raimi,
␈β∧Q␈↓ ↓H␈ε/AMM␈ε2␈α76␈ε"␈α(1969),␈α342↑348.
␈β¬␈↓ α␈ε"The␈α	hedging␈α	in␈α
the␈α	last␈α	paragraph␈α	is␈α
probably␈α	a␈α	v␈α␈ery␈α	unsatisfactory␈α	explana-
␈β¬,␈↓ ↓H␈ε"tion,␈α∂and␈α∞so␈α∂the␈α∞follo␈α␈wing␈α∂further␈α∞calculation␈α∂(which␈α∞sticks␈α∞to␈α∂rigorous␈α∞mathe-
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε"matics␈αand␈α
a␈α␈v␈α␈oids␈α
an␈α␈y␈α
in␈α␈tuitiv␈α␈e,␈α
y␈α␈et␈αparado␈α␈xical,␈α
n␈α↓otions␈α
of␈α
probabilit␈α␈y)␈αsh␈α↓ould
␈βεα␈↓ ↓H␈ε"be␈αw␈α␈elcome.␈α∂Let␈αus␈αconsider␈αthe␈αdistribution␈αof␈αthe␈αleading␈αdigits␈αof␈αthe␈ε/␈αpositiv␈α␈e
␈βε-␈↓ ↓H␈ε/in␈α␈tegers␈ε",␈αinstead␈αof␈αthe␈αdistribution␈αfor␈αsome␈αimagined␈αset␈αof␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈bers.␈α∂The
␈βεX␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈v␈α␈estigation␈α∂of␈α∂this␈α⊂topic␈α∂is␈α∂quite␈α⊂in␈α␈teresting,␈α⊂n␈α↓ot␈α∂only␈α∂because␈α⊂it␈α∂sheds␈α∂some
␈βπ∧␈↓ ↓H␈ε"ligh␈α␈t␈α⊂on␈α⊂the␈α⊃probabilit␈α␈y␈α⊂distributions␈α⊂of␈α⊃⎇oating␈α⊂poin␈α␈t␈α⊂data,␈α∩but␈α⊂also␈α⊂because
␈βπ/␈↓ ↓H␈ε"it␈α∞mak␈α␈es␈α
a␈α∞particularly␈α∞instructiv␈α␈e␈α∞example␈α∞of␈α∞h␈α↓o␈α␈w␈α∞to␈α∞com␈α␈bine␈α∞the␈α∞meth␈α↓ods␈α
of
␈βπZ␈↓ ↓H␈ε"discrete␈αmathematics␈αwith␈αthe␈αmeth␈α↓ods␈αof␈αin|nitesimal␈αcalculus.
␈βλ
␈↓ α␈ε"In␈α⊃the␈α∩follo␈α␈wing␈α⊃discussion,␈α∪let␈↓ ε⊃␈ε(r␈↓ ε3␈ε"be␈α∩a␈α⊃|xed␈α∩real␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber,␈α∪1␈ε6␈α∪∀␈↓ 
$␈ε(r␈↓ 
G␈ε6∀␈ε"␈α∪10;
␈βλ5␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈α
will␈α∞attempt␈α
to␈α∞mak␈α␈e␈α
a␈α∞reasonable␈α
de|nition␈α∞of␈ε(␈α
p␈ε"(␈↓ λ→␈ε(r␈↓ λ*␈ε"),␈α
the␈α∞\␈↓ 	∨␈ε"probabilit␈α␈y"␈α
that
␈βλZ␈↓ ∧→␈ε+e
␈βλ`␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞represen␈α␈tation␈α∞1␈↓ ∧π␈ε"0␈↓ ∧H␈ε6↓␈↓ ∧\␈ε(f␈↓ ¬→␈ε"of␈α∞a␈α∞\random"␈α∞positiv␈α␈e␈α∞in␈α␈teger␈↓ 	
␈ε(N␈↓ 	>␈ε"has␈α∞10␈↓ 
$␈ε(f␈↓ 
a␈ε"<␈↓ ∩␈ε(r␈↓ "␈ε",
␈βλd␈↓ ∧&␈ε-N
␈βλm␈↓ ∧m␈ε+N␈↓ 
6␈ε+N
␈β	␈↓ ↓H␈ε"assuming␈αin|nite␈αprecision.
␈β	;␈↓ α␈ε"T␈α⎇o␈α
start,␈α
let␈αus␈α
try␈α
to␈α
|nd␈αthe␈α
probabilit␈α␈y␈α
using␈α
a␈αlimiting␈α
meth␈α↓od␈α
lik␈α␈e␈αthe
␈β	g␈↓ ↓H␈ε"de|nition␈αof␈α
\␈↓ β%␈ε"Pr"␈αin␈α
Section␈α3.5.␈α∩One␈αnice␈α
w␈α␈a␈α␈y␈αto␈αrephrase␈α
that␈αde|nition␈α
is␈αto
␈β
∩␈↓ ↓H␈ε"de|ne
␈β
6␈↓ ε'␈ε+e
␈β
<␈↓ ∧)␈ε"1,␈↓ ¬∪␈ε"if␈ε(␈αn␈ε"␈α
=␈α
1␈↓ ε∃␈ε"0␈↓ ε=␈ε6↓␈↓ εO␈ε(f␈↓ εq␈ε"where␈α10␈↓ π⎇␈ε(f␈↓ λ≤␈ε"<␈↓ λJ␈ε(r␈↓ λ[␈ε",
␈β
C␈↓ ∧␈ε↓(
␈β
g␈↓ α␈␈ε(P␈↓ β&␈ε"(␈ε(n␈ε")␈α
=␈↓ ε↓␈ε"i.e.,␈αif␈α(␈↓ εs␈ε"log␈↓ πG␈ε(n␈ε")␈↓ πo␈ε"mod␈↓ λ9␈ε"1␈α
<␈↓ 	β␈ε"log␈↓ 	W␈ε(r␈↓ 	g␈ε";␈↓ α␈ε"(6)
␈β
t␈↓ β∃␈ε%0
␈β
w␈↓ π!␈ε%10␈↓ 	1␈ε%10
␈β∪␈↓ ∧)␈ε"0,␈↓ ¬∪␈ε"otherwise.
␈β←␈↓ ↓H␈ε"No␈α␈w␈↓ α∨␈ε(P␈↓ αF␈ε"(1),␈↓ β␈ε(P␈↓ β3␈ε"(2),␈↓ βy␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ∧4␈ε"is␈α⊂an␈α⊃in|nite␈α⊂sequence␈α⊃of␈α⊃zeros␈α⊂and␈α⊃ones,␈α⊃with␈α⊃ones␈α⊂to
␈βl␈↓ α6␈ε%0␈↓ β#␈ε%0
␈β
␈↓ ↓H␈ε"represen␈α␈t␈α∞the␈α∂cases␈α∂that␈α∞con␈α␈tribute␈α∂to␈α∞the␈α∂probabilit␈α␈y␈α∂w␈α␈e␈α∞are␈α∂seeking.␈α_W␈α⎇e␈α∞can
␈β6␈↓ ↓H␈ε"try␈αto␈α\a␈α␈v␈α␈erage␈αout"␈αthis␈αsequence,␈αby␈αde|ning
␈β
ε␈↓ εG␈ε↓X
␈β
⊃␈↓ ε␈ε"1
␈β
(␈↓ ∧x␈ε(P␈↓ ¬ ␈ε"(␈ε(n␈ε"␈α␈)␈α
=␈↓ π≡␈ε(P␈↓ πF␈ε"(␈↓ πR␈ε(k␈↓ πf␈ε").␈↓ α␈ε"(7)
␈β
5␈↓ ¬∂␈ε%1␈↓ π5␈ε%0
␈β
=␈↓ ε	␈∧
=ε	α⊗
␈β
B␈↓ ε	␈ε(n
␈β
Y␈↓ ε)␈ε%1␈ε9∀␈↓ εV␈ε+k␈↓ εg␈ε9∀␈ε+␈α␈n
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε"Th␈α␈us␈α
if␈α
w␈α␈e␈α
generate␈α
a␈α
random␈α∞in␈α␈teger␈α
bet␈α␈w␈α␈een␈α
1␈α
and␈ε(␈α
n␈ε"␈α
using␈α
the␈α
techniques␈α
of
␈β∞[␈↓ ↓H␈ε"Chapter␈α∂3,␈α∂and␈α∂con␈α␈v␈α␈ert␈α∂it␈α∂to␈α∂⎇oating␈α∂decimal␈α∂form␈α∂(␈ε(e␈ε",␈↓ λ3␈ε(f␈↓ λI␈ε"),␈α∂the␈α∂probabilit␈α␈y␈α∂that
␈β∂ε␈↓ ↓H␈ε"10␈↓ ↓l␈ε(f␈↓ α␈ε"<␈↓ α9␈ε(r␈↓ αU␈ε"is␈αexactly␈↓ βu␈ε(P␈↓ ∧≤␈ε"(␈ε(n␈ε").␈α∂It␈αis␈αnatural␈αto␈αlet␈↓ πλ␈ε"lim␈↓ λ∂␈ε(P␈↓ λ7␈ε"(␈ε(n␈ε"␈α␈)␈αbe␈αthe␈α\probabilit␈α␈y"
␈β∂∪␈↓ ∧␈ε%1␈↓ π:␈ε+n␈ε9!␈α␈1␈↓ λ&␈ε%1
␈β∂2␈↓ ↓H␈ε(p␈ε"(␈↓ ↓f␈ε(r␈↓ ↓v␈ε")␈αw␈α␈e␈αare␈αa$er,␈αand␈αthat␈αis␈αjust␈αwhat␈αw␈α␈e␈αdid␈αin␈αSection␈α3.5.
␈β∂a␈↓ α␈ε"But␈α∞in␈α∞this␈α∞case␈α∂the␈α∞limit␈α∞does␈α∞n␈α↓ot␈α∞exist:␈α⊂F␈α⎇or␈α∞example,␈α∂let␈α∞us␈α∞consider␈α∞the
␈β⊂
␈↓ ↓H␈ε"subsequence
␈β⊂>␈↓ λ∂␈ε+n
␈β⊂F␈↓ βd␈ε(P␈↓ ∧␈ε"(␈ε(s␈ε"),␈↓ ∧K␈ε(P␈↓ ∧r␈ε"(10␈ε(s␈ε"),␈↓ ¬U␈ε(P␈↓ ¬|␈ε"(100␈ε(s␈ε"),␈↓ εq␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ π!␈ε",␈↓ π7␈ε(P␈↓ π←␈ε"(1␈↓ π⎇␈ε"0␈↓ λ#␈ε(s␈ε"),␈↓ λV␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ 	ε␈ε",
␈β⊂R␈↓ β{␈ε%1␈↓ ∧a␈ε%1␈↓ ¬k␈ε%1␈↓ πN␈ε%1
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"where␈ε(␈αs␈ε"␈αis␈αa␈αreal␈αn␈α␈um␈α␈ber,␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
s␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
10.␈α⊂If␈ε(␈αs␈ε6␈α
∀␈↓ π∨␈ε(r␈↓ π/␈ε",␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"243
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βα⊃␈↓ ∧O␈ε↓␈
␈βα↔␈↓ ∧~␈ε"1
␈βα'␈↓ β∞␈ε+n␈↓ λp␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βα/␈↓ α7␈ε(P␈↓ α↑␈ε"(1␈↓ α|␈ε"0␈↓ β#␈ε(s␈ε")␈↓ βJ␈ε"=␈↓ ∧]␈ε6d␈↓ ∧k␈ε(r␈↓ ∧{␈ε6e␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈αλ+␈ε6␈αλd␈ε"10␈↓ ε5␈ε(r␈↓ εF␈ε6e␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈αλ+␈↓ π`␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∩␈ε"+␈ε6␈αλd␈ε"1␈↓ λ↑␈ε"0␈↓ 	1␈ε(r␈↓ 	A␈ε6e
␈βα<␈↓ αN␈ε%1
␈βαC␈↓ β|␈∧αCβ|αP
␈βαE␈↓ ∧ ␈ε+n
␈βαI␈↓ β|␈ε"1␈↓ ∧∞␈ε"0␈↓ ∧:␈ε(s
␈βαT␈↓ 	h␈ε↓↓
␈βαk␈↓ ε\␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λβ␈ε+n␈↓ 	T␈ε+n
␈βαs␈↓ ε␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ εJ␈ε"0␈↓ π%␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"1␈↓ πq␈ε"0␈↓ λ↔␈ε(s␈ε6c␈ε"␈αλ+␈αλ1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈↓ 	B␈ε"0
␈ββ)␈↓ ∧O␈ε↓␈
␈ββ0␈↓ ∧~␈ε"1
␈ββ@␈↓ π→␈ε+n␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈ββH␈↓ βJ␈ε"=␈↓ ∧]␈ε(r␈↓ ∧m␈ε"(1␈αλ+␈αλ10␈αλ+␈↓ ε↔␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εI␈ε"+␈αλ1␈↓ ππ␈ε"0␈↓ πZ␈ε")␈αλ+␈↓ λ~␈ε(O␈↓ λ7␈ε"(␈ε(n␈ε")
␈ββ\␈↓ β|␈∧β\β|αP
␈ββ↑␈↓ ∧ ␈ε+n
␈ββa␈↓ β|␈ε"1␈↓ ∧∞␈ε"0␈↓ ∧:␈ε(s
␈ββl␈↓ 
¬␈ε↓↓
␈β∧β␈↓ εj␈ε+n␈↓ 	q␈ε+n
␈β∧␈↓ ε␈ε"+␈ε6␈αλb␈ε"1␈↓ εX␈ε"0␈↓ ε}␈ε(s␈ε6c␈αλ␈␈ε"␈αλ1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ10␈ε6␈αλ␈␈↓ λo␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	!␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ 	←␈ε"0
␈β∧A␈↓ ∧O␈ε↓␈␈↓ 	¬␈ε↓↓
␈β∧H␈↓ ∧~␈ε"1
␈β∧Z␈↓ ¬$␈ε+n␈↓ ε!␈ε+n␈ε%␈α␈+1␈↓ πT␈ε+n
␈β∧[␈↓ ∧a␈ε%1
␈β∧`␈↓ βJ␈ε"=␈↓ ∧t␈ε"(1␈↓ ¬∩␈ε"0␈↓ ¬8␈ε(r␈↓ ¬Q␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ ε∂␈ε"0␈↓ εb␈ε")␈αλ+␈ε6␈αλb␈ε"1␈↓ πB␈ε"0␈↓ πh␈ε(s␈ε6c␈ε"␈αλ+␈↓ λ;␈ε(O␈↓ λW␈ε"(␈ε(n␈ε")␈↓ 	∪␈ε".␈↓ α␈ε"(8)
␈β∧p␈↓ ∧a␈ε%9
␈β∧t␈↓ β|␈∧∧tβ|αP␈↓ ∧a␈∧∧t∧aα⊂
␈β∧v␈↓ ∧ ␈ε+n
␈β∧y␈↓ β|␈ε"1␈↓ ∧∞␈ε"0␈↓ ∧:␈ε(s
␈β¬<␈↓ βf␈ε+n
␈β¬B␈↓ ↓H␈ε"As␈ε(␈α∞n␈ε6␈α
!␈α
1␈ε",␈↓ β∞␈ε(P␈↓ β6␈ε"(1␈↓ βT␈ε"0␈↓ βz␈ε(s␈ε")␈α∞therefore␈α∞approaches␈α∞the␈α∞limiting␈α∞v␈α}alue␈α∞1␈α	+␈α	(␈↓ 	v␈ε(r␈↓ 
⊂␈ε6␈␈ε"␈α	10)/9␈ε(s␈ε".
␈β¬N␈↓ β%␈ε%1
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε"The␈αabo␈α␈v␈α␈e␈α
calculation␈α
for␈α
the␈α
case␈ε(␈αs␈ε6␈α∀␈↓ ε?␈ε(r␈↓ ε\␈ε"can␈α
be␈α
m␈α↓odi|ed␈α
so␈αthat␈α
it␈α
is␈α
v␈α}alid␈αfor
␈βε∩␈↓ ∧L␈ε+n␈↓ εC␈ε+n
␈βε_␈↓ ↓H␈ε(s␈ε"␈α⊂>␈↓ α≥␈ε(r␈↓ α>␈ε"if␈α∂w␈α␈e␈α⊂replace␈ε6␈α⊂b␈ε"1␈↓ ∧:␈ε"0␈↓ ∧`␈ε(s␈ε6c␈ε"␈α+␈α
1␈α⊂by␈ε6␈α⊂d␈ε"1␈↓ ε1␈ε"0␈↓ εW␈ε(r␈↓ εg␈ε6e␈ε";␈α∩when␈ε(␈α⊂s␈ε6␈α⊂∃␈↓ λI␈ε(r␈↓ λY␈ε",␈α⊃w␈α␈e␈α⊂therefore␈α∂obtain
␈βεD␈↓ ↓H␈ε"the␈α∞limiting␈α∞v␈α}alue␈α∂10(␈↓ ∧ ␈ε(r␈↓ ∧:␈ε6␈␈ε"␈α	1)/9␈ε(s␈ε".␈α≡[See␈α∞J.␈↓ εX␈ε"F␈α⎇ranel,␈ε/␈α∂Naturforschende␈α∞Gesellscha$,
␈βεo␈↓ ↓H␈ε/Vierteljahrsschri$␈ε2␈α62␈ε"␈α(Z␈↓ ∧B␈ε"u␈↓ ∧C␈ε"∪␈↓ ∧V␈ε"rich,␈α1917),␈α286↑295.]
␈βπ∀␈↓ 	5␈ε+n
␈βπ~␈↓ α␈ε"In␈α	other␈α	w␈α␈ords,␈α	the␈α	sequence␈ε6␈α	h␈↓ ¬V␈ε(P␈↓ ¬⎇␈ε"(␈ε(n␈ε")␈ε6i␈ε"␈α	has␈αλsubsequences␈ε6␈α	h␈↓ λ]␈ε(P␈↓ 	¬␈ε"(1␈↓ 	#␈ε"0␈↓ 	I␈ε(s␈ε")␈ε6i␈ε"␈α	wh␈α↓ose␈αλlimit
␈βπ&␈↓ ¬l␈ε%1␈↓ λt␈ε%1
␈βπE␈↓ ↓H␈ε"goes␈αfrom␈α
(␈↓ αy␈ε(r␈↓ β∩␈ε6␈␈ε"␈αλ1)/9␈α
up␈αto␈α
10(␈↓ ¬≡␈ε(r␈↓ ¬7␈ε6␈␈ε"␈αλ1)/9␈↓ ε%␈ε(r␈↓ εC␈ε"and␈αdo␈α␈wn␈α
again␈αto␈α
(␈↓ 	α␈ε(r␈↓ 	≠␈ε6␈␈ε"␈αλ1)/9,␈α
as␈ε(␈α
s␈ε"␈αgoes
␈βπp␈↓ ↓H␈ε"from␈α1␈α
to␈↓ αi␈ε(r␈↓ βπ␈ε"to␈α10.␈α∩W␈α⎇e␈α
see␈αthat␈↓ ¬:␈ε(P␈↓ ¬a␈ε"(␈ε(n␈ε")␈αhas␈α
n␈α↓o␈α
limit␈αas␈ε(␈α
n␈ε6␈α!␈α1␈ε";␈α
and␈αthe␈α
v␈α}alues␈αof
␈βπ⎇␈↓ ¬P␈ε%1
␈βλ≤␈↓ ↓H␈ε(P␈↓ ↓o␈ε"(␈ε(n␈ε")␈α∞for␈α∞large␈ε(␈α∂n␈ε"␈α∞are␈α∞n␈α↓ot␈α∂particularly␈α∞go␈α↓od␈α∞appro␈α␈ximations␈α∂to␈α∞our␈α∞conjectured
␈βλ(␈↓ ↓↑␈ε%1
␈βλG␈↓ ↓H␈ε"limit␈↓ α≡␈ε"log␈↓ αr␈ε(r␈↓ β∞␈ε"either!
␈βλW␈↓ αL␈ε%10
␈βλr␈↓ α␈ε"Since␈↓ αi␈ε(P␈↓ β⊃␈ε"(␈ε(n␈ε"␈α␈)␈αdoesn't␈αapproach␈αa␈αlimit,␈αw␈α␈e␈αcan␈αtry␈αto␈αuse␈αthe␈αsame␈αidea␈αas␈α(7)
␈βλ}␈↓ β␈ε%1
␈β	≥␈↓ ↓H␈ε"once␈αagain,␈αto␈α\a␈α␈v␈α␈erage␈αout"␈αthe␈αan␈α↓omalous␈αbeha␈α␈vior.␈α⊂In␈αgeneral,␈αlet
␈β	←␈↓ ε]␈ε↓X
␈β	i␈↓ ε"␈ε"1
␈β
↓␈↓ ∧W␈ε(P␈↓ ¬6␈ε"(␈ε(n␈ε")␈α
=␈↓ π5␈ε(P␈↓ πg␈ε"(␈↓ πs␈ε(k␈↓ λλ␈ε")␈↓ λ∀␈ε".␈↓ α␈ε"(9)
␈β
∞␈↓ ∧m␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈↓ πK␈ε+m
␈β
∃␈↓ ε ␈∧
∃ε α⊗
␈β
≠␈↓ ε ␈ε(n
␈β
2␈↓ ε@␈ε%1␈ε9∀␈↓ εl␈ε+k␈↓ ε⎇␈ε9∀␈ε+n
␈β
j␈↓ ↓H␈ε"Then␈↓ α$␈ε(P␈↓ ββ␈ε"(␈ε(n␈ε")␈α
will␈α
tend␈α
to␈α
be␈α
a␈α
m␈α↓ore␈α
w␈α␈ell-beha␈α␈v␈α␈ed␈α
sequence␈αthan␈↓ 	Q␈ε(P␈↓ 
β␈ε"(␈ε(n␈ε").␈α∂Let␈α
us
␈β
w␈↓ α:␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈↓ 	g␈ε+m
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε"try␈α	to␈α
con|rm␈α	this␈α	with␈α
quan␈α␈titativ␈α␈e␈α	calculations;␈αour␈α	experience␈α
with␈α	the␈α	special
␈βA␈↓ ↓H␈ε"case␈ε(␈α
m␈ε"␈α
=␈α
0␈α
indicates␈α∞that␈α∞it␈α
migh␈α␈t␈α∞be␈α∞w␈α␈orth␈α␈while␈α
to␈α∞consider␈α∞the␈α
subsequence
␈βf␈↓ αW␈ε+n
␈βl␈↓ ↓H␈ε(P␈↓ α'␈ε"(1␈↓ αE␈ε"0␈↓ αk␈ε(s␈ε").␈α⊂The␈αfollo␈α␈wing␈αresults␈αcan,␈αin␈αfact,␈αbe␈αderiv␈α␈ed:
␈βx␈↓ ↓↑␈ε+m␈ε%+␈α␈1
␈β,␈↓ ↓H␈ε2Lemma␈α⊃Q.␈ε/␈α"F␈α⎇or␈α⊃an␈α␈y␈α⊃in␈α␈teger␈ε(␈α∩m␈ε6␈α∩∃␈ε"␈α∩1␈ε/␈α∩and␈α⊃an␈α␈y␈α⊃real␈α⊃n␈α␈um␈α␈ber␈ε(␈α⊃∂␈ε"␈α∩>␈α∪0␈ε/,␈α∩there␈α⊃are
␈βX␈↓ ↓H␈ε/functions␈↓ αe␈ε(Q␈↓ β≡␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε/,␈↓ β↑␈ε(R␈↓ ∧⊗␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε/␈α
and␈α∞an␈α
in␈α␈teger␈↓ ε?␈ε(N␈↓ εz␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈)␈ε/,␈α∞such␈α
that␈α
whenev␈α␈er␈ε(␈α
n␈ε"␈α>␈↓ 
K␈ε(N␈↓ ε␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈)
␈βd␈↓ β↓␈ε+m␈↓ βz␈ε+m␈↓ ε]␈ε+m␈↓ 
i␈ε+m
␈β
β␈↓ ↓H␈ε/and␈ε"␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
s␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
10␈ε/,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β
M␈↓ ∧v␈ε+n
␈β
S␈↓ ∧	␈ε6j␈↓ ∧∪␈ε(P␈↓ ∧F␈ε"(1␈↓ ∧d␈ε"0␈↓ ¬
␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬[␈ε(Q␈↓ ε∀␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
∂␈ε"␈α␈,␈↓ πe␈ε/if␈ε(␈αs␈ε6␈α
∀␈↓ λP␈ε(r␈↓ λa␈ε/;
␈β
←␈↓ ∧*␈ε+m␈↓ ¬x␈ε+m
␈β
j␈↓ ¬α␈ε↓␈␈↓ ππ␈ε↓↓
␈β
o␈↓ 
p␈ε"(10)
␈β∞β␈↓ ∧≥␈ε+n
␈β∞	␈↓ β1␈ε6j␈↓ β;␈ε(P␈↓ βm␈ε"(1␈↓ ∧␈ε"0␈↓ ∧1␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬⊂␈ε(Q␈↓ ¬I␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αλ+␈↓ ε&␈ε(R␈↓ ε↑␈ε"(␈ε(s␈ε")␈↓ π∃␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
∂␈ε",␈↓ λ>␈ε/if␈ε(␈αs␈ε"␈α
>␈↓ 	)␈ε(r␈↓ 	:␈ε/.
␈β∞∃␈↓ βQ␈ε+m␈↓ ¬-␈ε+m␈↓ εB␈ε+m
␈β∞↑␈↓ ↓H␈ε/F␈α⎇urtherm␈α↓ore␈αthe␈αfunctions␈↓ ∧t␈ε(Q␈↓ ¬,␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε/␈αand␈↓ ε'␈ε(R␈↓ ε`␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε/␈αsatisfy␈αthe␈αrelations
␈β∞j␈↓ ¬⊂␈ε+m␈↓ εC␈ε+m
␈β∂&␈↓ βN␈ε↓Z␈↓ ¬|␈ε↓Z␈↓ λ:␈ε↓Z
␈β∂,␈↓ βr␈ε%10␈↓ ε ␈ε+s␈↓ λ↑␈ε%10
␈β∂9␈↓ β_␈ε↓∩␈↓ 
4␈ε↓∪
␈β∂:␈↓ βα␈ε"1␈↓ β2␈ε"1␈↓ λ≡␈ε"1
␈β∂R␈↓ ↓d␈ε(Q␈↓ α≥␈ε"(␈ε(s␈ε")␈↓ αP␈ε"=␈↓ ∧_␈ε(Q␈↓ ∧⎇␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt␈ε"␈αλ+␈↓ ε6␈ε(Q␈↓ π≠␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt␈ε"␈αλ+␈↓ 	∧␈ε(R␈↓ 	i␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈↓ 
J␈ε";
␈β∂←␈↓ α↓␈ε+m␈↓ ∧4␈ε+m␈ε9␈␈ε%1␈↓ εR␈ε+m␈ε9␈␈ε%1␈↓ 	 ␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∂f␈↓ βα␈∧∂fβαα∩␈↓ β2␈∧∂fβ2α∩␈↓ λ≡␈∧∂fλ≡α∩
␈β∂l␈↓ βα␈ε(s␈↓ β2␈ε"9␈↓ λ≡␈ε"9
␈β∂u␈↓ βb␈ε%1␈↓ ε⊂␈ε%1␈↓ λN␈ε+r
␈β⊂~␈↓ β≡␈ε↓Z
␈β⊂ ␈↓ βB␈ε+s
␈β⊂.␈↓ βα␈ε"1
␈β⊂F␈↓ ↓e␈ε(R␈↓ α≥␈ε"(␈ε(s␈ε")␈↓ αP␈ε"=␈↓ βX␈ε(R␈↓ ∧=␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεdt␈ε";␈↓ 
p␈ε"(11)
␈β⊂S␈↓ α↓␈ε+m␈↓ βt␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β⊂Z␈↓ βα␈∧⊂Zβαα∩
␈β⊂`␈↓ βα␈ε(s
␈β⊂i␈↓ β2␈ε+r
␈β⊃⊗␈↓ ↓p␈ε(Q␈↓ α≥␈ε"(␈ε(s␈ε")␈↓ αP␈ε"=␈α
1,␈↓ βh␈ε(R␈↓ ∧∃␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"1.
␈β⊃#␈↓ α␈ε%0␈↓ ∧∧␈ε%0
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"244␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α→Consider␈αthe␈αfunctions␈↓ ¬2␈ε(Q␈↓ ¬k␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αand␈↓ εf␈ε(R␈↓ π≡␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αde|ned␈αby␈α(11),␈αand␈αlet
␈βα/␈↓ ¬N␈ε+m␈↓ πα␈ε+m
␈βαz␈↓ ¬=␈ε(Q␈↓ ¬v␈ε"(␈ε(t␈ε"),␈↓ π}␈ε(t␈ε6␈α∀␈↓ λD␈ε(r␈↓ λT␈ε".
␈βα|␈↓ ¬!␈ε↓~
␈ββπ␈↓ ¬Y␈ε+m
␈ββ∃␈↓ ∧∩␈ε(S␈↓ ∧D␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α
=␈↓ 
p␈ε"(12)
␈ββ"␈↓ ∧'␈ε+m
␈ββ0␈↓ ¬=␈ε(Q␈↓ ¬v␈ε"(␈ε(t␈ε")␈αλ+␈↓ εO␈ε(R␈↓ ππ␈ε"(␈ε(t␈ε"),␈↓ π}␈ε(t␈ε"␈α>␈↓ λD␈ε(r␈↓ λT␈ε".
␈ββ=␈↓ ¬Y␈ε+m␈↓ εk␈ε+m
␈β∧ε␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈αwill␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αlemma␈αby␈αinduction␈αon␈ε(␈αm␈ε"␈α␈.
␈β∧∃␈↓ ¬↔␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈β∧3␈↓ α␈ε"First␈α
n␈α↓ote␈α
that␈↓ ∧ε␈ε(Q␈↓ ∧3␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α=␈↓ ¬%␈ε"1␈α	+␈α	(␈ε(s␈ε6␈αλ␈␈ε"␈α	1)␈α	+␈αλ(␈↓ π≡␈ε(r␈↓ π7␈ε6␈␈ε"␈α	10)/9␈↓ λF␈ε"/␈ε(s␈ε"␈α=␈α1␈α	+␈α	(␈↓ 	x␈ε(r␈↓ 
⊃␈ε6␈␈ε"␈αλ10)/9␈ε(s␈ε",
␈β∧@␈↓ ∧"␈ε%1
␈β∧Y␈↓ λ∪␈ε+n␈↓ ∞␈ε+n
␈β∧←␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∂␈ε(R␈↓ α;␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α=␈α(␈↓ β+␈ε(r␈↓ βD␈ε6␈␈ε(␈α	s␈ε")/␈ε(s␈ε".␈α∪F␈α⎇rom␈α
(8)␈αw␈α␈e␈α
|nd␈α
that␈ε6␈α
j␈↓ π<␈ε(P␈↓ πc␈ε"(1␈↓ λ↓␈ε"0␈↓ λ(␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ λz␈ε(S␈↓ 	 ␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6j␈ε"␈α=␈↓ 
∞␈ε(O␈↓ 
*␈ε"(␈ε(n␈ε")/1␈↓ 
|␈ε"0␈↓ "␈ε";
␈β∧k␈↓ α+␈ε%1␈↓ πS␈ε%1␈↓ 	∂␈ε%1
␈β¬
␈↓ ↓H␈ε"this␈αestablishes␈αthe␈αlemma␈αwhen␈ε(␈αm␈ε"␈α	=␈α
1.
␈β¬7␈↓ α␈ε"No␈α␈w␈αfor␈ε(␈αm␈ε"␈α
>␈α
1,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βε∂␈↓ βZ␈ε↓X␈↓ ¬Q␈ε↓X␈↓ λU␈ε↓X
␈βε_␈↓ β(␈ε↓∩␈↓ ∩␈ε↓∪
␈βε→␈↓ β∩␈ε"1␈↓ ∧Q␈ε"1␈↓ ε[␈ε"1␈↓ 	c␈ε"1
␈βε)␈↓ α%␈ε+n
␈βε1␈↓ ↓B␈ε(P␈↓ ↓u␈ε"(1␈↓ α∪␈ε"0␈↓ α9␈ε(s␈ε")␈α
=␈↓ π↓␈ε(P␈↓ πa␈ε"(␈↓ πm␈ε(k␈↓ λ↓␈ε")+␈↓ 
␈ε(P␈↓ 
l␈ε"(␈↓ 
x␈ε(k␈↓ ␈ε")␈↓ (␈ε",
␈βε=␈↓ ↓Y␈ε+m␈↓ π_␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 
#␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βεE␈↓ β∩␈∧εEβ∩α∩␈↓ ∧(␈∧εE∧(αd␈↓ εJ␈∧εEεJα4␈↓ 	P␈∧εE	Pα9
␈βεG␈↓ ∧L␈ε+n␈ε9␈␈↓ ∧⎇␈ε+j␈↓ εn␈ε+j␈↓ 	t␈ε+n
␈βεJ␈↓ β∪␈ε(s␈↓ ∧(␈ε"1␈↓ ∧:␈ε"0␈↓ εJ␈ε"1␈↓ ε\␈ε"0␈↓ 	P␈ε"1␈↓ 	b␈ε"0
␈βε`␈↓ λ0␈ε-n␈↓ 	+␈ε-n
␈βεa␈↓ β>␈ε%0␈ε9∀␈↓ βk␈ε+j␈↓ βy␈ε%<␈ε+␈α␈n␈↓ ¬(␈ε-j␈↓ ε∨␈ε-j␈↓ ε'␈ε'+␈α⎇1␈↓ λ⊃␈ε%1␈↓ λ ␈ε%0␈↓ λA␈ε9∀␈↓ λ↑␈ε+k␈↓ λo␈ε9∀␈ε%1␈↓ 	≤␈ε%0␈↓ 	<␈ε+s
␈βεb␈↓ ¬
␈ε%1␈↓ ¬→␈ε%0␈↓ ¬5␈ε9∀␈↓ ¬S␈ε+k␈↓ ¬c␈ε%<1␈↓ ε⊂␈ε%0
␈βπ+␈↓ ↓H␈ε"and␈αw␈α␈e␈αw␈α␈an␈α␈t␈αto␈αappro␈α␈ximate␈αthis␈αquan␈α␈tit␈α␈y.␈α⊂By␈αinduction,␈αthe␈αdi{erence
␈βπq␈↓ α|␈ε↓␈␈↓ 	l␈ε↓␈
␈βλβ␈↓ βH␈ε↓X␈↓ εq␈ε↓X
␈βλε␈↓ α|␈ε↓␈␈↓ 	l␈ε↓␈
␈βλ␈↓ 	¬␈ε↓∩␈↓ 	V␈ε↓∪
␈βλ
␈↓ ∧W␈ε"1␈↓ λ␈ε"1␈↓ 	.␈ε(k
␈βλ≤␈↓ α|␈ε↓␈␈↓ 	l␈ε↓␈
␈βλ%␈↓ ∧⎇␈ε(P␈↓ ¬]␈ε"(␈↓ ¬i␈ε(k␈↓ ¬⎇␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ λ&␈ε(S␈↓ 
p␈ε"(13)
␈βλ1␈↓ ¬∀␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ<␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βλ2␈↓ α|␈ε↓␈␈↓ 	l␈ε↓␈
␈βλ9␈↓ ∧F␈∧λ9∧Fα4␈↓ πo␈∧λ9πoα4␈↓ 	∨␈∧λ9	∨α4
␈βλ;␈↓ ∧j␈ε+j␈↓ λ∪␈ε+j␈↓ 	C␈ε+j
␈βλ?␈↓ ∧F␈ε"1␈↓ ∧X␈ε"0␈↓ πo␈ε"1␈↓ λ↓␈ε"0␈↓ 	∨␈ε"1␈↓ 	1␈ε"0
␈βλU␈↓ β'␈ε-j␈↓ ∧≡␈ε-j␈↓ εO␈ε-j␈↓ πG␈ε-j
␈βλV␈↓ βλ␈ε%1␈↓ β↔␈ε%0␈↓ β3␈ε9∀␈↓ βQ␈ε+k␈↓ βb␈ε9∀␈ε%␈α␈1␈↓ ∧∞␈ε%0␈↓ ∧+␈ε+q␈↓ ε1␈ε%1␈↓ ε@␈ε%0␈↓ ε\␈ε9∀␈↓ εz␈ε+k␈↓ π␈ε9∀␈ε%␈α␈1␈↓ π7␈ε%0␈↓ πS␈ε+q
␈β	!␈↓ ↓H␈ε"is␈αλless␈α	than␈↓ αx␈ε(q␈↓ β␈ε(∂␈ε"␈α	when␈αλ1␈ε6␈α
∀␈↓ ∧G␈ε(q␈↓ ∧e␈ε6∀␈ε"␈α
10␈αλand␈↓ εα␈ε(j␈↓ ε≥␈ε">␈↓ εK␈ε(N␈↓ π3␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈).␈α∂Since␈↓ λM␈ε(S␈↓ 	,␈ε"(␈ε(t␈ε")␈α	is␈αλcon␈α␈tin␈α␈uous,
␈β	-␈↓ εj␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λc␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β	L␈↓ ↓H␈ε"it␈αis␈αa␈↓ α.␈ε"Riemann-in␈α␈tegrable␈αfunction;␈αand␈αthe␈αdi{erence
␈β
∩␈↓ βD␈ε↓␈␈↓ 	$␈ε↓␈
␈β
~␈↓ π?␈ε↓Z
␈β
 ␈↓ πc␈ε+q
␈β
$␈↓ ∧⊂␈ε↓X
␈β
(␈↓ βD␈ε↓␈␈↓ 	$␈ε↓␈
␈β
-␈↓ ε$␈ε↓∩␈↓ εu␈ε↓∪
␈β
.␈↓ ¬∨␈ε"1␈↓ εM␈ε(k
␈β
=␈↓ βD␈ε↓␈␈↓ 	$␈ε↓␈
␈β
F␈↓ ¬E␈ε(S␈↓ π∪␈ε6␈␈↓ π{␈ε(S␈↓ λY␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈↓ 
p␈ε"(14)
␈β
S␈↓ βD␈ε↓␈␈↓ ¬[␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ λ⊂␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ 	$␈ε↓␈
␈β
[␈↓ ¬∞␈∧
[¬∞α4␈↓ ε>␈∧
[ε>α4
␈β
]␈↓ ¬2␈ε+j␈↓ εb␈ε+j
␈β
`␈↓ ¬∞␈ε"1␈↓ ¬ ␈ε"0␈↓ ε>␈ε"1␈↓ εP␈ε"0
␈β
i␈↓ πS␈ε%1
␈β
v␈↓ βo␈ε-j␈↓ ∧f␈ε-j
␈β
w␈↓ βP␈ε%1␈↓ β←␈ε%0␈↓ β|␈ε9∀␈↓ ∧→␈ε+k␈↓ ∧*␈ε9∀␈ε%␈α␈1␈↓ ∧V␈ε%0␈↓ ∧s␈ε+q
␈β@␈↓ ↓H␈ε"is␈α∞less␈α∞than␈ε(␈α∞∂␈ε"␈α∞for␈α∞all␈↓ ∧∪␈ε(j␈↓ ∧2␈ε"greater␈α∞than␈α∞some␈α∂n␈α␈um␈α␈ber␈↓ πe␈ε(N␈↓ λλ␈ε",␈α∞independen␈α␈t␈α∞of␈↓ 
~␈ε(q␈↓ 
-␈ε",␈α∞by␈α∞the
␈βl␈↓ ↓H␈ε"de|nition␈α∞of␈α∞in␈α␈tegration.␈α↔W␈α⎇e␈α∞ma␈α␈y␈α∞ch␈α↓o␈α↓ose␈↓ εh␈ε(N␈↓ π→␈ε"to␈α∞be␈α∞>␈↓ λ+␈ε(N␈↓ 	∪␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈).␈α↔Therefore␈α∞for
␈βx␈↓ λJ␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β↔␈↓ ↓H␈ε(n␈ε"␈α	>␈↓ α∃␈ε(N␈↓ α8␈ε",␈αthe␈αdi{erence
␈βR␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ 
≥␈ε↓␈
␈βe␈↓ ¬⎇␈ε↓Z␈↓ λ$␈ε↓Z
␈βh␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ 
≥␈ε↓␈
␈βk␈↓ ε!␈ε%10␈↓ λH␈ε+s
␈βo␈↓ ∧5␈ε↓X
␈βx␈↓ ∧β␈ε↓∩␈↓ 
π␈ε↓∪
␈βy␈↓ βg␈ε"1␈↓ ¬8␈ε"1
␈β⎇␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ 
≥␈ε↓␈
␈β
	␈↓ α}␈ε+n
␈β
⊃␈↓ α≠␈ε(P␈↓ αN␈ε"(1␈↓ αl␈ε"0␈↓ β∩␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ εG␈ε(S␈↓ π%␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈ε"␈αλ+␈↓ λ↑␈ε(S␈↓ 	<␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈↓ 
p␈ε"(15)
␈β
∪␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ 
≥␈ε↓␈
␈β
≥␈↓ α2␈ε+m␈↓ ε\␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λs␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β
%␈↓ βg␈∧
%βgα∩␈↓ ¬∂␈∧
%¬∂αd
␈β
'␈↓ ¬3␈ε+n␈ε9␈␈↓ ¬d␈ε+j
␈β
(␈↓ α∂␈ε↓␈␈↓ 
≥␈ε↓␈
␈β
+␈↓ βh␈ε(s␈↓ ¬∂␈ε"1␈↓ ¬!␈ε"0
␈β
4␈↓ ε⊃␈ε%1␈↓ λ8␈ε%1
␈β
A␈↓ ∧→␈ε%0␈ε9∀␈↓ ∧F␈ε+j␈↓ ∧T␈ε%<␈ε+␈α␈n
␈β
v␈↓ β4␈ε↓P␈↓ ε6␈ε↓P
␈β∞␈↓ ¬:␈ε+n␈ε9␈␈↓ ¬j␈ε+j␈↓ λJ␈ε+n␈ε9␈␈↓ λz␈ε+j
␈β∞⊃␈↓ ↓H␈ε"is␈αbounded␈αby␈↓ ∧P␈ε"(␈↓ ∧\␈ε(M␈↓ ¬∧␈ε"/1␈↓ ¬(␈ε"0␈↓ ¬z␈ε")␈αε+␈↓ πU␈ε"(11␈ε(∂␈ε"/1␈↓ λ8␈ε"0␈↓ 		␈ε")␈απ+␈αε11␈ε(∂␈ε",␈αif␈↓ 
/␈ε(M␈↓ 
c␈ε"is␈αan
␈β∞"␈↓ βZ␈ε%0␈ε9∀␈↓ ∧π␈ε+j␈↓ ∧∃␈ε9∀␈↓ ∧2␈ε+N␈↓ ε\␈ε+N␈↓ εx␈ε%<␈↓ π⊗␈ε+j␈↓ π#␈ε%<␈ε+n
␈β∞C␈↓ ↓H␈ε"upper␈αbound␈αfor␈α(13)␈αλ+␈αλ(14)␈α
that␈αis␈αv␈α}alid␈αfor␈αall␈αpositiv␈α␈e␈α
in␈α␈tegers␈↓ 	J␈ε(j␈↓ 	[␈ε".␈α⊂Finally,␈αthe
␈β∞S␈↓ α∀␈ε↓P
␈β∞h␈↓ βz␈ε+n␈ε9␈α␈␈␈↓ ∧*␈ε+j␈↓ 
␈ε+n
␈β∞n␈↓ ↓H␈ε"sum␈↓ β&␈ε"(1/1␈↓ βh␈ε"0␈↓ ∧9␈ε"),␈αwhich␈αappears␈αin␈α(15),␈αis␈αequal␈αto␈α(1␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1/1␈↓ 	y␈ε"0␈↓ 
∨␈ε")/9;␈αso
␈β∂␈↓ α:␈ε%0␈ε9∀␈↓ αf␈ε+j␈↓ αt␈ε%<␈ε+n
␈β∂2␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓␈
␈β∂E␈↓ ¬6␈ε↓Z␈↓ π]␈ε↓Z
␈β∂H␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓␈
␈β∂K␈↓ ¬Z␈ε%10␈↓ λ↓␈ε+s
␈β∂X␈↓ ¬␈ε↓∩␈↓ 	@␈ε↓∪
␈β∂Y␈↓ ∧j␈ε"1␈↓ ¬~␈ε"1
␈β∂]␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓␈
␈β∂i␈↓ ∧↓␈ε+n
␈β∂q␈↓ β≡␈ε(P␈↓ βQ␈ε"(1␈↓ βo␈ε"0␈↓ ∧∃␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ε␈ε(S␈↓ ε↑␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt␈ε"␈αλ+␈↓ λ↔␈ε(S␈↓ λu␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt
␈β∂s␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓␈
␈β∂⎇␈↓ β5␈ε+m␈↓ ε∃␈ε+m␈ε9␈␈ε%1␈↓ λ,␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β⊂¬␈↓ ∧j␈∧⊂¬∧jα∩␈↓ ¬~␈∧⊂¬¬~α∩
␈β⊂λ␈↓ β∩␈ε↓␈␈↓ 	V␈ε↓␈
␈β⊂␈↓ ∧j␈ε(s␈↓ ¬~␈ε"9
␈β⊂∀␈↓ ¬J␈ε%1␈↓ πq␈ε%1
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"can␈αbe␈αmade␈α
smaller␈αthan,␈α
sa␈α␈y,␈α20␈ε(∂␈ε",␈αif␈ε(␈α
n␈ε"␈αis␈αtak␈α␈en␈α
large␈αen␈α↓ough.␈α⊃Comparing␈αthis
␈β⊃⊗␈↓ ↓H␈ε"with␈α(10)␈αand␈α(11)␈αcompletes␈αthe␈αpro␈α↓of.
␈β⊃∨␈↓ εX␈∧⊃∨εX≠∂
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"245
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βεL␈↓ βH␈ε3F␈α↓ig␈α␈.␈α5␈α␈.␈ε#␈α~Th␈α␈e␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈it␈αis␈α1␈α␈.
␈βπI␈↓ α␈ε"The␈αgist␈αof␈αLemma␈αQ␈αis␈αthat␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αthe␈αlimiting␈αrelationship
␈βλ∃␈↓ ε/␈ε+n
␈βλ≥␈↓ ¬ε␈ε"lim␈↓ ¬L␈ε(P␈↓ ¬␈␈ε"(1␈↓ ε≥␈ε"0␈↓ εC␈ε(s␈ε")␈α
=␈↓ π_␈ε(S␈↓ πJ␈ε"(␈ε(s␈ε").␈↓ 
p␈ε"(16)
␈βλ*␈↓ ¬c␈ε+m␈↓ π.␈ε+m
␈βλ=␈↓ ∧w␈ε+n␈ε9!␈α␈1
␈β	α␈↓ ↓H␈ε"Also,␈αsince␈↓ αz␈ε(S␈↓ β+␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αis␈αn␈α↓ot␈αconstan␈α␈t␈αas␈ε(␈αs␈ε"␈αv␈α}aries,␈αthe␈αlimit
␈β	∞␈↓ β∂␈ε+m
␈β	W␈↓ ¬n␈ε"lim␈↓ ε5␈ε(P␈↓ εg␈ε"(␈ε(n␈ε")
␈β	c␈↓ εK␈ε+m
␈β	w␈↓ ¬←␈ε+n␈ε9!␈α␈1
␈β
;␈↓ ↓H␈ε"(which␈α∩w␈α␈ould␈α∪be␈α∩our␈α∪desired␈α∩\probabilit␈α␈y")␈α∪does␈α∩n␈α↓ot␈α∪exist␈α∩for␈α∪an␈α␈y␈ε(␈α∩m␈ε".␈α#The
␈β
g␈↓ ↓H␈ε"situation␈α
is␈α∞sh␈α↓o␈α␈wn␈α
in␈α∞Fig.␈α
5,␈α∞which␈α∞sh␈α↓o␈α␈ws␈α
the␈α∞v␈α}alues␈α
of␈↓ λ@␈ε(S␈↓ λr␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
when␈ε(␈α∞m␈ε"␈α
is␈α
small
␈β
s␈↓ λU␈ε+m
␈β∩␈↓ ↓H␈ε"and␈↓ α∞␈ε(r␈↓ α(␈ε"=␈α
2.
␈β=␈↓ α␈ε"Ev␈α␈en␈αth␈α↓ough␈↓ β↑␈ε(S␈↓ ∧⊂␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
is␈αn␈α↓ot␈α
a␈αconstan␈α␈t,␈α
so␈αthat␈α
w␈α␈e␈αdo␈α
n␈α↓ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈α
a␈αde|nite␈α
limit
␈βI␈↓ βt␈ε+m
␈βh␈↓ ↓H␈ε"for␈↓ α␈ε(P␈↓ α3␈ε"(␈ε(n␈ε"),␈α
n␈α↓ote␈α
that␈α
already␈α
for␈ε(␈αm␈ε"␈α=␈α3␈α
in␈α
Fig.␈α
5␈αthe␈α
v␈α}alue␈α
of␈↓ 	'␈ε(S␈↓ 	Y␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
sta␈α␈ys␈αv␈α␈ery
␈βu␈↓ α↔␈ε+m␈↓ 	=␈ε+m
␈β∪␈↓ ↓H␈ε"close␈α
to␈↓ αM␈ε"log␈↓ β!␈ε"2␈α
=␈α
0.30103␈↓ ∧m␈ε".␈αε.␈αε.␈↓ ¬#␈ε".␈α∃Therefore␈α
w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α␈e␈α∞go␈α↓od␈α
reason␈α∞to␈α∞suspect␈α
that
␈β#␈↓ α{␈ε%10
␈β?␈↓ ↓H␈ε(S␈↓ ↓y␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α∞is␈α
v␈α␈ery␈α
close␈α∞to␈↓ ∧*␈ε"log␈↓ ∧}␈ε(r␈↓ ¬≤␈ε"for␈α
all␈α∞large␈ε(␈α
m␈ε",␈α∞and,␈α
in␈α∞fact,␈α
that␈α∞the␈α
sequence␈α
of
␈βK␈↓ ↓]␈ε+m
␈βN␈↓ ∧X␈ε%10
␈βj␈↓ ↓H␈ε"functions␈ε6␈αh␈↓ αp␈ε(S␈↓ β!␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6i␈ε"␈αcon␈α␈v␈α␈erges␈αuniformly␈αto␈αthe␈αconstan␈α␈t␈αfunction␈↓ 	1␈ε"log␈↓ 
¬␈ε(r␈↓ 
⊗␈ε".
␈βv␈↓ β¬␈ε+m
␈βz␈↓ 	←␈ε%1␈α↓0
␈β
∃␈↓ α␈ε"It␈αis␈αin␈α␈teresting␈αto␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthis␈αconjecture␈αby␈αexplicitly␈αcalculating␈↓ 
ε␈ε(Q␈↓ 
>␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αand
␈β
!␈↓ 
"␈ε+m
␈β
@␈↓ ↓H␈ε(R␈↓ α␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αfor␈αall␈ε(␈αm␈ε",␈αas␈αin␈αthe␈αpro␈α↓of␈αof␈αthe␈αfollo␈α␈wing␈αtheorem:
␈β
M␈↓ ↓d␈ε+m
␈β∞␈↓ ↓H␈ε2Theorem␈α
F.␈ε/␈α~Let␈↓ β`␈ε(S␈↓ ∧∩␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε/␈α
be␈α
the␈α
limit␈α
de|ned␈α
in␈ε"␈α
(16)␈ε/.␈α∪F␈α⎇or␈α
all␈ε(␈α∂␈ε"␈α>␈α0␈ε/,␈α∞there␈αexists
␈β∞
␈↓ βv␈ε+m
␈β∞+␈↓ ↓H␈ε/a␈αn␈α␈um␈α␈ber␈↓ αh␈ε(N␈↓ β␈ε"(␈ε(∂␈ε"␈α␈)␈ε/␈αsuch␈αthat
␈β∂␈↓ βk␈ε6j␈↓ βu␈ε(S␈↓ ∧&␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ¬β␈ε"log␈↓ ¬W␈ε(r␈↓ ¬h␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
∂␈ε",␈↓ π⊃␈ε/for␈↓ πI␈ε"1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
s␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
10,␈↓ 
p␈ε"(17)
␈β∂␈↓ ∧
␈ε+m
␈β∂⊂␈↓ ¬1␈ε%10
␈β∂U␈↓ ↓H␈ε/whenev␈α␈er␈ε(␈αm␈ε"␈α	>␈↓ β=␈ε(N␈↓ β`␈ε"(␈ε(∂␈ε")␈ε/.
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈ε/Pro␈α↓of.␈ε"␈α_In␈αview␈αof␈αLemma␈αQ␈↓ ¬π␈ε",␈αw␈α␈e␈αcan␈αpro␈α␈v␈α␈e␈αthis␈αresult␈αif␈αw␈α␈e␈αcan␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈αthere
␈β⊂@␈↓ ↓H␈ε"is␈αa␈α
n␈α␈um␈α␈ber␈↓ β∞␈ε(M␈↓ βD␈ε"depending␈αon␈ε(␈α
∂␈ε"␈α
such␈α
that,␈α
for␈α
1␈ε6␈α∀␈ε(␈αs␈ε6␈α∀␈ε"␈α10␈α
and␈α
for␈αall␈ε(␈α
m␈ε"␈α>␈↓ 
z␈ε(M␈↓ "␈ε",
␈β⊂k␈↓ ↓H␈ε"w␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈β⊃⊗␈↓ βH␈ε6j␈↓ βR␈ε(Q␈↓ ∧
␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6␈αλ␈␈↓ ∧g␈ε"log␈↓ ¬;␈ε(r␈↓ ¬L␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
∂␈↓ εe␈ε"and␈↓ πg␈ε6j␈↓ πq␈ε(R␈↓ λ)␈ε"(␈ε(s␈ε")␈ε6j␈ε"␈α
<␈ε(␈α
∂␈ε"␈α␈.␈↓ 
p␈ε"(18)
␈β⊃#␈↓ βn␈ε+m␈↓ λ
␈ε+m
␈β⊃&␈↓ ¬∃␈ε%10
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"246␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα"␈↓ α␈ε"It␈α⊃is␈α⊃n␈α↓ot␈α⊃di}cult␈α⊃to␈α⊂solv␈α␈e␈α⊃the␈α⊃recurrence␈α⊃form␈α␈ula␈α⊃(11)␈α⊃for␈↓ 	F␈ε(R␈↓ 
∧␈ε":␈α⊗W␈α⎇e␈α⊂ha␈α␈v␈α␈e
␈βα/␈↓ λ[␈ε↓␈␈↓ 	b␈ε+m␈↓ 
≥␈ε↓↓
␈βαM␈↓ ↓H␈ε(R␈↓ ↓t␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α⊂=␈ε6␈α⊂␈␈ε"1,␈↓ β1␈ε(R␈↓ β↑␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α⊂=␈ε6␈α⊂␈␈ε"1␈α
+␈↓ ¬9␈ε(r␈↓ ¬J␈ε"/␈ε(s␈ε",␈↓ επ␈ε(R␈↓ ε4␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α⊂=␈ε6␈α∂␈␈ε"1␈α+␈α
(␈↓ λ≠␈ε(r␈↓ λ,␈ε"/␈ε(s␈ε")␈↓ λi␈ε"1␈α
+␈↓ 	3␈ε"ln␈↓ 	Q␈ε"(␈ε(s␈ε"/␈↓ 
␈ε(r␈↓ 
⊃␈ε")␈↓ 
+␈ε",␈α⊂and␈α∂in
␈βαZ␈↓ ↓d␈ε%0␈↓ βM␈ε%1␈↓ ε#␈ε%2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε"general
␈ββ.␈↓ ¬∞␈ε↓⊂␈↓ ¬9␈ε↓⊃␈↓ πm␈ε↓⊂␈↓ λ#␈ε↓⊂␈↓ λN␈ε↓⊃␈↓ λ`␈ε↓⊃
␈ββ>␈↓ βd␈ε↓∩␈↓ λr␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ 	;␈ε↓∪
␈ββ?␈↓ βO␈ε(r␈↓ ∧I␈ε"1␈↓ ¬$␈ε(s␈↓ π≤␈ε"1␈↓ λ9␈ε(s
␈ββW␈↓ ↓H␈ε(R␈↓ α␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
=␈ε6␈α
␈␈ε"1␈αλ+␈↓ βz␈ε"1␈αλ+␈↓ ∧j␈ε"ln␈↓ ¬S␈ε"+␈↓ ¬␈␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε1␈ε"+␈↓ π␈␈ε"ln␈↓ 	Q␈ε".␈↓ 
p␈ε"(19)
␈ββd␈↓ ↓d␈ε+m
␈ββk␈↓ βO␈∧βkβOα⊃␈↓ ∧D␈∧βk∧Dα≤␈↓ ¬$␈∧βk¬$α⊃␈↓ εa␈∧βkεaα↓λ␈↓ λ9␈∧βkλ9α⊃
␈ββq␈↓ βO␈ε(s␈↓ ∧D␈ε"1!␈↓ ¬$␈ε(r␈↓ εa␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)!␈↓ λ9␈ε(r
␈β∧6␈↓ ↓H␈ε"F␈α⎇or␈αthe␈αstated␈αrange␈αof␈ε(␈αs␈ε",␈αthis␈αcon␈α␈v␈α␈erges␈αuniformly␈αto
␈β∧c␈↓ εG␈ε↓␈␈↓ π?␈ε↓↓
␈β¬↓␈↓ ∧S␈ε6␈␈ε"1␈αλ+␈αλ(␈↓ ¬I␈ε(r␈↓ ¬Z␈ε"/␈ε(s␈ε")␈↓ ε∂␈ε"e␈↓ ε∨␈ε"x␈↓ ε3␈ε"p␈↓ εU␈ε"ln␈↓ εs␈ε"(␈ε(s␈ε"/␈↓ π"␈ε(r␈↓ π3␈ε")␈↓ πW␈ε"=␈α
0.
␈β¬L␈↓ α␈ε"The␈αrecurrence␈α(11)␈αfor␈↓ ¬∧␈ε(Q␈↓ ¬I␈ε"tak␈α␈es␈αthe␈αform
␈β¬Y␈↓ ¬!␈ε+m
␈βεε␈↓ εm␈ε↓Z
␈βε␈↓ π⊃␈ε+s
␈βε_␈↓ ¬1␈ε↓∩␈↓ λW␈ε↓∪
␈βε~␈↓ ¬≠␈ε"1
␈βε2␈↓ β}␈ε(Q␈↓ ∧6␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
=␈↓ ¬G␈ε(c␈↓ ¬{␈ε"+␈αλ1␈αλ+␈↓ π&␈ε(Q␈↓ λ␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεdt␈↓ λm␈ε",␈↓ 
p␈ε"(20)
␈βε>␈↓ ∧~␈ε+m␈↓ ¬V␈ε+m␈↓ πC␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈βεF␈↓ ¬≠␈∧εF¬≠α∩
␈βεK␈↓ ¬≤␈ε(s
␈βεT␈↓ π↓␈ε%1
␈βπ⊂␈↓ ↓H␈ε"where
␈βπ%␈↓ ∧=␈ε↓Z␈↓ εk␈ε↓Z
␈βπ+␈↓ ∧a␈ε%10␈↓ π∂␈ε%10
␈βπ8␈↓ ∧'␈ε↓∩␈↓ λe␈ε↓∪
␈βπ9␈↓ ∧⊃␈ε"1
␈βπQ␈↓ β)␈ε(c␈↓ β←␈ε"=␈↓ ¬π␈ε(Q␈↓ ¬l␈ε"(␈ε(t␈ε"␈α↓)␈ε(␈αεdt␈ε"␈αλ+␈↓ π5␈ε(R␈↓ λ~␈ε"(␈ε(t␈ε")␈ε(␈αεd␈α↓t␈↓ 	β␈ε6␈␈ε"␈αλ1.␈↓ 
p␈ε"(21)
␈βπ↑␈↓ β9␈ε+m␈↓ ¬#␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ πQ␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈βπe␈↓ ∧⊃␈∧πe∧⊃α∩
␈βπk␈↓ ∧⊃␈ε"9
␈βπt␈↓ ∧Q␈ε%1␈↓ ε␈␈ε+r
␈βλ&␈↓ ↓H␈ε"The␈α
solution␈α
to␈α
recurrence␈α
(20)␈α
is␈α
easily␈α
found␈α
by␈α
trying␈αout␈α
the␈α
|rst␈α
few␈α
cases
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε"and␈αguessing␈αat␈αa␈αform␈α␈ula␈αthat␈αcan␈αbe␈αpro␈α␈v␈α␈ed␈αby␈αinduction;␈αw␈α␈e␈α|nd␈αthat
␈β	↔␈↓ βA␈ε↓∩␈↓ 	F␈ε↓∪
␈β	_␈↓ β+␈ε"1␈↓ ∧@␈ε"1␈↓ π?␈ε"1
␈β	(␈↓ λ⎇␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1
␈β	0␈↓ ↓H␈ε(Q␈↓ α␈ε"(␈ε(s␈ε")␈α
=␈α
1␈αλ+␈↓ βW␈ε(c␈↓ ∧␈ε"+␈↓ ∧[␈ε(c␈↓ ¬9␈ε"ln␈↓ ¬]␈ε(s␈ε"␈αλ+␈↓ ε"␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εT␈ε"+␈↓ λ⊂␈ε(c␈↓ λ0␈ε"(␈↓ λ<␈ε"ln␈↓ λ`␈ε(s␈↓ λq␈ε")␈↓ 	\␈ε".␈↓ 
p␈ε"(22)
␈β	<␈↓ ↓d␈ε+m␈↓ βg␈ε+m␈↓ ∧j␈ε+m␈ε9␈␈ε%␈α␈1␈↓ λ∨␈ε%1
␈β	D␈↓ β+␈∧	Dβ+α∩␈↓ ∧;␈∧	D∧;α≤␈↓ π∧␈∧	Dπ∧α↓λ
␈β	J␈↓ β,␈ε(s␈↓ ∧;␈ε"1!␈↓ π∧␈ε"(␈ε(m␈ε6␈αλ␈␈ε"␈αλ1)!
␈β
⊃␈↓ α␈ε"It␈α∞remains␈α∂for␈α∞us␈α∞to␈α∞calculate␈α∂the␈α∞coe}cien␈α␈ts␈↓ πe␈ε(c␈↓ λ⊂␈ε",␈α∂which␈α∂by␈α∞(19),␈α∂(21),␈α∞and
␈β
≥␈↓ πt␈ε+m
␈β
<␈↓ ↓H␈ε"(22)␈αsatisfy␈αthe␈αrelations
␈β∧␈↓ α␈ε(c␈↓ α*␈ε"=␈α
(␈↓ αd␈ε(r␈↓ α|␈ε6␈␈ε"␈αλ10)/9;
␈β⊂␈↓ α∂␈ε%1
␈β2␈↓ αr␈ε↓∩
␈β4␈↓ α\␈ε"1␈↓ ∧>␈ε"1␈↓ πD␈ε"1
␈βD␈↓ ε∩␈ε%2␈↓ λf␈ε+m
␈βL␈↓ ↓H␈ε(c␈↓ α*␈ε"=␈↓ βλ␈ε(c␈↓ β9␈ε"ln␈↓ β]␈ε"10␈αλ+␈↓ ∧Y␈ε(c␈↓ ¬2␈ε"(␈↓ ¬>␈ε"ln␈↓ ¬b␈ε"10␈↓ εε␈ε")␈↓ ε*␈ε"+␈↓ εV␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πλ␈ε"+␈↓ πf␈ε(c␈↓ λε␈ε"(␈↓ λ∩␈ε"ln␈↓ λ6␈ε"10␈↓ λZ␈ε")
␈βX␈↓ ↓W␈ε+m␈ε%␈α␈+1␈↓ β↔␈ε+m␈↓ ∧i␈ε+m␈ε9␈α␈␈␈ε%1␈↓ πu␈ε%1
␈β`␈↓ α\␈∧`α\α∩␈↓ ∧9␈∧`∧9α≤␈↓ π8␈∧`π8α*
␈βe␈↓ α\␈ε"9␈↓ ∧9␈ε"2!␈↓ π8␈ε(m␈ε"!
␈βf␈↓ 
p␈ε"(23)
␈β␈↓ λv␈ε+m
␈β⊗␈↓ ∧`␈ε↓∩␈↓ πz␈ε↓∩␈↓ λ`␈ε↓∪␈↓ 	_␈ε↓∪␈↓ 
ε␈ε↓∪
␈β↔␈↓ ¬E␈ε"1␈↓ ε∞␈ε"10␈↓ πX␈ε"1␈↓ λ8␈ε"10
␈β/␈↓ ∧$␈ε"+␈↓ ∧P␈ε(r␈↓ ∧v␈ε"1␈αλ+␈↓ ¬f␈ε"ln␈↓ ε>␈ε"+␈↓ εj␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π≤␈ε"+␈↓ λ⊂␈ε"ln␈↓ 	6␈ε6␈␈ε"␈αλ10␈↓ 
≤␈ε".
␈βD␈↓ ¬@␈∧D¬@α≤␈↓ ε∞␈∧Dε∞α$␈↓ πL␈∧DπLα*␈↓ λ8␈∧Dλ8α$
␈βI␈↓ ¬@␈ε"1!␈↓ ε_␈ε(r␈↓ πL␈ε(m␈ε"!␈↓ λB␈ε(r
␈β
∞␈↓ ↓H␈ε"This␈αλsequence␈αλappears␈α	at␈αλ|rst␈αλto␈α	be␈αλv␈α␈ery␈αλcomplicated,␈α	but␈α	actually␈αλw␈α␈e␈αλcan␈αλanalyze
␈β
9␈↓ ↓H␈ε"it␈αwith␈α↓out␈αdi}cult␈α␈y␈αwith␈αthe␈αhelp␈αof␈↓ ε⊃␈ε"generating␈αfunctions.␈α⊂Let
␈β
|␈↓ εK␈ε%2␈↓ πC␈ε%3
␈β∞∧␈↓ ∧3␈ε(C␈↓ ∧O␈ε"(␈↓ ∧[␈ε(z␈↓ ∧n␈ε")␈α
=␈↓ ¬2␈ε(c␈↓ ¬R␈ε(z␈↓ ¬l␈ε"+␈↓ ε_␈ε(c␈↓ ε8␈ε(z␈↓ εd␈ε"+␈↓ π⊂␈ε(c␈↓ π0␈ε(z␈↓ π\␈ε"+␈↓ λλ␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ8␈ε";
␈β∞⊃␈↓ ¬A␈ε%1␈↓ ε(␈ε%2␈↓ π∨␈ε%3
␈β∞I␈↓ β⊗␈ε+z␈↓ π
␈ε%2
␈β∞O␈↓ ↓H␈ε"then␈αsince␈α1␈↓ β∧␈ε"0␈↓ β1␈ε"=␈α
1␈αλ+␈↓ ∧%␈ε(z␈↓ ∧>␈ε"ln␈↓ ∧b␈ε"10␈αλ+␈αλ(1/2!)(␈↓ ε≡␈ε(z␈↓ ε6␈ε"ln␈↓ εZ␈ε"10␈↓ ε}␈ε")␈↓ π#␈ε"+␈↓ πO␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π␈␈ε",␈αw␈α␈e␈αdeduce␈αthat
␈β∂∪␈↓ βf␈ε"1␈↓ ¬≡␈ε"9
␈β∂+␈↓ αI␈ε(c␈↓ β+␈ε"=␈↓ ∧¬␈ε(c␈↓ ∧e␈ε"+␈↓ ¬=␈ε(c
␈β∂7␈↓ αX␈ε+m␈ε%+␈α␈1␈↓ ∧∀␈ε+m␈ε%+1␈↓ ¬M␈ε+m␈ε%␈α␈+1
␈β∂?␈↓ β]␈∧∂?β]α$␈↓ ¬∃␈∧∂?¬∃α$
␈β∂E␈↓ β]␈ε"10␈↓ ¬∃␈ε"10
␈β∂y␈↓ ∧¬␈ε↓∩␈↓ 	↓␈ε↓∪
␈β∂z␈↓ βf␈ε"1␈↓ πC␈ε"1
␈β⊂
␈↓ λe␈ε+m
␈β⊂∩␈↓ β+␈ε"=␈↓ ∧≠␈ε(c␈↓ ∧{␈ε"+␈↓ ¬'␈ε(c␈↓ ¬Y␈ε"ln␈↓ ¬⎇␈ε"10␈αλ+␈↓ εU␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ππ␈ε"+␈↓ πe␈ε(c␈↓ λ¬␈ε"(␈↓ λ⊃␈ε"ln␈↓ λ5␈ε"10␈↓ λY␈ε")
␈β⊂≡␈↓ ∧*␈ε+m␈ε%+1␈↓ ¬7␈ε+m␈↓ πt␈ε%1
␈β⊂&␈↓ β]␈∧⊂&β]α$␈↓ π7␈∧⊂&π7α*
␈β⊂,␈↓ β]␈ε"10␈↓ π7␈ε(m␈ε"!
␈β⊂Y␈↓ 	-␈ε+m
␈β⊂d␈↓ εE␈ε↓∩␈↓ λ1␈ε↓∩␈↓ 	↔␈ε↓∪␈↓ 	O␈ε↓∪
␈β⊂e␈↓ ε'␈ε(r␈↓ λ∂␈ε"1␈↓ λo␈ε"10
␈β⊂⎇␈↓ ¬m␈ε"+␈↓ ε[␈ε"1␈αλ+␈↓ π!␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πS␈ε"+␈↓ λG␈ε"ln␈↓ 	m␈ε6␈␈ε"␈αλ1
␈β⊃⊃␈↓ ε≥␈∧⊃⊃ε≥α$␈↓ λβ␈∧⊃⊃λβα*␈↓ λo␈∧⊃⊃λoα$
␈β⊃↔␈↓ ε≥␈ε"10␈↓ λβ␈ε(m␈ε"!␈↓ λy␈ε(r
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"247
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βα≡␈↓ ∧
␈ε+m␈ε%+1
␈βα$␈↓ ↓H␈ε"is␈αthe␈αcoe}cien␈α␈t␈αof␈↓ β{␈ε(z␈↓ ∧b␈ε"in␈αthe␈αfunction
␈βαR␈↓ εL␈ε+z
␈βα]␈↓ ¬t␈ε↓∩␈↓ ε6␈ε↓∪␈↓ ε]␈ε↓∩␈↓ πT␈ε↓∪
␈βα↑␈↓ βy␈ε"1␈↓ ¬V␈ε(r␈↓ ε∞␈ε"10␈↓ π~␈ε(z␈↓ λE␈ε(z
␈βαo␈↓ ¬β␈ε+z
␈βαv␈↓ ∧_␈ε(C␈↓ ∧4␈ε"(␈↓ ∧@␈ε(z␈↓ ∧S␈ε")1␈↓ ∧q␈ε"0␈↓ ¬≤␈ε"+␈↓ πr␈ε6␈␈↓ λ}␈ε".␈↓ 
p␈ε"(24)
␈ββ␈↓ βp␈∧ββpα$␈↓ ¬L␈∧β¬Lα$␈↓ ε∞␈∧βε∞α$␈↓ εw␈∧βεwαY␈↓ λ"␈∧βλ"αY
␈ββ⊂␈↓ βp␈ε"10␈↓ ¬L␈ε"10␈↓ ε_␈ε(r␈↓ εw␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ π=␈ε(z␈↓ λ"␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ λh␈ε(z
␈ββO␈↓ ↓H␈ε"This␈αcondition␈αh␈α↓olds␈αfor␈αall␈αv␈α}alues␈αof␈ε(␈αm␈ε",␈αso␈α(24)␈αm␈α␈ust␈αequal␈↓ λr␈ε(C␈↓ 	∞␈ε"(␈↓ 	~␈ε(z␈↓ 	-␈ε"),␈αand␈αw␈α␈e␈αobtain
␈ββz␈↓ ↓H␈ε"the␈αexplicit␈αform␈α␈ula
␈β∧4␈↓ π∃␈ε+z␈↓ π%␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∧9␈↓ ε≥␈ε↓∩␈↓ λ≥␈ε↓∪
␈β∧:␈↓ ¬K␈ε6␈␈↓ ¬o␈ε(z␈↓ ε7␈ε"(10/␈↓ εy␈ε(r␈↓ π	␈ε")␈↓ π[␈ε6␈␈ε"␈αλ1
␈β∧R␈↓ ∧7␈ε(C␈↓ ∧S␈ε"(␈↓ ∧←␈ε(z␈↓ ∧r␈ε")␈α
=␈↓ λ3␈ε".␈↓ 
p␈ε"(25)
␈β∧f␈↓ ¬:␈∧∧f¬:αY␈↓ ε7␈∧∧fε7α↓c
␈β∧h␈↓ εx␈ε+z␈↓ πλ␈ε9␈␈ε%␈α␈1
␈β∧l␈↓ ¬:␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε␈ε(z␈↓ εT␈ε"1␈↓ εf␈ε"0␈↓ π>␈ε6␈␈ε"␈αλ1
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε"W␈α⎇e␈αw␈α␈an␈α␈t␈αto␈α
study␈αasymptotic␈αproperties␈αof␈α
the␈αcoe}cien␈α␈ts␈αof␈↓ 	↔␈ε(C␈↓ 	3␈ε"(␈↓ 	?␈ε(z␈↓ 	R␈ε"),␈αto␈αcomplete
␈β¬V␈↓ ↓H␈ε"our␈α
analysis.␈α∂The␈α
large␈α
paren␈α␈thesized␈α	factor␈α
in␈α
(25)␈α
approaches␈↓ 	"␈ε"ln␈↓ 	@␈ε"(10/␈↓ 
α␈ε(r␈↓ 
∩␈ε")/␈↓ 
6␈ε"ln␈↓ 
Z␈ε"10␈α
=
␈βε↓␈↓ ↓H␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ α∞␈ε"log␈↓ αb␈ε(r␈↓ α}␈ε"as␈↓ β*␈ε(z␈↓ βG␈ε6!␈ε"␈α
1,␈αso␈αw␈α␈e␈αsee␈αthat
␈βε⊃␈↓ α<␈ε%10
␈βε?␈↓ ¬b␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ ε(␈ε"log␈↓ ε|␈ε(r
␈βεN␈↓ εV␈ε%10
␈βεW␈↓ ∧c␈ε(C␈↓ ∧␈␈ε"(␈↓ ¬␈ε(z␈↓ ¬≡␈ε")␈αλ+␈↓ π≠␈ε"=␈↓ πI␈ε(R␈↓ πf␈ε"(␈↓ πr␈ε(z␈↓ λ¬␈ε")␈↓ 
p␈ε"(26)
␈βεk␈↓ ¬b␈∧εk¬bα↓+
␈βεp␈↓ ε␈ε"1␈ε6␈αλ␈␈↓ εQ␈ε(z
␈βπ%␈↓ ↓H␈ε"is␈αan␈αanalytic␈αfunction␈αof␈αthe␈αcomplex␈αv␈α}ariable␈↓ π2␈ε(z␈↓ πP␈ε"in␈αthe␈αcircle
␈βπG␈↓ ε
␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈
␈βπ]␈↓ ε
␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈
␈βπc␈↓ εm␈ε"2␈↓ ε␈␈ε(→␈↓ π∃␈ε(i
␈βπr␈↓ ε
␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈
␈βπ{␈↓ ¬/␈ε6j␈↓ ¬9␈ε(z␈↓ ¬K␈ε6j␈ε"␈α
<␈↓ ε→␈ε"1␈αλ+␈↓ π;␈ε".
␈βλλ␈↓ ε
␈ε↓␈␈↓ π/␈ε↓␈
␈βλ⊂␈↓ εc␈∧λ⊂εcαH
␈βλ∃␈↓ εc␈ε"ln␈↓ ππ␈ε"10
␈βλT␈↓ ↓H␈ε"In␈α
particular,␈↓ β'␈ε(R␈↓ βE␈ε"(␈↓ βQ␈ε(z␈↓ βc␈ε")␈α∞con␈α␈v␈α␈erges␈α
for␈↓ ¬Y␈ε(z␈↓ ¬x␈ε"=␈α
1,␈α∞so␈α
its␈α∞coe}cien␈α␈ts␈α
approach␈α∞zero.␈α∀This
␈βλ␈␈↓ ↓H␈ε"pro␈α␈v␈α␈es␈α∂that␈α∂the␈α∂coe}cien␈α␈ts␈α∞of␈↓ ¬0␈ε(C␈↓ ¬M␈ε"(␈↓ ¬Y␈ε(z␈↓ ¬l␈ε")␈α∞beha␈α␈v␈α␈e␈α∂lik␈α␈e␈α∂th␈α↓ose␈α∂of␈α∂(␈↓ λa␈ε"log␈↓ 	5␈ε(r␈↓ 	P␈ε6␈␈ε"␈α
1)/(1␈ε6␈α
␈␈↓ ∧␈ε(z␈↓ ⊗␈ε"),
␈β	∂␈↓ 	∂␈ε%1␈α↓0
␈β	+␈↓ ↓H␈ε"that␈αis,
␈β	V␈↓ ¬∩␈ε"lim␈↓ ¬]␈ε(c␈↓ ε∩␈ε"=␈↓ ε@␈ε"log␈↓ π∀␈ε(r␈↓ π-␈ε6␈␈ε"␈αλ1.
␈β	b␈↓ ¬l␈ε+m
␈β	f␈↓ εn␈ε%10
␈β	v␈↓ ∧␈␈ε+m␈ε9!1
␈β
"␈↓ α␈ε"Finally,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αcom␈α␈bine␈αthis␈αwith␈α(22),␈αto␈αsh␈α↓o␈α␈w␈αthat␈↓ λ←␈ε(Q␈↓ 	_␈ε"(␈ε(s␈ε")␈αapproaches
␈β
.␈↓ λ|␈ε+m
␈β
a␈↓ ∧}␈ε↓∩␈↓ λ(␈ε↓∪
␈β
c␈↓ βO␈ε"log␈↓ ∧#␈ε(r␈↓ ∧<␈ε6␈␈ε"␈αλ1␈↓ εL␈ε"1
␈β
r␈↓ β⎇␈ε%10
␈β
s␈↓ π4␈ε%2
␈β
{␈↓ β¬␈ε"1␈αλ+␈↓ ¬∀␈ε"1␈αλ+␈↓ ¬Z␈ε"ln␈↓ ¬}␈ε(s␈ε"␈αλ+␈↓ εg␈ε"(␈↓ εs␈ε"ln␈↓ π↔␈ε(s␈↓ π(␈ε")␈↓ πL␈ε"+␈↓ πx␈ε6↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λR␈ε"=␈↓ 	
␈ε"log␈↓ 	↑␈ε(r
␈β
␈↓ 	8␈ε%1␈α↓0
␈β∂␈↓ βO␈∧∂βOα↓+␈↓ εG␈∧∂εGα≤
␈β∀␈↓ ∧≤␈ε(s␈↓ εG␈ε"2!
␈βQ␈↓ ↓H␈ε"uniformly␈αfor␈α1␈ε6␈α
∀␈ε(␈α
s␈ε6␈α
∀␈ε"␈α
10.
␈βZ␈↓ ¬
␈∧Z¬
≠∂
␈β
␈↓ α␈ε"Therefore␈α⊃w␈α␈e␈α∩ha␈α␈v␈α␈e␈α⊃established␈α⊃the␈α∩logarithmic␈α⊃la␈α␈w␈α⊃for␈α∩in␈α␈tegers␈α⊃by␈α⊃direct
␈β5␈↓ ↓H␈ε"calculation,␈αat␈αthe␈αsame␈αtime␈αseeing␈αthat␈αit␈αis␈αan␈αextremely␈αgo␈α↓od␈αappro␈α␈ximation
␈β`␈↓ ↓H␈ε"to␈αthe␈αa␈α␈v␈α␈erage␈αbeha␈α␈vior␈αalth␈α↓ough␈αit␈αis␈αnev␈α␈er␈αprecisely␈αachiev␈α␈ed.
␈β
∩␈↓ α␈ε"The␈α
abo␈α␈v␈α␈e␈αpro␈α↓ofs␈α
of␈α
Lemma␈α
Q␈αand␈α
Theorem␈α
F␈αare␈α
sligh␈α␈t␈α
simpli|cations␈α
and
␈β
=␈↓ ↓H␈ε"ampli|cations␈α∞of␈α∞meth␈α↓ods␈α∂due␈α∞to␈α∂B.␈α∞J.␈↓ ε@␈ε"Flehinger,␈ε/␈α∂AMM␈ε2␈α∞73␈ε"␈α∞(1966),␈α∂1056↑1061.
␈β
h␈↓ ↓H␈ε"Man␈α␈y␈αauth␈α↓ors␈αha␈α␈v␈α␈e␈αwritten␈αabout␈αthe␈αdistribution␈αof␈αinitial␈αdigits,␈αsh␈α↓o␈α␈wing␈αthat
␈β∞∪␈↓ ↓H␈ε"the␈αlogarithmic␈αla␈α␈w␈αis␈αa␈αgo␈α↓od␈αappro␈α␈ximation␈αfor␈αman␈α␈y␈αunderlying␈αdistributions;
␈β∞>␈↓ ↓H␈ε"see␈α	the␈α	surv␈α␈ey␈α	by␈α	Ralph␈α	A.␈↓ ∧o␈ε"Raimi,␈ε/␈α	AMM␈ε2␈α	83␈ε"␈α
(1976),␈α	521↑538,␈α
for␈α	a␈α	comprehensiv␈α␈e
␈β∞j␈↓ ↓H␈ε"review␈α
of␈α
the␈α
literature.␈α⊂An␈α↓other␈α
in␈α␈teresting␈α
(and␈αdi{eren␈α␈t)␈α
treatmen␈α␈t␈α
of␈α
⎇oating
␈β∂∃␈↓ ↓H␈ε"poin␈α␈t␈αdistribution␈αhas␈αbeen␈αgiv␈α␈en␈αby␈αAlan␈αG.␈↓ π∩␈ε"Konheim,␈ε/␈αMath.␈αComp.␈ε2␈α19␈ε"␈α(1965),
␈β∂@␈↓ ↓H␈ε"143↑144.
␈β∂k␈↓ α␈ε"Exercise␈α∩17␈α⊃discusses␈α∩an␈α∩approach␈α⊃to␈α∩the␈α∩de|nition␈α⊃of␈α∩probabilit␈α␈y␈α⊃under
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈ε"which␈α∂the␈α⊂logarithmic␈α⊂la␈α␈w␈α⊂h␈α↓olds␈α⊂exactly,␈α⊃o␈α␈v␈α␈er␈α∂the␈α⊂in␈α␈tegers.␈α≤F␈α⎇urtherm␈α↓ore,␈α⊂ex-
␈β⊂B␈↓ ↓H␈ε"ercise␈α⊃18␈α⊃dem␈α↓onstrates␈α⊃that␈ε/␈α⊃an␈α␈y␈ε"␈α⊃reasonable␈α⊃de|nition␈α⊃of␈α⊃probabilit␈α␈y␈α⊃o␈α␈v␈α␈er␈α⊃the
␈β⊂m␈↓ ↓H␈ε"in␈α␈tegers␈αm␈α␈ust␈αlead␈αto␈αthe␈αlogarithmic␈αla␈α␈w,␈αif␈αit␈αassigns␈αa␈αv␈α}alue␈αto␈αthe␈αprobabilit␈α␈y
␈β⊃_␈↓ ↓H␈ε"of␈αleading␈αdigits.
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"248␈↓ 
b␈ε"4.2.4
␈β↓\␈↓ α=␈ε∞ARITH␈α↓MET␈α↓IC
␈βα$␈↓ ↓H␈ε=E␈α␈XERCISES
␈βαs␈↓ ↓g␈ε31.␈↓ α␈ε#[␈ε)13␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈e␈α␈n␈α	th␈α␈at␈ε)␈α	u␈ε#␈α
an␈α␈d␈↓ ∧Z␈ε)v␈↓ ∧u␈ε#a␈α␈re␈α	n␈α↓o␈α␈nze␈α␈ro␈α	⎇o␈α␈ating␈α	d␈α␈ecima␈α␈l␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈ε0␈α	with␈α	th␈α␈e␈α	same␈α	sign␈ε#␈α␈,
␈ββ≠␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈at␈αλis␈αλthe␈αλa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈te␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈αλt␈α␈hat␈αλfra␈α␈ction␈αλo␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈αλoccu␈α␈rs␈αλdu␈α␈ring␈αλth␈α␈e␈αλcalcu␈α␈lation
␈ββB␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈ε)␈αu␈ε7␈απλ␈↓ α2␈ε)v␈↓ αD␈ε#,␈αacc␈α␈ord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈αT␈α⎇ab␈α␈les␈α1␈αan␈α␈d␈α2␈α␈?
␈ββt␈↓ ↓g␈ε32.␈↓ α␈ε#[␈ε)42␈↓ α;␈ε#]␈α⊗M␈α␈ak␈α␈e␈αfurth␈α␈er␈αtests␈αo␈α␈f␈α⎇o␈α␈ating␈αpoin␈α}t␈αad␈α␈dition␈αand␈αsub␈α␈trac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αto␈αco␈α␈n|␈α␈rm␈αo␈α␈r
␈β∧≤␈↓ ↓H␈ε#imp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αon␈αth␈α␈e␈αac␈α␈cura␈α␈cy␈αo␈α␈f␈αT␈α⎇ab␈α␈les␈α1␈αan␈α␈d␈α2␈α␈.
␈β∧N␈↓ ↓g␈ε33.␈↓ α␈ε#[␈ε)15␈↓ α;␈ε#]␈α⊗Wha␈α␈t␈α⊂is␈α⊂the␈α∂pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α∂tha␈α␈t␈α⊂the␈α∂t␈α␈wo␈α∂lead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂d␈α␈igits␈α⊂of␈α⊂a␈α∂⎇oa␈α␈ting␈α∂decima␈α␈l
␈β∧u␈↓ ↓H␈ε#n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αar␈α␈e␈α\23␈α␈",␈αacco␈α␈rdin␈α␈g␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓o␈α␈ga␈α␈ri␈α↓th␈α␈mic␈αla␈α␈w?
␈β¬'␈↓ ↓g␈ε34.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈8␈↓ α\␈ε#]␈α⊗The␈α
tex␈α␈t␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ts␈α
ou␈α␈t␈αt␈α␈hat␈α
th␈α␈e␈α
fron␈α}t␈αp␈α␈ag␈α␈es␈α
of␈α
a␈α
w␈α␈ell␈α↓-u␈α␈sed␈α
ta␈α␈ble␈α
of␈α
log␈α␈arithm␈α␈s
␈β¬O␈↓ ↓H␈ε#g␈α␈et␈α
d␈α␈irti␈α↓e␈α␈r␈α
tha␈α␈n␈α	the␈α	ba␈α␈ck␈α	pag␈α␈es␈α
d␈α␈o.␈α∞W␈α↓h␈α␈at␈α	i␈α↓f␈α	we␈α	ha␈α␈d␈α	an␈ε0␈α	an␈α␈t␈α␈i␈α↓log␈α␈arithm␈ε#␈α	tab␈α␈le␈α
inst␈α␈ead␈α␈,␈αi.e.,
␈β¬w␈↓ ↓H␈ε#a␈αtab␈α␈le␈αg␈α␈i␈α↓v␈α␈ing␈αthe␈αv␈α}a␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f␈ε)␈αx␈ε#␈αwhen␈↓ ¬I␈ε#log␈↓ ε⊗␈ε)x␈ε#␈αis␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en;␈αwh␈α␈ich␈αpag␈α␈es␈αo␈α␈f␈αsu␈α␈ch␈αa␈αta␈α␈ble␈αwo␈α␈uld
␈βεπ␈↓ ¬s␈ε&10
␈βε≡␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈e␈αthe␈α
dirtiest?
␈βεN␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βεP␈↓ ↓c␈ε35.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Su␈α␈pp␈α␈ose␈α
th␈α␈at␈↓ ∧C␈ε)U␈↓ ∧h␈ε#is␈α
a␈α
real␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
un␈α␈i␈α↓fo␈α␈rmly␈α
distribu␈α␈ted␈α	i␈α↓n␈α	the␈α
in␈α␈te␈α␈rv␈α}al␈α
0␈α	<
␈βεx␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓l␈ε#<␈α	1.␈α∂Wha␈α␈t␈αi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αdistrib␈α␈ution␈α
of␈αthe␈αlea␈α␈din␈α␈g␈αdigits␈αof␈↓ λ␈ε)U␈↓ λ~␈ε#?
␈βπ*␈↓ ↓g␈ε36.␈↓ α␈ε#[␈ε)23␈↓ α;␈ε#]␈α⊗If␈α∂w␈α␈e␈α∞ha␈α␈v␈α}e␈α∂b␈α␈inary␈α∞co␈α␈mpu␈α␈ter␈α∞wo␈α␈rds␈α∞con␈α}tainin␈α␈g␈ε)␈α∂n␈ε#␈α
+␈α
1␈α∂b␈α␈its,␈α⊂w␈α␈e␈α∂m␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α∂u␈α␈se␈ε)␈α∂p
␈βπQ␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈its␈α
for␈αthe␈αfraction␈αp␈α␈art␈α
o␈α␈f␈↓ ∧j␈ε#⎇o␈α␈ating␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,␈α∞o␈α␈ne␈αbit␈α
fo␈α␈r␈α
th␈α␈e␈α
sign␈α␈,␈α∞a␈α␈nd␈ε)␈αn␈ε7␈α	␈␈ε)␈α	p
␈βπy␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈its␈α⊂fo␈α␈r␈α⊂th␈α␈e␈α∂exp␈α␈on␈α␈en␈α␈t.␈α≠This␈α⊂m␈α␈ean␈α␈s␈α⊂t␈α␈hat␈α∂th␈α␈e␈α⊂ra␈α␈ng␈α␈e␈α∂of␈α⊂v␈α⎇alues␈α∂rep␈α␈resen␈α}tab␈α␈le,␈α⊃i.e.␈α↓,␈α⊂the
␈βλ∃␈↓ 
#␈ε-n␈ε;␈␈ε-p
␈βλ≠␈↓ 
∃␈ε&2
␈βλ!␈↓ ↓H␈ε#ra␈α␈tio␈αo␈α␈f␈αthe␈α
large␈α␈st␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αnorm␈α␈alized␈α
v␈α}alu␈α␈e␈αto␈α
the␈α
sma␈α␈l␈α↓lest,␈αis␈α
essen␈α}ti␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈↓ 
∧␈ε#2␈↓ 
[␈ε#.␈α∂The
␈βλH␈↓ ↓H␈ε#sa␈α␈me␈α∂c␈α␈omp␈α␈ute␈α␈r␈α∂w␈α␈ord␈α∞cou␈α␈ld␈α∂b␈α␈e␈α∂u␈α␈sed␈α∞to␈α∂r␈α␈epres␈α␈en␈α␈t␈α∂⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈↓ λ#␈ε0hex␈α␈ad␈α␈ecimal␈ε#␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈α⊂i.e.,
␈βλn␈↓ 
↔␈ε"(
␈βλp␈↓ ↓H␈ε#⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈αpoin␈α}t␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈αwith␈αrad␈α␈i␈α↓x␈α1␈α␈6,␈αwith␈ε)␈αp␈ε#␈απ+␈αλ2␈αb␈α␈its␈αfor␈αthe␈αfraction␈αp␈α␈art␈↓ 
#␈ε#(␈ε)p␈ε#␈απ+␈αλ2)/4
␈β	∃␈↓ βY␈ε")
␈β	↔␈↓ ↓H␈ε#h␈α␈ex␈α␈ade␈α␈cimal␈α∂d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓ts␈↓ βt␈ε#an␈α␈d␈ε)␈α∂n␈ε7␈α
␈␈ε)␈α
p␈ε7␈α
␈␈ε#␈α
2␈α∂b␈α␈its␈α∂for␈α∂th␈α␈e␈α∂ex␈α␈po␈α␈ne␈α␈n␈α␈t;␈α⊃th␈α␈en␈α∂t␈α␈he␈α∂ra␈α␈ng␈α␈e␈α∂of␈α∂v␈α⎇alue␈α␈s
␈β	;␈↓ βπ␈ε-n␈ε;␈␈ε-p␈ε;␈α↓␈␈ε'2␈↓ ∧<␈ε-n␈ε;␈␈ε-p
␈β	A␈↓ αy␈ε&2␈↓ ∧.␈ε&2
␈β	F␈↓ ↓H␈ε#w␈α␈o␈α␈uld␈αbe␈α1␈↓ αh␈ε#6␈↓ βq␈ε#=␈↓ ∧≥␈ε#2␈↓ ∧t␈ε#,␈α
the␈αsam␈α␈e␈α
a␈α␈s␈αbefor␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈αwi␈α↓t␈α␈h␈αm␈α↓ore␈αb␈α␈i␈α↓ts␈αin␈αth␈α␈e␈α
fra␈α␈ction
␈β	n␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈art.␈α∞This␈α	m␈α␈a␈α␈y␈α	so␈α␈un␈α␈d␈α	a␈α␈s␈α	i␈α↓f␈α	w␈α␈e␈αλare␈α	g␈α␈etting␈αλsometh␈α␈ing␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α	n␈α↓o␈α␈thin␈α␈g,␈α
b␈α␈ut␈α	t␈α␈he␈α	norm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation
␈β
⊗␈↓ ↓H␈ε#c␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αf␈α↓o␈α␈r␈α
b␈α␈ase␈α
1␈α␈6␈α
is␈α
w␈α␈e␈α␈ak␈α␈er␈αin␈α
th␈α␈at␈α
t␈α␈here␈αma␈α␈y␈αbe␈αup␈αto␈αthre␈α␈e␈α
lead␈α␈ing␈αzero␈αbits␈α
in
␈β
=␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αp␈α␈art;␈αth␈α␈u␈α␈s␈αn␈α↓ot␈αa␈α␈ll␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈ε)␈αp␈ε#␈απ+␈αλ2␈αb␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈αa␈α␈re␈α\sign␈α␈i|ca␈α␈n␈α␈t."
␈β
e␈↓ α␈ε#On␈αth␈α␈e␈α
b␈α␈asis␈α
o␈α␈f␈α
the␈αloga␈α␈rithmic␈αla␈α␈w,␈α
w␈α↓h␈α␈at␈αare␈αthe␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
fra␈α␈ction
␈β␈↓ ↓H␈ε#p␈α␈art␈αo␈α␈f␈αa␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈α
n␈α↓o␈α␈rmalized␈α
rad␈α␈i␈α↓x␈α
16␈α
⎇o␈α␈ating␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αh␈α␈as␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α
0,␈α1␈α␈,␈α2␈α␈,␈αan␈α␈d␈α3
␈β4␈↓ ↓H␈ε#lea␈α␈ding␈α
zero␈αb␈α␈its?␈α∂Discuss␈αth␈α␈e␈αd␈α␈esirabilit␈α␈y␈αof␈αh␈α␈exa␈α␈dec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈αv␈α␈ersu␈α␈s␈αbina␈α␈ry.
␈βf␈↓ ↓g␈ε37.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈28␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Pro␈α␈v␈α}e␈α∂th␈α␈at␈α∂th␈α␈ere␈α∂is␈α∂n␈α↓o␈α∞distrib␈α␈ution␈α∞fun␈α␈ction␈↓ λ2␈ε)F␈↓ λK␈ε#(␈ε)␈α↓u␈ε#)␈α∂th␈α␈at␈α∂satis|␈α␈es␈α∂(5)␈α∂fo␈α␈r
␈β∞␈↓ ↓H␈ε#e␈α␈ach␈α
i␈α↓n␈α}teger␈ε)␈αb␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
2␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αall␈αr␈α␈eal␈αv␈α}alu␈α␈es␈↓ ε/␈ε)r␈↓ εJ␈ε#in␈α
the␈αra␈α␈nge␈α1␈ε7␈αλ∀␈↓ λI␈ε)r␈↓ λa␈ε7∀␈ε)␈α
b␈ε#.
␈β@␈↓ ↓g␈ε38.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈23␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Do␈α␈es␈α(10)␈αhold␈αwh␈α␈en␈ε)␈αm␈ε#␈α	=␈α	0␈αfor␈αsu␈α␈itable␈↓ πd␈ε)N␈↓ λ∂␈ε#(␈ε)∂␈ε#)?
␈βK␈↓ λ␈ε&0
␈βr␈↓ ↓g␈ε39.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈24␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(P.␈↓ βH␈ε#Dia␈α␈con␈α␈i␈α↓s.)␈α⊗Let␈↓ ¬(␈ε)P␈↓ ¬L␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓),␈↓ ε
␈ε)P␈↓ ε.␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓),␈↓ εm␈ε#.␈α¬.␈αε.␈↓ π≡␈ε#b␈α␈e␈α
an␈α}y␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α
of␈α
fun␈α␈ctions␈α
d␈α␈e|n␈α␈ed
␈β⎇␈↓ ¬=␈ε&1␈↓ ε∨␈ε&2
␈β
→␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈y␈α⊃repe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈α⊃a␈α␈v␈α}erag␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊃a␈α∩g␈α␈i␈α↓v␈α}en␈α⊃fun␈α␈ction␈↓ εK␈ε)P␈↓ εo␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈α⊃acco␈α␈rdin␈α␈g␈α∩to␈α⊃Eq.␈α∩(9).␈α"P␈α↓ro␈α}v␈α␈e␈α⊃tha␈α␈t
␈β
%␈↓ ε`␈ε&0
␈β
A␈↓ ↓H␈ε#lim␈↓ αI␈ε)P␈↓ αw␈ε#(␈ε)␈α↓n␈ε#)␈α	=␈↓ βV␈ε)P␈↓ βz␈ε#(1)␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈α|␈α␈xed␈ε)␈α
n␈ε#␈α↓.
␈β
L␈↓ ↓v␈ε,m␈ε:!1␈↓ α↑␈ε,m␈↓ βk␈ε&0
␈β
q␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β
s␈↓ ↓S␈ε31␈α␈0.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈28␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Th␈α␈e␈αtex␈α␈t␈αsho␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ ¬H␈ε)c␈↓ ¬z␈ε#=␈↓ ε&␈ε#log␈↓ εs␈ε)r␈↓ π
␈ε7␈␈ε#␈αλ1␈αλ+␈↓ πu␈ε)∂␈↓ λ≤␈ε#,␈αwh␈α␈ere␈↓ 	∩␈ε)∂␈↓ 	E␈ε#a␈α␈pp␈α␈roa␈α␈ches␈αzero
␈β
␈␈↓ ¬W␈ε,m␈↓ λβ␈ε,m␈↓ 	 ␈ε,m
␈β∞β␈↓ εP␈ε&10
␈β∞≠␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈s␈ε)␈αm␈ε7␈α	!␈α
1␈ε#.␈α∂Obt␈α␈ain␈αth␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αterm␈αin␈αth␈α␈e␈αasy␈α␈mp␈α␈totic␈αex␈α␈pan␈α␈sion␈α
of␈↓ 	∞␈ε)c␈↓ 	6␈ε#.
␈β∞&␈↓ 	≥␈ε,m
␈β∞M␈↓ ↓V␈ε311.␈↓ α␈ε#[␈ε)M1␈α␈5␈↓ α\␈ε#]␈α⊗Giv␈α␈en␈αλtha␈α␈t␈↓ ∧∨␈ε)U␈↓ ∧C␈ε#is␈α	a␈α	ra␈α␈nd␈α␈om␈α	v␈α⎇ariab␈α␈l␈α↓e␈αλdistribu␈α␈ted␈αλacco␈α␈rdin␈α␈g␈α	to␈α	th␈α␈e␈α	log␈α␈arithm␈α␈i␈α↓c
␈β∞t␈↓ ↓H␈ε#la␈α␈w,␈αpr␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αth␈α␈at␈α1/␈↓ βP␈ε)U␈↓ βv␈ε#is␈αalso.
␈β∂&␈↓ ↓V␈ε312.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(R.␈α	W.␈↓ β⎇␈ε#Hamm␈α␈i␈α↓n␈α␈g.)␈α⊃Th␈α␈e␈α	p␈α␈urp␈α␈ose␈α	o␈α␈f␈α	this␈α	ex␈α␈ercise␈αλi␈α↓s␈α	t␈α␈o␈α	sho␈α␈w␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	resu␈α␈lt
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈↓ ↓o␈ε#⎇␈α␈oatin␈α␈g␈αpoin␈α}t␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αten␈α␈ds␈αto␈αob␈α␈ey␈αth␈α␈e␈αlog␈α␈arith␈α␈mic␈αla␈α␈w␈αm␈α↓o␈α␈re␈αp␈α␈erfectly␈αth␈α␈an
␈β∂u␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α	op␈α␈eran␈α␈ds␈α	d␈α␈o.␈α∞L␈α↓e␈α␈t␈↓ ∧␈ε)U␈↓ ∧#␈ε#and␈↓ ∧b␈ε)V␈↓ ¬π␈ε#be␈α	ra␈α␈nd␈α␈om,␈α	n␈α↓or␈α␈malized␈α␈,␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α␈e␈α	⎇␈α␈oa␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈β⊂≥␈↓ ↓H␈ε#whose␈αλfra␈α␈ction␈αλp␈α␈arts␈αλa␈α␈re␈αλind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈tly␈αλd␈α␈istri␈α↓b␈α␈ut␈α␈ed␈αλwith␈αλth␈α␈e␈αλresp␈α␈ectiv␈α␈e␈αλd␈α␈en␈α␈si␈α↓t␈α␈y␈απfun␈α␈ction␈α␈s
␈β⊂(␈↓ λ)␈ε↓R␈↓ λh␈ε↓R
␈β⊂7␈↓ λA␈ε,r␈↓ 	␈ε,s
␈β⊂E␈↓ ↓H␈ε)f␈↓ ↓[␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈αan␈α␈d␈↓ αR␈ε)g␈↓ αc␈ε#(␈ε)x␈ε#␈α␈).␈α∪Th␈α}us,␈↓ ∧ε␈ε)f␈↓ ∧3␈ε7∀␈↓ ∧←␈ε)r␈↓ ∧{␈ε#a␈α␈nd␈↓ ¬=␈ε)f␈↓ ¬h␈ε7∀␈ε)␈αs␈ε#␈αw␈α↓ith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈↓ 	(␈ε)f␈↓ 	;␈ε#(␈ε)␈α↓x␈ε#␈α␈)␈↓ 	d␈ε)g␈↓ 	u␈ε#(␈↓ 
␈ε)y␈↓ 
⊃␈ε#)␈ε)␈αεd␈↓ 
3␈ε)y␈↓ 
J␈ε)dx␈ε#,␈α
fo␈α␈r
␈β⊂P␈↓ ∧⊗␈ε,u␈↓ ¬M␈ε,v
␈β⊂X␈↓ λ:␈ε&1/␈ε,␈α␈b␈↓ λy␈ε&1/␈ε,b
␈β⊂r␈↓ ↓H␈ε#1␈α␈/␈ε)b␈ε7␈α⊃∀␈↓ α:␈ε)r␈↓ αJ␈ε#,␈ε)␈αεs␈ε7␈α⊂∀␈ε#␈α⊃1.␈α≥Let␈ε)␈α⊂h␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α∂be␈α⊂t␈α␈he␈α∂den␈α␈sity␈α∂fu␈α␈nction␈α∂o␈α␈f␈α⊂the␈α∂fraction␈α∂p␈α␈art␈α⊂o␈α␈f␈↓ 
@␈ε)U␈↓ 
e␈ε7α␈↓ ⊃␈ε)V
␈β⊃→␈↓ ↓H␈ε#(u␈α␈nro␈α␈un␈α␈ded␈α␈).␈α∂De|n␈α␈e␈αth␈α␈e␈ε0␈αa␈α␈bnorma␈α␈li␈α↓t␈α␈y␈ε)␈α
A␈ε#(␈↓ ε∞␈ε)f␈↓ ε"␈ε#)␈αof␈α
a␈αd␈α␈ensit␈α␈y␈α
fun␈α␈ction␈↓ λo␈ε)f␈↓ 	∞␈ε#to␈α
be␈α
the␈α
max␈α␈im␈α␈um
␈β∪(

␈β↓U␈↓ ↓H␈ε"4.2.4␈↓ 
v␈ε"249
␈β↓\␈↓ ∧U␈ε∞DISTRIBUT␈α↓ION␈α	OF␈α
F␈α↓L␈α␈O␈α␈A␈α}TING␈αP␈α␈OINT␈α
NU␈α↓MBERS
␈βα&␈↓ ↓H␈ε#re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈e␈αerro␈α␈r,
␈βα.␈↓ εQ␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈
␈βαD␈↓ εQ␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈
␈βαM␈↓ ε`␈ε)f␈↓ εt␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈ε7␈απ␈␈↓ πM␈ε)l␈↓ πW␈ε#(␈ε)x␈ε#)
␈βαY␈↓ εQ␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈
␈βαc␈↓ ∧[␈ε)A␈ε#(␈↓ ∧}␈ε)f␈↓ ¬∩␈ε#)␈α	=␈↓ ¬o␈ε#m␈α␈a␈↓ ε≠␈ε#x␈↓ λ⊂␈ε#,
␈βαo␈↓ εQ␈ε↓␈␈↓ λ∧␈ε↓␈
␈βαv␈↓ ε`␈∧αvε`α↓ 
␈βαz␈↓ π↔␈ε)l␈↓ π!␈ε#(␈ε)x␈ε#)
␈ββ∧␈↓ ¬Q␈ε&1/␈ε,␈α␈b␈ε:∀␈ε,␈α↓x␈ε:∀␈ε&1
␈ββ7␈↓ ↓H␈ε#wh␈α␈ere␈↓ α(␈ε)l␈↓ α2␈ε#(␈ε)x␈ε#)␈α	=␈α
1␈α␈/(␈ε)x␈↓ βS␈ε#ln␈↓ βt␈ε)b␈ε#␈α↓)␈αis␈αthe␈αd␈α␈en␈α␈si␈α↓t␈α␈y␈α
of␈αthe␈αlo␈α␈garith␈α␈mic␈αdistribu␈α␈tion.
␈ββ]␈↓ ∧\␈ε"(␈↓ ¬w␈ε")␈↓ ε ␈ε"(
␈ββ←␈↓ α␈ε#Pro␈α␈v␈α␈e␈α	th␈α␈at␈ε)␈α
A␈ε#(␈ε)h␈ε#)␈ε7␈α
∀␈↓ ∧$␈ε#min␈↓ ∧h␈ε)A␈ε#(␈↓ ¬␈ε)f␈↓ ¬≡␈ε#)␈α↓,␈ε)␈α¬A␈ε#(␈↓ ¬\␈ε)g␈↓ ¬l␈ε#)␈↓ εβ␈ε#.␈↓ ε,␈ε#In␈α	p␈α␈articula␈α␈r,␈αif␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈α	factor␈α	ha␈α␈s␈α
log␈α␈arithm␈α␈i␈α↓c
␈β∧¬␈↓ ¬=␈ε")
␈β∧π␈↓ ↓H␈ε#d␈α␈istribu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈du␈α␈ct␈αdo␈α␈es␈αalso.
␈β∧7␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β∧9␈↓ ↓S␈ε31␈α␈3.␈↓ α␈ε#[␈ε)M2␈α␈0␈↓ α\␈ε#]␈α⊗The␈α⎇␈α␈oat␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αpo␈α␈in␈α␈t␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈αro␈α␈utine␈α␈,␈αAlgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α4␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈M␈↓ 	a␈ε#,␈αrequ␈α␈ires␈αzero
␈β∧a␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈r␈α⊂on␈α␈e␈α⊂le$␈α⊂s␈α␈hi$s␈α⊂d␈α␈uring␈α∂n␈α↓o␈α␈rmaliza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α⊃d␈α␈epen␈α␈din␈α␈g␈α⊂o␈α␈n␈α⊂wh␈α␈eth␈α␈er␈↓ 	␈ε)f␈↓ 	"␈ε)f␈↓ 	S␈ε7∃␈ε#␈α⊃1/␈ε)b␈ε#␈α⊂o␈α␈r␈α⊂n␈α↓o␈α␈t.
␈β∧l␈↓ 	⊂␈ε,u␈↓ 	2␈ε,v
␈β¬λ␈↓ ↓H␈ε#Assu␈α␈ming␈α⊃th␈α␈at␈α∩t␈α␈he␈α⊃i␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈α∩o␈α␈pera␈α␈nd␈α␈s␈α∩a␈α␈re␈α∩ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈t␈α␈l␈α↓y␈α⊃d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α⊃a␈α␈ccor␈α␈ding␈α⊃to␈α⊃the
␈β¬0␈↓ ↓H␈ε#log␈α␈arith␈α␈mic␈αl␈α↓a␈α}w,␈α
wh␈α␈at␈αis␈αthe␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈αth␈α␈at␈αno␈αle$␈αsh␈α␈i␈α↓$␈αis␈αne␈α␈ede␈α␈d␈αfor␈αnorm␈α␈ali␈α↓z␈α␈ation
␈β¬W␈↓ ↓H␈ε#o␈α␈f␈αt␈α␈he␈αresu␈α␈lt?
␈βελ␈↓ ↓;␈ε↓x
␈βε
␈↓ ↓S␈ε31␈α␈4.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βT␈ε)U␈↓ β⎇␈ε#an␈α␈d␈↓ ∧B␈ε)V␈↓ ∧m␈ε#b␈α␈e␈α∂ra␈α␈nd␈α␈om,␈α⊂norma␈α␈l␈α↓ized␈α␈,␈α⊂po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e␈α∂⎇o␈α␈ating␈α∞poin␈α}t␈α∂n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈βε1␈↓ ↓H␈ε#whose␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
pa␈α␈rts␈α
are␈α
ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈tly␈α
distrib␈α␈uted␈αacco␈α␈rding␈α
to␈α
th␈α␈e␈α
loga␈α␈ri␈α↓th␈α␈mic␈α
la␈α␈w,
␈βεY␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α	let␈↓ α6␈ε)p␈↓ αa␈ε#be␈α	the␈α	prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈α	that␈α	the␈α
d␈α␈i{ere␈α␈nce␈α	i␈α↓n␈α	the␈α␈i␈α↓r␈α	exp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈α
is␈↓ 	/␈ε)k␈↓ 	A␈ε#.␈α∂Assu␈α␈ming␈α	tha␈α␈t
␈βεd␈↓ αG␈ε,k
␈βπ␈↓ ↓H␈ε#th␈α␈e␈α
distrib␈α␈ution␈α	of␈α
the␈α
e␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈ts␈α
is␈α
ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
fraction␈α	pa␈α␈rts,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}e␈α
an␈α	equ␈α␈ation
␈βπ(␈↓ ↓H␈ε#fo␈α␈r␈α
the␈α	pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α	tha␈α␈t␈α
\␈↓ ∧3␈ε#fra␈α␈ction␈α	o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w"␈α	occ␈α␈urs␈α
d␈α␈urin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
⎇␈α␈oatin␈α␈g␈α
p␈α␈oin␈α␈t␈α
a␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f
␈βπP␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓j␈ε7λ␈↓ α∪␈ε)V␈↓ α/␈ε#,␈αi␈α↓n␈αte␈α␈rms␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αb␈α␈ase␈ε)␈αb␈ε#␈αan␈α␈d␈αthe␈αq␈α␈uan␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈↓ π!␈ε)p␈↓ πA␈ε#,␈↓ πV␈ε)p␈↓ πv␈ε#,␈↓ λ␈ε)p␈↓ λ+␈ε#,␈↓ λ@␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ λr␈ε#.␈α⊂Com␈α␈pare␈αth␈α␈i␈α↓s␈αresu␈α␈lt
␈βπ[␈↓ π2␈ε&0␈↓ πg␈ε&1␈↓ λ≤␈ε&2
␈βπw␈↓ ↓H␈ε#with␈αe␈α␈xerc␈α␈i␈α↓se␈α
1.␈α~(Ig␈α␈n␈α↓or␈α␈e␈αrou␈α␈nd␈α␈i␈α↓n␈α␈g.)
␈βλ)␈↓ ↓V␈ε315.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈28␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βT␈ε)U␈↓ βn␈ε#,␈↓ ∧λ␈ε)V␈↓ ∧#␈ε#,␈↓ ∧=␈ε)p␈↓ ∧]␈ε#,␈↓ ∧v␈ε)p␈↓ ¬⊗␈ε#,␈↓ ¬0␈ε#.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬f␈ε#b␈α␈e␈α∂as␈α∂in␈α∂ex␈α␈ercise␈α∂1␈α␈4,␈α⊂and␈α∞assu␈α␈me␈α∂th␈α␈at␈α∂rad␈α␈i␈α↓x␈α∞10
␈βλ5␈↓ ∧N␈ε&0␈↓ ¬π␈ε&1
␈βλQ␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α∞is␈α∂be␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞used␈α␈.␈α~S␈α␈h␈α↓o␈α␈w␈α∞tha␈α␈t␈α∂reg␈α␈ard␈α␈l␈α↓e␈α␈ss␈α∂of␈α∞the␈α∞v␈α}alue␈α␈s␈α∂of␈↓ 	∞␈ε)p␈↓ 	.␈ε#,␈↓ 	G␈ε)p␈↓ 	g␈ε#,␈↓ 
␈ε)p␈↓ 
 ␈ε#,␈↓ 
9␈ε#.␈αε.␈αε.␈↓ 
e␈ε#,␈α⊂the
␈βλ]␈↓ 	∨␈ε&0␈↓ 	X␈ε&1␈↓ 
⊃␈ε&2
␈βλy␈↓ ↓H␈ε#su␈α␈m␈↓ α
␈ε)U␈↓ α.␈ε7λ␈↓ αV␈ε)V␈↓ α|␈ε#wil␈α↓l␈ε0␈αnot␈ε#␈α
ob␈α␈ey␈α
the␈α
loga␈α␈rithmic␈α
l␈α↓a␈α}w␈αex␈α␈actly␈α␈,␈αan␈α␈d␈αin␈α
fac␈α␈t␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lit␈α␈y␈α
tha␈α␈t
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε)U␈↓ ↓j␈ε7λ␈↓ α∩␈ε)V␈↓ α9␈ε#ha␈α␈s␈αl␈α↓e␈α␈ad␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αd␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈α1␈α
i␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓w␈α␈a␈α}ys␈αstrictly␈ε0␈αless␈ε#␈αth␈α␈an␈↓ πY␈ε#log␈↓ λ&␈ε#2␈α␈.
␈β	0␈↓ λβ␈ε&10
␈β	S␈↓ ↓V␈ε316.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈28␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(P.␈↓ βH␈ε#Diaco␈α␈nis.)␈α_L␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬+␈ε)P␈↓ ¬O␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈αb␈α␈e␈α0␈α
or␈α
1␈αfor␈α
each␈ε)␈α
n␈ε#,␈αand␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α\␈α␈pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ities"
␈β	↑␈↓ ¬@␈ε&0
␈β	z␈↓ ↓H␈ε)P␈↓ α≡␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈αby␈αrepe␈α␈ated␈αa␈α␈v␈α␈er␈α␈aging␈α␈,␈α
a␈α␈s␈αin␈α(9).␈α⊃Sho␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αif␈↓ λα␈ε#lim␈↓ λ|␈ε)P␈↓ 	 ␈ε#(␈ε)n␈ε#␈α↓)␈αd␈α␈oes␈αnot␈αex␈α␈ist,
␈β
ε␈↓ ↓\␈ε,m␈ε&+␈α↓1␈↓ λ0␈ε,n␈ε:!1␈↓ 	⊃␈ε&1
␈β
"␈↓ ↓H␈ε#n␈α␈eithe␈α␈r␈α
do␈α␈es␈↓ βε␈ε#lim␈↓ ∧↓␈ε)P␈↓ ∧/␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈α
for␈α
a␈α␈n␈α␈y␈ε)␈αm␈ε#.␈α≤[␈ε0␈α↓Hin␈α␈t:␈ε#␈α∞P␈α↓r␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈αthat␈↓ λ)␈ε)a␈↓ λY␈ε7!␈ε#␈α
0␈αwhen␈α␈ev␈α}er␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈a␈α␈v␈α␈e
␈β
-␈↓ β4␈ε,n␈ε:!1␈↓ ∧∃␈ε,m␈↓ λ;␈ε,n
␈β
I␈↓ ↓H␈ε#(␈↓ ↓S␈ε)a␈↓ ↓{␈ε#+␈↓ α$␈ε7↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ αR␈ε#+␈↓ α{␈ε)a␈↓ β∨␈ε#)/␈ε)n␈ε7␈α	!␈ε#␈α
0␈α
and␈↓ ∧←␈ε)a␈↓ ¬5␈ε7∀␈↓ ¬←␈ε)a␈↓ ε␈ε#+␈↓ ε3␈ε)M␈↓ εY␈ε#/␈ε)n␈ε#,␈αfor␈αsom␈α␈e␈α|x␈α␈ed␈αc␈α␈onsta␈α␈n␈α␈t␈↓ 	q␈ε)M␈↓ 
 ␈ε#>␈α	0.]
␈β
U␈↓ ↓e␈ε&1␈↓ β
␈ε,n␈↓ ∧q␈ε,n␈ε&+1␈↓ ¬q␈ε,n
␈β
z␈↓ ↓;␈ε↓x␈↓ πw␈ε"(␈↓ λE␈ε")
␈β
|␈↓ ↓S␈ε31␈α␈7.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈25␈↓ αt␈ε#]␈α⊗(R.␈α
L.␈↓ βt␈ε#Du␈α␈nca␈α␈n.)␈α∀Anothe␈α␈r␈α
w␈α␈a␈α␈y␈α	to␈α	de|␈α␈ne␈↓ πT␈ε#P␈↓ πj␈ε#r␈↓ λβ␈ε)S␈↓ λ≠␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈↓ λ[␈ε#is␈α
to␈α	ev␈α}a␈α␈luate␈α	the␈α	qu␈α␈an␈α␈-
␈βπ␈↓ β∀␈ε↓P
␈β!␈↓ α⎇␈ε"(␈↓ ε↔␈ε")
␈β#␈↓ ↓H␈ε#tit␈α␈y␈↓ αλ␈ε#lim␈↓ β	␈ε#(␈↓ ¬~␈ε#1/␈↓ ¬;␈ε)k␈↓ ¬N␈ε#)/␈↓ ¬i␈ε)H␈↓ ε#␈ε#;␈α
it␈αcan␈αb␈α␈e␈αsh␈α↓o␈α}w␈α↓n␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈is␈α
\␈↓ 	J␈ε#harmon␈α␈i␈α↓c␈αp␈α␈rob␈α␈-
␈β/␈↓ α6␈ε,n␈ε:!1␈↓ ε∧␈ε,n
␈β7␈↓ β:␈ε,S␈↓ βL␈ε&(␈↓ βV␈ε,k␈↓ βe␈ε&)␈↓ βw␈ε&a␈α␈n␈α↓d␈↓ ∧+␈ε&1␈ε:∀␈↓ ∧S␈ε,k␈↓ ∧b␈ε:∀␈ε,␈α↓n
␈βQ␈↓ ∧l␈ε"(␈↓ ¬9␈ε")
␈βS␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈α␈"␈α
e␈α␈xists␈α
an␈α␈d␈α
e␈α␈qu␈α␈als␈↓ ∧H␈ε#P␈↓ ∧↑␈ε#r␈↓ ∧x␈ε)S␈↓ ¬∂␈ε#(␈ε)n␈ε#)␈↓ ¬R␈ε#whe␈α␈nev␈α}er␈α
th␈α␈e␈α
latter␈α
e␈α␈xists␈α
ac␈α␈cord␈α␈ing␈α
t␈α␈o␈α
De|␈α␈nition
␈β{␈↓ ↓H␈ε#3␈α␈.␈α↓5␈α␈A.␈α	Pro␈α␈v␈α}e␈αλtha␈α␈t␈α	th␈α␈e␈αλha␈α␈rm␈α↓on␈α␈ic␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓it␈α␈y␈αλof␈αλth␈α␈e␈αλstatem␈α␈en␈α␈t␈αλ\(␈↓ λ8␈ε#log␈↓ 	¬␈ε)n␈ε#)␈↓ 	*␈ε#mo␈α␈d␈↓ 	n␈ε#1␈α	<␈↓ 
3␈ε)r␈↓ 
B␈ε#"␈αλex␈α␈i␈α↓st␈α␈s
␈β␈↓ λb␈ε&10
␈β ␈↓ β⊗␈ε"(
␈β"␈↓ ↓H␈ε#a␈α␈nd␈α	equ␈α␈als␈↓ αj␈ε)r␈↓ αy␈ε#.␈↓ β"␈ε#Th␈α␈us␈α␈,␈αinitial␈α
d␈α␈igits␈α
of␈α
in␈α}tegers␈ε0␈α	exa␈α␈ctly␈ε#␈α
sa␈α␈tisf␈α↓y␈α	th␈α␈e␈α
log␈α␈arithmic␈α	l␈α↓a␈α}w␈α
in␈α
th␈α␈is
␈βH␈↓ α≠␈ε")
␈βJ␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈nse.
␈βz␈↓ ↓;␈ε↓x
␈β|␈↓ ↓S␈ε31␈α␈8.␈↓ α␈ε#[␈ε)H␈α⎇M␈α␈30␈↓ αt␈ε#]␈α⊗Let␈↓ βL␈ε)P␈↓ βf␈ε#(␈↓ βq␈ε)S␈↓ ∧λ␈ε#)␈απbe␈απan␈α}y␈αλr␈α␈eal-v␈α}alu␈α␈ed␈απfun␈α␈ction␈απd␈α␈e|n␈α␈ed␈απon␈απse␈α␈ts␈↓ λ{␈ε)S␈↓ 	~␈ε#o␈α␈f␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈β
$␈↓ ↓H␈ε#b␈α␈ut␈αnot␈αn␈α␈ecessa␈α␈ril␈α↓y␈α
on␈αa␈α␈l␈α↓l␈αsu␈α␈ch␈αse␈α␈ts,␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αra␈α␈the␈α␈r␈αwe␈α␈ak␈αa␈α␈xiom␈α␈s:
␈β
V␈↓ ↓m␈ε#i)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)P␈↓ αG␈ε#(␈↓ αR␈ε)S␈↓ αi␈ε#)␈αan␈α␈d␈↓ β@␈ε)P␈↓ βY␈ε#(␈↓ βd␈ε)T␈↓ β|␈ε#)␈αare␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈α
and␈↓ ¬⎇␈ε)S␈↓ ε≤␈ε7\␈↓ ε;␈ε)T␈↓ ε\␈ε#=␈ε7␈α
4␈ε#␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ πw␈ε)P␈↓ λ⊃␈ε#(␈↓ λ≤␈ε)S␈↓ λ:␈ε7[␈↓ λZ␈ε)T␈↓ λr␈ε#)␈α	=␈↓ 	0␈ε)P␈↓ 	J␈ε#(␈↓ 	U␈ε)S␈↓ 	l␈ε#)␈αλ+␈↓ 
'␈ε)P␈↓ 
A␈ε#(␈↓ 
L␈ε)T␈↓ 
c␈ε#)␈α↓.
␈β
⎇␈↓ ↓c␈ε#i␈α↓i)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)P␈↓ αG␈ε#(␈↓ αR␈ε)S␈↓ αi␈ε#)␈αis␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈αthen␈↓ ∧h␈ε)P␈↓ ¬α␈ε#(␈↓ ¬
␈ε)S␈↓ ¬+␈ε#+␈αλ1)␈α	=␈↓ ε$␈ε)P␈↓ ε=␈ε#(␈↓ εH␈ε)S␈↓ ε←␈ε#),␈αwh␈α␈ere␈↓ π←␈ε)S␈↓ π⎇␈ε#+␈αλ1␈α	=␈↓ λk␈ε7f␈↓ 	↓␈ε)n␈ε#␈αλ+␈απ1␈ε7␈α	j␈ε)␈α
n␈ε7␈α	2␈↓ 
/␈ε)S␈↓ 
K␈ε7g␈↓ 
\␈ε#.
␈β∞"␈↓ ¬w␈ε&1
␈β∞%␈↓ ↓Z␈ε#ii␈α↓i)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)P␈↓ αG␈ε#(␈↓ αR␈ε)S␈↓ αi␈ε#)␈αis␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈αthen␈↓ ∧h␈ε)P␈↓ ¬α␈ε#(2␈↓ ¬≡␈ε)S␈↓ ¬5␈ε#)␈α	=␈↓ ε	␈ε)P␈↓ ε"␈ε#(␈↓ ε-␈ε)S␈↓ εD␈ε#),␈αwh␈α␈ere␈α2␈↓ πU␈ε)S␈↓ πu␈ε#=␈↓ λ ␈ε7f␈↓ λ6␈ε#2␈ε)␈α␈n␈ε7␈α
j␈ε)␈α
n␈ε7␈α	2␈↓ 	4␈ε)S␈↓ 	P␈ε7g␈↓ 	a␈ε#.
␈β∞5␈↓ ¬w␈ε&2
␈β∞8␈↓ ¬w␈∧∞8¬wα∞
␈β∞M␈↓ ↓[␈ε#iv)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)S␈↓ αP␈ε#is␈αth␈α␈e␈αset␈αof␈ε0␈αall␈ε#␈αpo␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,␈αt␈α␈hen␈↓ ε⎇␈ε)P␈↓ π↔␈ε#(␈↓ π"␈ε)S␈↓ π9␈ε#)␈α	=␈α
1.
␈β∞t␈↓ ↓d␈ε#v)␈↓ α␈ε#If␈↓ α-␈ε)P␈↓ αG␈ε#(␈↓ αR␈ε)S␈↓ αi␈ε#)␈αis␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α␈,␈αthen␈↓ ∧h␈ε)P␈↓ ¬α␈ε#(␈↓ ¬
␈ε)S␈↓ ¬$␈ε#)␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
0.
␈β∂&␈↓ ↓H␈ε#Assu␈α␈me␈αfurth␈α␈erm␈α↓o␈α␈re␈α
th␈α␈at␈↓ ∧H␈ε)P␈↓ ∧b␈ε#(␈↓ ∧m␈ε)L␈↓ ¬∪␈ε#)␈α
is␈α
d␈α␈e|␈α␈ned␈αfo␈α␈r␈α
all␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈ε)␈α
a␈ε#,␈α
wh␈α␈ere␈↓ 
)␈ε)L␈↓ 
[␈ε#i␈α↓s␈αthe
␈β∂2␈↓ ¬β␈ε,a␈↓ 
?␈ε,a
␈β∂N␈↓ ↓H␈ε#se␈α␈t␈αof␈αall␈αin␈α}tegers␈αwhose␈αd␈α␈ecima␈α␈l␈αre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n␈αbe␈α␈gins␈αwith␈ε)␈αa␈ε#␈α␈:
␈β⊂∃␈↓ ∧U␈ε,m␈↓ ε≡␈ε,m
␈β⊂≤␈↓ β∀␈ε)L␈↓ βC␈ε#=␈↓ βn␈ε7f␈↓ ∧∧␈ε)n␈↓ ∧!␈ε7j␈ε#␈α
1␈↓ ∧E␈ε#0␈↓ ∧n␈ε)a␈ε7␈α
∀␈ε)␈α	n␈ε#␈α
<␈α	1␈↓ ε
␈ε#0␈↓ ε7␈ε#(␈ε)a␈ε#␈απ+␈αλ1␈α␈)␈↓ π+␈ε#fo␈α␈r␈αsome␈αin␈α}teger␈↓ 	 ␈ε)m␈↓ 	C␈ε7g␈↓ 	W␈ε#.
␈β⊂(␈↓ β*␈ε,a
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ε#(In␈α
this␈αde␈α␈|n␈α␈i␈α↓tio␈α␈n,␈ε)␈αm␈ε#␈αma␈α}y␈αbe␈α
neg␈α␈ativ␈α␈e;␈αfor␈αe␈α␈xam␈α␈ple,␈α1␈αis␈αan␈α
elemen␈α}t␈αof␈↓ 	P␈ε)L␈↓ 
β␈ε#,␈αb␈α␈ut␈αnot␈αo␈α␈f
␈β⊂v␈↓ 	f␈ε&10
␈β⊃∩␈↓ ↓H␈ε)L␈↓ ↓{␈ε#.)␈α∂Pro␈α␈v␈α␈e␈α
that␈↓ βD␈ε)P␈↓ β]␈ε#(␈↓ βh␈ε)L␈↓ ∧∞␈ε#)␈α
=␈↓ ∧M␈ε#l␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬∃␈ε#(1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈ε)a␈ε#)␈αfor␈αall␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈ε)␈αa␈ε7␈α	∃␈ε#␈α
1␈α␈.
␈β⊃≡␈↓ ↓↑␈ε&11␈↓ β}␈ε,a
␈β⊃"␈↓ ∧x␈ε&10
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓αβ⊂⊃∩∪~≡ !(8:<>PRXZ`bpsxx/FONT#14=cmsc9[XGP,SYS]=-ABCDEFGHILMNOPRSTUYY/FONT#21=cmtt9[XGP,SYS]=0ACDEFGILMNOPQRSTUVXX/FONT#22=cmtt8[XGP,SYS]=HILMTXX/FONT#32=cmsss8[XGP,SYS]=,.IRabcdefhiklmnoprstuvwyy/FONT#34=cmr10[XGP,SYS]=∂∪ !"$'()*+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#35=cmr9[XGP,SYS]=∂∪"$'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUWXZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}}/FONT#36=cmr8[XGP,SYS]="'()*+,-.01234789;<=ABCDEFGHIJKLMNOPRSTWXZ\↑`abcdefghiklmnoprstuvwxyz|⎇⎇/FONT#37=cmr7[XGP,SYS]=()+/01234789<dglmoo/FONT#38=cmr6[XGP,SYS]=()+/0123456789admnoo/FONT#39=cmr5[XGP,SYS]=+/0122/FONT#40=cmi10[XGP,SYS]=∞∂→~≠CFMNOPQRSUabcdefhijklmnpqrstuvwxyzz/FONT#41=cmi9[XGP,SYS]=
∞∂⊃∩≠0123456789AEFHLMNOPSTUVabcdefghiklmnpqrsuvwxyy/FONT#42=cmi8[XGP,SYS]=∞∂bxx/FONT#43=cmi7[XGP,SYS]=NUbejklmnpqrsuvwzz/FONT#44=cmi6[XGP,SYS]=Sabklmnpqrsuvwxx/FONT#45=cmi5[XGP,SYS]=Njnpuvv/FONT#46=cmsc10[XGP,SYS]=.ABCDEHINOSTT/FONT#47=cms10[XGP,SYS]=∞∪_→"$',-.2:;ABCDEFGHIJLMNOPRSTUVWZ\abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇⎇/FONT#48=cms9[XGP,SYS]=$',.1234567:?ACHIMNPRSTabcdefghiklmnoprstuvwxyz⎇⎇/FONT#49=cms8[XGP,SYS]=ACGIMNSUelrstww/FONT#50=cmb10[XGP,SYS]=.0123456789ABCDEFHILMNPQTU↑abcdefghilmnoprstuvwxyz⎇⎇/FONT#51=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789Fgii/FONT#53=cmtt[XGP,SYS]=()*+,-/0123456789:;=ABCDEFGHIJLMNOPQRSTUVWXYZZ/FONT#54=cmsy10[XGP,SYS]=↓αελ	
∂⊃∀∃_→≤≡∨ !12bcdefghijnop⎇⎇/FONT#55=cmsy9[XGP,SYS]=↓αελ	
∀∃_→≤≡∨ !$124[\bcfgjj/FONT#56=cmsy8[XGP,SYS]=jj/FONT#57=cmsy7[XGP,SYS]=λ	
∀!011/FONT#58=cmsy6[XGP,SYS]=∀!011/FONT#59=cmsy5[XGP,SYS]=α00/FONT#61=cmssb[XGP,SYS]=*-.1234ACDEFGHILMNOPRSTXabcefghilmnorstuyy/FONT#63=cmss8[XGP,SYS]=()0124578AEFHJLMNORSTU←←